একটি ব্যাঙ নম্বর লাইনে প্রায় লাফ দেয় এবং আপনি এটি ধরার চেষ্টা করেন। সর্বদা জাম্পিং এবং ক্যাচিং। ব্যাঙটি position \(s \in \mathbb{Z}\) পজিশনে শুরু হয় এবং প্রতিটি পদক্ষেপের সাথে এটি \(z \in \mathbb{Z}\) (যদি \(z>0\) লাফায়, এটি লাফ দেয় ডানদিকে, অন্যথায় যদি বাম দিকে থাকে)। jump \(z\) প্রতিটি লাফের জন্য সমান। স্ন্যাপিংয়ের মধ্যে একটি পূর্ণসংখ্যা অবস্থান নির্দিষ্ট করে থাকে। কেউ \(z\) বা \(s\) না জানে। আমরা দেখাই যে সবসময় ব্যাঙ ধরার উপায় আছে।
সবার আগে, \(a_1 = s\) এবং \(a_{n+1} = a_n + z = s + n \cdot z\) সহ \(s,z \in \mathbb{Z}\)
আমরা এখন নির্বাচন
$$h:\mathbb{N} \to \mathbb{Z}^2: h(2^k r) = \left ( (-1)^{k+1} \left \lfloor \frac{k+1}{2} \right \rfloor, (-1)^{\frac{r+1}{2}} \left \lfloor \frac{r+1}{4} \right \rfloor \right ) $$
ফাংশন হিসাবে যা প্রতিটি প্রাকৃতিক সংখ্যায় পুরো সংখ্যার একটি সংখ্যা নির্ধারিত করে (ঠিক)) এই ফাংশনটির পছন্দটি \(f(n) = (-1)^n \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor\) , \(\mathbb{N}\) \(\mathbb{Z}\) এবং \(g(2^kr) = (k+1, \frac{r+1}{2})\) , যা \(\mathbb{N}\) \(\mathbb{N}^2\) মানচিত্র বাইজেক্টিভ, প্রেরণাভুক্ত।
আমরা এখন দেখি যে \(h\) ( \(h\) sur \(h\) সার্জেটিভিটিও ইনজেকশনযুক্ত, তবে আমাদের এই সম্পত্তিটির দরকার নেই)।
আসুন \((x,y) = (2^{k_1} r_1, 2^{k_2} r_2) \in\mathbb{Z}^2\) । কিন্তু তারপর
$$h \left ( 2^{2 \cdot 2^{k_1} r_1 - 1} \cdot (4 \cdot 2^{k_2} r_2 - 1) \right ) = (2^{k_1} r_1, 2^{k_2} r_2) = (x,y).$$
সুতরাং: \(\forall (s,z) \in \mathbb{Z}^2 \, \exists \, m \in \mathbb{N}\) \(h(m) = (x_m,y_m) = (s, z)\) \(\forall (s,z) \in \mathbb{Z}^2 \, \exists \, m \in \mathbb{N}\) \(h(m) = (x_m,y_m) = (s, z)\) ।
উদাহরণস্বরূপ, যদি আমাদের \(n = 88\) এ সরানোর পালা হয় তবে আমরা \(h(88)=(2,3)\) গণনা করি এবং অবস্থান হিসাবে \(2 + 88 \cdot 3 = 266\) \(h(88)=(2,3)\) নির্বাচন করি।
তারপরে ঠিক \(m\) \(x_m + m \cdot y_m = s + m \cdot z = a_m\) দিয়ে \(x_m + m \cdot y_m = s + m \cdot z = a_m\) পরে পছন্দটি ব্যাঙের উপর পড়ে।
\(h\) এর পাশাপাশি ক্যান্টোরের জুড়ি ফাংশন বা বাইজিক সর্পিলের মতো আরও অনেকগুলি কাজ সম্ভব possible
জাভাস্ক্রিপ্টে এখানে একটি সাধারণ প্রয়োগ রয়েছে:
See the Pen catch the frog by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.