Сиз АКШдагы досуңуз менен кыштын суук күнүндө телефондо сүйлөшүп жатасыз. — Бул жерде минус \(40\) градус суук! Экөөң тең бир убакта кыйкырдыңар. Адатта, бул Цельсийди жана Фаренгейтти ким билдирерин тактоо маселеси болмок, бирок бул өзгөчө температурада эмес. Эмне үчүн мындай? Бул пункт Цельсий жана Фаренгейт шкалалары дал келген жалгыз температура!
\(−40\) градус Фаренгейт так \(−40\) градус болот. Бул кокустук эмес, эки таразанын ортосундагы сызыктуу байланыштын түздөн-түз натыйжасы. Температуралык шкалалардын экөө тең бирдей физикалык чоңдуктун, "температуранын" аффиндик трансформациялары (сызыктуу + жылышуу). Бул эки таразаны алмаштыруу көп учурда түйшүктүү. Бирок, эки тараза бирдей сандык мааниге ээ болгон кызыктуу жагдай бар.
- Цельсий шкаласы (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Суунун тоңуу чекити
\(100^\circ\mathrm{C}\) суунун кайноо температурасы
Бул белгиленген чекиттердин ортосундагы аралык: \(100\) градус. - Фаренгейт шкаласы (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Суунун тоңуу чекити
\(212^\circ\mathrm{F}\) Суунун кайноо температурасы
Бул белгиленген чекиттердин ортосундагы аралык: \(212-32=180\) градус.
Бул таразалардын ортосундагы катышты (нак) аныктайт:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Нөл чекити (офсет) да башкача: \(0^\circ\mathrm{C}\) \(32^\circ\mathrm{F}\) туура келет.
Стандарттык формуланы алуу үчүн форманын аффиндик картасын издейбиз
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
мында \(a\) эңкейиш (масштаб коэффициенти) жана \(b\) - жылышуу.
Төмөнкү эки шарт жетиштүү, анткени эки чекит аркылуу аффиндик карта уникалдуу түрдө аныкталат:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Алмаштыруу стандарттык формуланы берет:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
Тескерисинче (Фаренгейттен Цельсийге чейин) \(T_\mathrm{C}\) үчүн чечүү жолу менен алынат:
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Эми биз бирдей сандык маани эки шкалада пайда болгон \(T\) температурасын издеп жатабыз:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Эми стандарттык формулага \(T_\mathrm{F}\) салыңыз:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
жана акыры
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Бул натыйжа берет \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
жана ошентип
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Оң Цельсий маанилери үчүн, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) караганда ар дайым чоңураак сандык маани \(T_\mathrm{C}\) (мис. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). Жетиштүү терс Цельсий маанилери үчүн \(32\) Фаренгейт шкаласынын башында градус чындыгында нөлдөн төмөн. Кайсы бир учурда бул масштабдуу фактордун ордун толтурат \(\frac{9}{5}\). Бул тең салмактуулук чекити так болуп саналат \(−40\): кошумча сменасы бар \(+32\) эки сандык маанилер бирдей болушу үчүн жетиштүү чоң. Графикалык жактан, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (түз сызык) жана \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (диагоналдык) – алардын сызыктарынын кесилишкен чекити учурда \((-40,-40)\).
Ал эми абсолюттук температуралар (мисалы, термодинамикалык эсептөөлөр үчүн) Келвин же Рэнкинде берилет, мында масштабды өзгөртүүдө эч кандай офсет жок (таза масштабдык фактор гана). Мисалы, Цельсий менен Келвиндин ортосунда \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) колдонулат. Бул офсеттин болушу Цельсий-Фаренгейт картасы аффиндик жана таза сызыктуу эмес экендигинин так себеби болуп саналат. \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) теңдиги түздөн-түз Фаренгейт менен Цельсийдин ортосундагы аффиндик байланыштан келип чыгат.
Эгер \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) дегенди \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) алмаштырып, чечсеңиз, анда \(T=-40\) айкын болот. Дал ушул жерде эки тараза кесилишет. Бул \(-40\) кесилиш чекити эки шкаланын сандык маанилери бирдей болгон жалгыз чекит болуп саналат. Бул конверсиянын сызыктуу мүнөзү менен шартталган: эки параллель эмес сызык ар дайым так бир чекитте кесилишет. Демек, кийинки жолу кимдир бирөө \(-40\) даражаны айтканда, алар кайсы шкаланы билдирет деп ачык сураш керек эмес.