Вы разговариваете по телефону с другом из США морозным зимним днём. «У нас минус \(40\) градусов!» — восклицаете вы оба одновременно. Обычно это было бы вопросом выяснения, кто имеет в виду градусы Цельсия, а кто — Фаренгейта, но не при этой конкретной температуре. Почему? Это единственная температура, при которой шкалы Цельсия и Фаренгейта совпадают!
\(−40\) градусов по Фаренгейту равны \(−40\) градусам по Цельсию. Это не совпадение, а прямое следствие линейной зависимости между двумя шкалами. Обе температурные шкалы представляют собой аффинные преобразования (линейное + сдвиг) одной и той же физической величины — температуры. Преобразование между этими двумя шкалами часто бывает утомительным. Однако есть интересный момент, когда обе шкалы имеют одинаковое числовое значение.
- Шкала Цельсия (°С):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Температура замерзания воды
\(100^\circ\mathrm{C}\) температура кипения воды
Расстояние между этими фиксированными точками: \(100\) градусов. - Шкала Фаренгейта (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Температура замерзания воды
\(212^\circ\mathrm{F}\) Температура кипения воды
Расстояние между этими фиксированными точками: \(212-32=180\) градусов.
Это определяет соотношение (наклон) между шкалами:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Нулевая точка (смещение) также отличается: \(0^\circ\mathrm{C}\) соответствует \(32^\circ\mathrm{F}\) .
Чтобы вывести стандартную формулу, мы ищем аффинное отображение вида
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
где \(a\) наклон (масштабный коэффициент), а \(b\) — смещение.
Следующие два условия достаточны, поскольку аффинное отображение через две точки определяется однозначно:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Подстановка дает стандартную формулу:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
Обратное уравнение (от градусов Фаренгейта к градусам Цельсия) получается путем решения уравнения относительно \(T_\mathrm{C}\) :
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Теперь ищем температуру \(T\) при которой в обеих шкалах появляется одинаковое числовое значение:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Теперь вставим \(T_\mathrm{F}\) в стандартную формулу:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
и наконец
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Это приводит к \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
и таким образом
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Для положительных значений по Цельсию, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) всегда большее числовое значение, чем \(T_\mathrm{C}\) (например. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). При достаточно отрицательных значениях по Цельсию \(32\) Градус в начале шкалы Фаренгейта на самом деле ниже нуля. В какой-то момент это компенсирует масштабный коэффициент. \(\frac{9}{5}\). Эта точка баланса точно \(−40\): есть дополнительная смена \(+32\) достаточно большим, чтобы оба численных значения были идентичны. Графически, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (прямая линия) и \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (диагональ) – точка пересечения их прямых находится в \((-40,-40)\).
Напротив, абсолютные температуры (например, для термодинамических расчётов) задаются в градусах Кельвина или Ранкина, где нет смещения при преобразовании шкалы (только чистый масштабный коэффициент). Например, между градусами Цельсия и Кельвина действует соотношение \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) . Именно наличие этого смещения является причиной того, что отображение градусов Цельсия на градусы Фаренгейта является аффинным, а не чисто линейным. Равенство \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) непосредственно следует из аффинного соотношения между градусами Фаренгейта и Цельсия.
Если подставить \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) в \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) и решить уравнение, то очевидно, что \(T=-40\) . Именно в этом месте пересекаются две шкалы. Эта точка пересечения \(-40\) — единственная точка, в которой числовые значения обеих шкал идентичны. Это связано с линейностью преобразования: две непараллельные прямые всегда пересекаются ровно в одной точке. Поэтому в следующий раз, когда кто-то упомянет \(-40\) градусов, вам не придётся явно спрашивать, какой масштаб имеется в виду.