Kodhok mlumpat ing garis nomer lan sampeyan nyoba nyekel. Mlumpat lan nyekel mesthi sulih. Kodhok diwiwiti ing posisi \(s \in \mathbb{Z}\) lan saben gerakane mlumpat jarak \(z \in \mathbb{Z}\) (yen \(z>0\) , mundhak nengen, yen ora ngiwa). \(z\) padha kanggo saben mlumpat. Cepet kalebu nemtokake posisi bilangan bulat. Siji ora ngerti \(z\) utawa \(s\) . Kita nuduhake manawa ana cara supaya bisa nyekel kodhok kasebut.
Kaping pisanan, \(a_1 = s\) lan \(a_{n+1} = a_n + z = s + n \cdot z\) nganggo \(s,z \in \mathbb{Z}\) .
Saiki kita milih
$$h:\mathbb{N} \to \mathbb{Z}^2: h(2^k r) = \left ( (-1)^{k+1} \left \lfloor \frac{k+1}{2} \right \rfloor, (-1)^{\frac{r+1}{2}} \left \lfloor \frac{r+1}{4} \right \rfloor \right ) $$
minangka fungsi sing nemtokake (persis) tuple nomer kabeh nomer kanggo saben nomer alam. Pilihan fungsi iki yaiku liwat fungsi \(f(n) = (-1)^n \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\) , \(\mathbb{N}\) ing \(\mathbb{Z}\) lan \(g(2^kr) = (k+1, \frac{r+1}{2})\) , sing \(\mathbb{N}\) ing \(\mathbb{N}^2\) peta kanthi subjektif, motivasi.
Saiki kita nuduhake surjectivity \(h\) ( \(h\) uga injeksi, nanging kita ora butuh properti iki).
Ayo \((x,y) = (2^{k_1} r_1, 2^{k_2} r_2) \in\mathbb{Z}^2\) . Nanging banjur
$$h \left ( 2^{2 \cdot 2^{k_1} r_1 - 1} \cdot (4 \cdot 2^{k_2} r_2 - 1) \right ) = (2^{k_1} r_1, 2^{k_2} r_2) = (x,y).$$
Mula: \(\forall (s,z) \in \mathbb{Z}^2 \, \exists \, m \in \mathbb{N}\) kanthi \(h(m) = (x_m,y_m) = (s, z)\) .
Contone, yen giliran kita pindhah ing \(n = 88\) , kita ngetung \(h(88)=(2,3)\) lan milih \(2 + 88 \cdot 3 = 266\) minangka posisi kasebut.
Banjur sawise persis \(m\) obah nganggo \(x_m + m \cdot y_m = s + m \cdot z = a_m\) pilihan kasebut tiba ing kodhok.
Saliyane \(h\) , akeh fungsi liyane kayata fungsi pasangan Cantor utawa spiral bijective bisa uga ditindakake.
Iki minangka implementasine sing gampang ing JavaScript:
See the Pen catch the frog by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.