তুমি আমেরিকায় এক বন্ধুর সাথে ফোনে কথা বলছো, এক প্রচণ্ড ঠান্ডা শীতের দিনে। "এখানে তাপমাত্রা মাইনাস \(40\) ডিগ্রি!" তোমরা দুজনেই একই সাথে চিৎকার করে বলো। সাধারণত, এটা স্পষ্ট করার বিষয় যে কে সেলসিয়াস মানে আর কে ফারেনহাইট মানে—কিন্তু এই নির্দিষ্ট তাপমাত্রায় নয়। কেন? এই বিন্দুতেই একমাত্র তাপমাত্রা যেখানে সেলসিয়াস এবং ফারেনহাইট স্কেল একমত!
\(−40\) ডিগ্রি ফারেনহাইট ঠিক \(−40\) ডিগ্রি সেলসিয়াস। এটি কোনও কাকতালীয় ঘটনা নয়, বরং দুটি স্কেলের মধ্যে রৈখিক সম্পর্কের সরাসরি পরিণতি। উভয় তাপমাত্রার স্কেলই একই ভৌত পরিমাণ, "তাপমাত্রা" এর অ্যাফাইন রূপান্তর (রৈখিক + স্থানান্তর)। এই দুটি স্কেলের মধ্যে রূপান্তর করা প্রায়শই ক্লান্তিকর। তবে, একটি আকর্ষণীয় বিন্দু রয়েছে যেখানে উভয় স্কেলেরই একই সংখ্যাসূচক মান রয়েছে।
- সেলসিয়াস স্কেল (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) জলের হিমাঙ্ক
পানির স্ফুটনাঙ্ক \(100^\circ\mathrm{C}\)
এই স্থির বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব: \(100\) ডিগ্রি। - ফারেনহাইট স্কেল (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) জলের হিমাঙ্ক
\(212^\circ\mathrm{F}\) পানির স্ফুটনাঙ্ক
এই স্থির বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব: \(212-32=180\) ডিগ্রি।
এটি স্কেলের মধ্যে অনুপাত (ঢাল) নির্ধারণ করে:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
শূন্য বিন্দু (অফসেট)ও আলাদা: \(0^\circ\mathrm{C}\) \(32^\circ\mathrm{F}\) এর সাথে মিলে যায়।
স্ট্যান্ডার্ড সূত্রটি বের করার জন্য, আমরা ফর্মটির একটি অ্যাফাইন ম্যাপিং খুঁজি
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
যেখানে \(a\) ঢাল (স্কেল ফ্যাক্টর) এবং \(b\) হল অফসেট।
দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি অ্যাফাইন ম্যাপিং অনন্যভাবে নির্ধারিত হওয়ায় নিম্নলিখিত দুটি শর্ত যথেষ্ট:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
প্রতিস্থাপন করলে আদর্শ সূত্র পাওয়া যায়:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
বিপরীত (ফারেনহাইট থেকে সেলসিয়াস পর্যন্ত) \(T_\mathrm{C}\) সমাধান করে পাওয়া যায়:
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
এখন আমরা সেই তাপমাত্রা \(T\) খুঁজছি যেখানে উভয় স্কেলে অভিন্ন সংখ্যাসূচক মান প্রদর্শিত হবে:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
এখন স্ট্যান্ডার্ড সূত্রে \(T_\mathrm{F}\) সন্নিবেশ করান:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
এবং অবশেষে
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
এর ফলে \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
এবং এইভাবে
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
ধনাত্মক সেলসিয়াস মানের জন্য, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) সর্বদা এর চেয়ে বড় সংখ্যাসূচক মান \(T_\mathrm{C}\) (যেমন \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). পর্যাপ্ত ঋণাত্মক সেলসিয়াস মানের জন্য, \(32\) ফারেনহাইট স্কেলের শুরুতে ডিগ্রি আসলে শূন্যের নিচে। এক পর্যায়ে, এটি স্কেল ফ্যাক্টরের ক্ষতিপূরণ দেয় \(\frac{9}{5}\). এই ভারসাম্য বিন্দু ঠিক আছে \(−40\): অতিরিক্ত পরিবর্তন আছে \(+32\) যথেষ্ট বড় যাতে উভয় সংখ্যাসূচক মান একই রকম হয়। গ্রাফিক্যালি, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (একটি সরলরেখা) এবং \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (তির্যক) – তাদের রেখার ছেদ বিন্দু হল \((-40,-40)\).
বিপরীতে, পরম তাপমাত্রা (যেমন, তাপগতিগত গণনার জন্য) কেলভিন বা র্যাঙ্কাইনে দেওয়া হয়, যেখানে স্কেল রূপান্তরে কোনও অফসেট থাকে না (শুধুমাত্র একটি বিশুদ্ধ স্কেল ফ্যাক্টর)। উদাহরণস্বরূপ, সেলসিয়াস এবং কেলভিনের মধ্যে \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) প্রযোজ্য। এই অফসেটের অস্তিত্বের কারণেই সেলসিয়াস-ফারেনহাইট ম্যাপিং অ্যাফাইন এবং সম্পূর্ণ রৈখিক নয়। সমতা \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) সরাসরি ফারেনহাইট এবং সেলসিয়াসের মধ্যে অ্যাফাইন সম্পর্ক থেকে আসে।
যদি আপনি \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) কে \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) এ প্রতিস্থাপন করেন এবং সমাধান করেন, তাহলে আপনি স্পষ্টভাবে \(T=-40\) পাবেন। ঠিক এখানেই দুটি স্কেল ছেদ করে। \(-40\) এ এই ছেদ বিন্দুটিই একমাত্র বিন্দু যেখানে উভয় স্কেলের সংখ্যাসূচক মান অভিন্ন। এটি রূপান্তরের রৈখিক প্রকৃতির কারণে: দুটি অ-সমান্তরাল রেখা সর্বদা ঠিক একটি বিন্দুতে ছেদ করে। তাই পরের বার যখন কেউ \(-40\) ডিগ্রি উল্লেখ করবে, তখন আপনাকে স্পষ্টভাবে জিজ্ঞাসা করতে হবে না যে তারা কোন স্কেল বোঝাচ্ছে।