Anda sedang menelefon dengan rakan di AS pada hari musim sejuk yang membeku. "Di sini minus \(40\) darjah!" kamu berdua berseru serentak. Biasanya, ini akan menjadi masalah untuk menjelaskan siapa yang bermaksud Celsius dan siapa yang bermaksud Fahrenheit—tetapi bukan pada suhu tertentu ini. Kenapa begitu? Titik ini adalah satu-satunya suhu di mana skala Celsius dan Fahrenheit bersetuju!
\(−40\) darjah Fahrenheit betul-betul \(−40\) darjah Celsius. Ini bukan kebetulan, tetapi akibat langsung daripada hubungan linear antara kedua-dua skala. Kedua-dua skala suhu ialah penjelmaan afin (linear + anjakan) daripada kuantiti fizik yang sama, "suhu." Menukar antara dua skala ini selalunya membosankan. Walau bagaimanapun, terdapat satu titik menarik di mana kedua-dua skala mempunyai nilai berangka yang sama.
- Skala Celsius (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Takat beku air
\(100^\circ\mathrm{C}\) takat didih air
Jarak antara titik tetap ini: \(100\) darjah. - Skala Fahrenheit (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Takat beku air
\(212^\circ\mathrm{F}\) Takat didih air
Jarak antara titik tetap ini: \(212-32=180\) darjah.
Ini menentukan nisbah (cerun) antara skala:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Titik sifar (offset) juga berbeza: \(0^\circ\mathrm{C}\) sepadan dengan \(32^\circ\mathrm{F}\) .
Untuk mendapatkan formula standard, kami mencari pemetaan affine bagi borang tersebut
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
dengan \(a\) cerun (faktor skala) dan \(b\) ialah offset.
Dua syarat berikut adalah memadai kerana pemetaan affine melalui dua titik ditentukan secara unik:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Penggantian menghasilkan formula standard:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
Songsang (dari Fahrenheit ke Celsius) diperoleh dengan menyelesaikan untuk \(T_\mathrm{C}\) :
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Sekarang kita sedang mencari suhu \(T\) di mana nilai berangka yang sama muncul dalam kedua-dua skala:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Sekarang masukkan \(T_\mathrm{F}\) ke dalam formula standard:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
dan akhirnya
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Ini mengakibatkan \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
dan dengan demikian
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Untuk nilai Celsius positif, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) sentiasa nilai berangka yang lebih besar daripada \(T_\mathrm{C}\) (cth. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). Untuk nilai Celsius negatif yang mencukupi, \(32\) Darjah pada permulaan skala Fahrenheit sebenarnya di bawah sifar. Pada satu ketika, ini mengimbangi faktor skala \(\frac{9}{5}\). Titik pengimbangan ini betul-betul \(−40\): terdapat anjakan tambahan \(+32\) hanya cukup besar supaya kedua-dua nilai berangka adalah sama. Secara grafik, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (garis lurus) dan \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (diagonal) – titik persilangan garisnya adalah pada \((-40,-40)\).
Sebaliknya, suhu mutlak (cth., untuk pengiraan termodinamik) diberikan dalam Kelvin atau Rankine, di mana tiada pengimbang dalam penukaran skala (hanya faktor skala tulen). Contohnya, antara Celsius dan Kelvin \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) terpakai. Kewujudan offset ini adalah tepat sebab mengapa pemetaan Celsius-Fahrenheit adalah affine dan bukan linear semata-mata. Kesamaan \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) mengikuti terus daripada hubungan afin antara Fahrenheit dan Celsius.
Jika anda menggantikan \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) kepada \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) dan menyelesaikan, anda dengan jelas mendapat \(T=-40\) . Di sinilah kedua-dua skala bersilang. Titik persilangan pada \(-40\) ini ialah satu-satunya titik di mana nilai berangka kedua-dua skala adalah sama. Ini disebabkan oleh sifat linear penukaran: dua garisan tidak selari sentiasa bersilang tepat pada satu titik. Jadi apabila seseorang menyebut \(-40\) darjah, anda tidak perlu bertanya secara eksplisit skala yang mereka maksudkan.