Siete al telefono con un amico negli Stati Uniti in una gelida giornata invernale. "Qui ci sono meno \(40\) gradi!" esclamate entrambi contemporaneamente. Normalmente, si tratterebbe di chiarire chi intende Celsius e chi Fahrenheit, ma non a questa particolare temperatura. Perché? Questo punto è l'unica temperatura in cui le scale Celsius e Fahrenheit coincidono!
\(−40\) gradi Fahrenheit corrispondono esattamente \(−40\) gradi Celsius. Questa non è una coincidenza, ma una conseguenza diretta della relazione lineare tra le due scale. Entrambe le scale di temperatura sono trasformazioni affini (lineare + spostamento) della stessa grandezza fisica, la "temperatura". La conversione tra queste due scale è spesso tediosa. Tuttavia, c'è un punto interessante in cui entrambe le scale hanno lo stesso valore numerico.
- Scala Celsius (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Punto di congelamento dell'acqua
\(100^\circ\mathrm{C}\) punto di ebollizione dell'acqua
Distanza tra questi punti fissi: \(100\) gradi. - Scala Fahrenheit (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Punto di congelamento dell'acqua
\(212^\circ\mathrm{F}\) Punto di ebollizione dell'acqua
Distanza tra questi punti fissi: \(212-32=180\) gradi.
Questo determina il rapporto (pendenza) tra le scale:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Anche il punto zero (offset) è diverso: \(0^\circ\mathrm{C}\) corrisponde a \(32^\circ\mathrm{F}\) .
Per derivare la formula standard, cerchiamo una mappatura affine della forma
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
dove \(a\) la pendenza (fattore di scala) e \(b\) è l'offset.
Le due condizioni seguenti sono sufficienti perché una mappatura affine attraverso due punti è determinata in modo univoco:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Sostituendo si ottiene la formula standard:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
L'inverso (da Fahrenheit a Celsius) si ottiene risolvendo per \(T_\mathrm{C}\) :
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Ora cerchiamo la temperatura \(T\) alla quale appare lo stesso valore numerico in entrambe le scale:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Ora inserisci \(T_\mathrm{F}\) nella formula standard:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
e infine
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Ciò si traduce in \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
e quindi
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Per valori Celsius positivi, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) sempre un valore numerico più grande di \(T_\mathrm{C}\) (per esempio. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). Per valori Celsius sufficientemente negativi, il \(32\) Gradi all'inizio della scala Fahrenheit sono in realtà sotto lo zero. A un certo punto, questo compensa il fattore di scala \(\frac{9}{5}\). Questo punto di equilibrio è esattamente \(−40\): c'è lo spostamento aggiuntivo \(+32\) appena abbastanza grande da far sì che entrambi i valori numerici siano identici. Graficamente, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (una linea retta) e \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (diagonale) – il punto di intersezione delle loro linee è in \((-40,-40)\).
Al contrario, le temperature assolute (ad esempio, per calcoli termodinamici) sono espresse in Kelvin o Rankine, dove non vi è alcun offset nella conversione di scala (solo un fattore di scala puro). Ad esempio, tra Celsius e Kelvin \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) . L'esistenza di questo offset è proprio la ragione per cui la mappa Celsius-Fahrenheit è affine e non puramente lineare. L'uguaglianza \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) deriva direttamente dalla relazione affine tra Fahrenheit e Celsius.
Se sostituisci \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) in \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) e risolvi, ottieni chiaramente \(T=-40\) . Questo è esattamente il punto in cui le due scale si intersecano. Questo punto di intersezione a \(-40\) è l'unico punto in cui i valori numerici di entrambe le scale sono identici. Ciò è dovuto alla natura lineare della conversione: due rette non parallele si intersecano sempre esattamente in un punto. Quindi la prossima volta che qualcuno menziona \(-40\) gradi, non devi chiedere esplicitamente a quale scala si riferisce.