Bir kurbağa sayı doğrusu üzerinde zıplıyor ve amaç onu yakalamak. Zıplama ve yakalama sırayla gerçekleşiyor. Kurbağa \(s \in \mathbb{Z}\) konumundan başlıyor ve her hareketinde \(z \in \mathbb{Z}\) mesafesi kadar zıplıyor (eğer \(z>0\) ise sağa, aksi takdirde sola zıplıyor). \(z\) her zıplama için aynı. Kurbağayı yakalamak, tam sayı bir konum belirtmeyi gerektiriyor. Ne \(z\) ne de \(s\) bilinmiyor. Her zaman kurbağayı yakalamamızı sağlayan bir prosedürün olduğunu göstereceğiz.
Her şeyden önce, \(a_1 = s\) ve \(a_{n+1} = a_n + z = s + n \cdot z\) ile \(s,z \in \mathbb{Z}\) .
Şimdi seçiyoruz
$$h:\mathbb{N} \to \mathbb{Z}^2: h(2^k r) = \left ( (-1)^{k+1} \left \lfloor \frac{k+1}{2} \right \rfloor, (-1)^{\frac{r+1}{2}} \left \lfloor \frac{r+1}{4} \right \rfloor \right ) $$
her doğal sayıya (tam olarak) bir tam sayı demeti atayan işlev olarak. Bu işlevin seçimi \(f(n) = (-1)^n \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\) , \(\mathbb{N}\) \(\mathbb{Z}\) ve \(g(2^kr) = (k+1, \frac{r+1}{2})\) üzerinde \(\mathbb{N}\) \(\mathbb{N}^2\) motive edilmiş, iki taraflı eşleyin.
Şimdi \(h\) ( \(h\) nin yüzeyselliğinin de enjekte edici olduğunu gösteriyoruz, ancak bu özelliğe ihtiyacımız yok).
\((x,y) = (2^{k_1} r_1, 2^{k_2} r_2) \in\mathbb{Z}^2\) . Ama sonra
$$h \left ( 2^{2 \cdot 2^{k_1} r_1 - 1} \cdot (4 \cdot 2^{k_2} r_2 - 1) \right ) = (2^{k_1} r_1, 2^{k_2} r_2) = (x,y).$$
Dolayısıyla: \(\forall (s,z) \in \mathbb{Z}^2 \, \exists \, m \in \mathbb{N}\) \(h(m) = (x_m,y_m) = (s, z)\) .
Örneğin, \(n = 88\) hareket etme sırası bizdeyse, \(n = 88\) \(h(88)=(2,3)\) hesaplayıp konum olarak \(2 + 88 \cdot 3 = 266\) seçiyoruz.
Daha sonra \(m\) , \(x_m + m \cdot y_m = s + m \cdot z = a_m\) ile tam olarak hareket \(x_m + m \cdot y_m = s + m \cdot z = a_m\) sonra seçim kurbağaya düşer.
\(h\) ye ek olarak, Cantor'un eşleştirme işlevi veya önyargılı bir spiral gibi birçok başka işlev de mümkündür.
İşte JavaScript'te basit bir uygulama:
See the Pen catch the frog by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.