Je belt met een vriend in de VS op een ijskoude winterdag. "Het is hier min \(40\) graden!" roepen jullie tegelijk. Normaal gesproken zou dit een kwestie zijn van duidelijk maken wie Celsius bedoelt en wie Fahrenheit, maar niet bij deze specifieke temperatuur. Waarom is dat zo? Dit is de enige temperatuur waarbij de Celsius- en Fahrenheit-schalen overeenkomen!
\(−40\) graden Fahrenheit is precies \(−40\) graden Celsius. Dit is geen toeval, maar een direct gevolg van de lineaire relatie tussen de twee schalen. Beide temperatuurschalen zijn affiene transformaties (lineair + verschuiving) van dezelfde fysische grootheid, "temperatuur". Het omrekenen tussen deze twee schalen is vaak omslachtig. Er is echter een interessant punt waarop beide schalen dezelfde numerieke waarde hebben.
- Celsiusschaal (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Vriespunt van water
\(100^\circ\mathrm{C}\) kookpunt van water
Afstand tussen deze vaste punten: \(100\) graden. - Fahrenheitschaal (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Vriespunt van water
\(212^\circ\mathrm{F}\) Kookpunt van water
Afstand tussen deze vaste punten: \(212-32=180\) graden.
Hiermee wordt de verhouding (helling) tussen de schalen bepaald:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Het nulpunt (offset) is ook anders: \(0^\circ\mathrm{C}\) komt overeen met \(32^\circ\mathrm{F}\) .
Om de standaardformule af te leiden, zoeken we naar een affiene afbeelding van de vorm
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
waarbij \(a\) en \(b\) de offset.
De volgende twee voorwaarden zijn voldoende omdat een affiene afbeelding door twee punten eenduidig bepaald is:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Door substitutie verkrijgt u de standaardformule:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
De inverse (van Fahrenheit naar Celsius) wordt verkregen door \(T_\mathrm{C}\) op te lossen:
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Nu zoeken we de temperatuur \(T\) waarbij dezelfde numerieke waarde in beide schalen voorkomt:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Vul nu \(T_\mathrm{F}\) in de standaardformule in:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
en tenslotte
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Dit resulteert in \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
en dus
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Voor positieve Celsius-waarden, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) altijd een grotere numerieke waarde dan \(T_\mathrm{C}\) (bijv. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). Voor voldoende negatieve Celsius-waarden geldt: \(32\) Graden aan het begin van de Fahrenheit-schaal is eigenlijk onder nul. Op een gegeven moment compenseert dit de schaalfactor. \(\frac{9}{5}\). Dit evenwichtspunt is precies \(−40\): er is de extra verschuiving \(+32\) net groot genoeg zodat beide numerieke waarden identiek zijn. Grafisch gezien, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (een rechte lijn) en \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (diagonaal) – het snijpunt van hun lijnen ligt op \((-40,-40)\).
Absolute temperaturen (bijvoorbeeld voor thermodynamische berekeningen) worden daarentegen weergegeven in Kelvin of Rankine, waarbij er geen offset is in de schaalomrekening (alleen een zuivere schaalfactor). Tussen Celsius en Kelvin geldt bijvoorbeeld \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) . Het bestaan van deze offset is precies de reden waarom de Celsius-Fahrenheit-afbeelding affien is en niet puur lineair. De gelijkheid \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) volgt direct uit de affiene relatie tussen Fahrenheit en Celsius.
Als je \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) vervangt door \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) en de uitkomst oplost, krijg je duidelijk \(T=-40\) . Dit is precies waar de twee schalen elkaar snijden. Dit snijpunt bij \(-40\) is het enige punt waar de numerieke waarden van beide schalen identiek zijn. Dit komt door het lineaire karakter van de omrekening: twee niet-evenwijdige lijnen snijden elkaar altijd precies op één punt. Dus de volgende keer dat iemand het over \(-40\) graden heeft, hoef je niet expliciet te vragen welke schaal hij of zij bedoelt.