ஒரு தவளை எண் கோட்டில் குதித்துக்கொண்டிருக்கிறது, அதை பிடிப்பதே நமது இலக்கு. குதிப்பதும் பிடிப்பதும் மாறி மாறி நிகழ்கின்றன. தவளை \(s \in \mathbb{Z}\) என்ற நிலையில் தொடங்குகிறது, மேலும் ஒவ்வொரு நகர்விலும், அது \(z \in \mathbb{Z}\) என்ற தூரத்திற்குக் குதிக்கிறது ( \(z>0\) எனில், அது வலப்பக்கம் குதிக்கும்; இல்லையெனில், இடப்பக்கம்). ஒவ்வொரு குதிப்பிற்கும் \(z\) ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். தவளையைப் பிடிப்பதற்கு ஒரு முழு எண் நிலையைக் குறிப்பிட வேண்டும். \(z\) அல்லது \(s\) ஆகிய இரண்டுமே அறியப்பட்டவை அல்ல. தவளையை எப்போதும் பிடிக்க அனுமதிக்கும் ஒரு செயல்முறை உள்ளது என்பதை நாம் காண்பிப்போம்.
முதலில், \(a_1 = s\) மற்றும் \(a_{n+1} = a_n + z = s + n \cdot z\) உடன் \(s,z \in \mathbb{Z}\) .
நாங்கள் இப்போது தேர்வு செய்கிறோம்
$$h:\mathbb{N} \to \mathbb{Z}^2: h(2^k r) = \left ( (-1)^{k+1} \left \lfloor \frac{k+1}{2} \right \rfloor, (-1)^{\frac{r+1}{2}} \left \lfloor \frac{r+1}{4} \right \rfloor \right ) $$
ஒவ்வொரு இயற்கை எண்களுக்கும் முழு எண்களின் எண்ணிக்கையை (சரியாக) ஒதுக்கும் செயல்பாடு. இந்த செயல்பாட்டின் தேர்வு functions \(f(n) = (-1)^n \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\) , \(\mathbb{N}\) \(\mathbb{Z}\) மற்றும் \(g(2^kr) = (k+1, \frac{r+1}{2})\) , இது \(\mathbb{N}\) \(\mathbb{N}^2\) வரைபடம் இருதரப்பு, உந்துதல்.
இப்போது \(h\) ( \(h\) அறுவைசிகிச்சை ஊடுருவக்கூடியது என்பதைக் காட்டுகிறோம், ஆனால் இந்த சொத்து எங்களுக்குத் தேவையில்லை).
\((x,y) = (2^{k_1} r_1, 2^{k_2} r_2) \in\mathbb{Z}^2\) Let \((x,y) = (2^{k_1} r_1, 2^{k_2} r_2) \in\mathbb{Z}^2\) . ஆனால் பின்னர்
$$h \left ( 2^{2 \cdot 2^{k_1} r_1 - 1} \cdot (4 \cdot 2^{k_2} r_2 - 1) \right ) = (2^{k_1} r_1, 2^{k_2} r_2) = (x,y).$$
எனவே: \(\forall (s,z) \in \mathbb{Z}^2 \, \exists \, m \in \mathbb{N}\) \(h(m) = (x_m,y_m) = (s, z)\) உடன் \(h(m) = (x_m,y_m) = (s, z)\) \(\forall (s,z) \in \mathbb{Z}^2 \, \exists \, m \in \mathbb{N}\) \(h(m) = (x_m,y_m) = (s, z)\) .
எடுத்துக்காட்டாக, \(n = 88\) நகர்வது எங்கள் முறை என்றால், நாம் \(h(88)=(2,3)\) கணக்கிட்டு \(2 + 88 \cdot 3 = 266\) ஐ நிலையாக தேர்வு செய்கிறோம்.
\(x_m + m \cdot y_m = s + m \cdot z = a_m\) with \(m\) உடன் சரியாக \(m\) \(x_m + m \cdot y_m = s + m \cdot z = a_m\) , தேர்வு தவளை மீது விழுகிறது.
\(h\) ஐத் தவிர, கேன்டரின் இணைத்தல் செயல்பாடு அல்லது ஒரு பைஜெக்டிவ் சுழல் போன்ற பல செயல்பாடுகள் சாத்தியமாகும்.
ஜாவாஸ்கிரிப்டில் ஒரு எளிய செயல்படுத்தல் இங்கே:
See the Pen catch the frog by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.