Vorbești la telefon cu un prieten din SUA într-o zi geroasă de iarnă. „Sunt minus \(40\) de grade aici!”, exclamați amândoi simultan. În mod normal, ar fi vorba de a clarifica cine se referă la Celsius și cine la Fahrenheit - dar nu la această temperatură anume. De ce? Acest punct este singura temperatură la care scările Celsius și Fahrenheit sunt de acord!
\(−40\) de grade Fahrenheit este exact \(−40\) de grade Celsius. Aceasta nu este o coincidență, ci o consecință directă a relației liniare dintre cele două scale. Ambele scale de temperatură sunt transformări afine (liniare + deplasare) ale aceleiași mărimi fizice, „temperatura”. Conversia între aceste două scale este adesea plictisitoare. Cu toate acestea, există un punct interesant în care ambele scale au aceeași valoare numerică.
- Scara Celsius (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Punctul de îngheț al apei
punctul de \(100^\circ\mathrm{C}\)
Distanța dintre aceste puncte fixe: \(100\) grade. - Scara Fahrenheit (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Punctul de îngheț al apei
\(212^\circ\mathrm{F}\) Punctul de fierbere al apei
Distanța dintre aceste puncte fixe: \(212-32=180\) grade.
Aceasta determină raportul (panta) dintre scale:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Punctul zero (offset) este, de asemenea, diferit: \(0^\circ\mathrm{C}\) corespunde cu \(32^\circ\mathrm{F}\) .
Pentru a obține formula standard, căutăm o aplicație afină de forma
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
unde \(a\) panta (factorul de scalare) și \(b\) este decalajul.
Următoarele două condiții sunt suficiente deoarece o operare afină prin două puncte este determinată în mod unic:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Înlocuirea dă formula standard:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
Inversa (de la Fahrenheit la Celsius) se obține rezolvând pentru \(T_\mathrm{C}\) :
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Acum căutăm temperatura \(T\) la care apare aceeași valoare numerică pe ambele scale:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Acum introduceți \(T_\mathrm{F}\) în formula standard:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
și în final
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Acest lucru are ca rezultat \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
și astfel
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Pentru valori Celsius pozitive, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) întotdeauna o valoare numerică mai mare decât \(T_\mathrm{C}\) (de exemplu \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). Pentru valori Celsius suficient de negative, \(32\) Gradele de la începutul scării Fahrenheit sunt de fapt sub zero. La un moment dat, acest lucru compensează factorul de scară \(\frac{9}{5}\). Acest punct de echilibru este exact \(−40\): există o schimbare suplimentară \(+32\) suficient de mare încât ambele valori numerice să fie identice. Grafic, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (o linie dreaptă) și \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (diagonală) – punctul de intersecție al liniilor lor este la \((-40,-40)\).
În schimb, temperaturile absolute (de exemplu, pentru calcule termodinamice) sunt date în Kelvin sau Rankine, unde nu există niciun decalaj în conversia scalei (ci doar un factor de scală pur). De exemplu, între Celsius și Kelvin \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) . Existența acestui decalaj este tocmai motivul pentru care diagrama Celsius-Fahrenheit este afină și nu pur liniară. Egalitatea \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) rezultă direct din relația afină dintre Fahrenheit și Celsius.
Dacă înlocuiești \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) în \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) și rezolvi, obții clar \(T=-40\) . Exact aici se intersectează cele două scale. Acest punct de intersecție, la \(-40\) este singurul punct în care valorile numerice ale ambelor scale sunt identice. Acest lucru se datorează naturii liniare a conversiei: două linii neparalele se intersectează întotdeauna exact într-un singur punct. Așadar, data viitoare când cineva menționează \(-40\) grade, nu trebuie să întrebi explicit la ce scală se referă.