يقفز الضفدع حول خط الأعداد وتحاول الإمساك به. يتناوب القفز والقبض دائمًا. يبدأ الضفدع من الموضع \(s \in \mathbb{Z}\) ومع كل حركة يقفز مسافة \(z \in \mathbb{Z}\) (إذا \(z>0\) ، يقفز جهة اليمين ، وإلا إذا كانت جهة اليسار). \(z\) هو نفسه لكل قفزة. الانطباق يتكون من تحديد موضع عدد صحيح. لا يعرف المرء لا \(z\) ولا \(s\) . نظهر أن هناك طريقة دائمًا للقبض على الضفدع.
\(a_{n+1} = a_n + z = s + n \cdot z\) ، \(a_1 = s\) و \(a_{n+1} = a_n + z = s + n \cdot z\) مع \(s,z \in \mathbb{Z}\) .
نختار الآن
$$h:\mathbb{N} \to \mathbb{Z}^2: h(2^k r) = \left ( (-1)^{k+1} \left \lfloor \frac{k+1}{2} \right \rfloor, (-1)^{\frac{r+1}{2}} \left \lfloor \frac{r+1}{4} \right \rfloor \right ) $$
كالدالة التي تعين (بالضبط) مجموعة عدد من الأعداد الصحيحة لكل عدد طبيعي. يتم اختيار هذه الوظيفة من خلال الدالات \(f(n) = (-1)^n \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\) ، the \(\mathbb{N}\) على \(\mathbb{Z}\) و \(g(2^kr) = (k+1, \frac{r+1}{2})\) ، والتي \(\mathbb{N}\) \(\mathbb{N}^2\) الخريطة بشكل حيوي ، بدافع.
نظهر الآن أن الجاذبية \(h\) ( \(h\) هي حقنة أيضًا ، لكننا لا نحتاج إلى هذه الخاصية).
دع \((x,y) = (2^{k_1} r_1, 2^{k_2} r_2) \in\mathbb{Z}^2\) . لكن بعد ذلك
$$h \left ( 2^{2 \cdot 2^{k_1} r_1 - 1} \cdot (4 \cdot 2^{k_2} r_2 - 1) \right ) = (2^{k_1} r_1, 2^{k_2} r_2) = (x,y).$$
ومن هنا: \(\forall (s,z) \in \mathbb{Z}^2 \, \exists \, m \in \mathbb{N}\) مع \(h(m) = (x_m,y_m) = (s, z)\) .
على سبيل المثال ، إذا حان دورنا للتحرك في \(n = 88\) ، نحسب \(h(88)=(2,3)\) ونختار \(2 + 88 \cdot 3 = 266\) ليكون الموضع.
ثم بعد بالضبط \(m\) يتحرك مع \(x_m + m \cdot y_m = s + m \cdot z = a_m\) يقع الاختيار على الضفدع.
بالإضافة إلى \(h\) ، من الممكن وجود العديد من الوظائف الأخرى مثل وظيفة الاقتران في كانتور أو اللولب الأحادي .
هنا تطبيق بسيط في JavaScript:
See the Pen catch the frog by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.