Դուք հեռախոսով խոսում եք ԱՄՆ-ում ապրող ընկերոջ հետ՝ սառնամանիքային ձմեռային օրը։ «Այստեղ \(40\) աստիճան է»,- միաժամանակ բացականչում եք երկուսդ էլ։ Սովորաբար սա պետք է լիներ պարզաբանելու, թե ով նկատի ունի Ցելսիուսը, իսկ ով՝ Ֆարենհայտը, բայց ոչ այս կոնկրետ ջերմաստիճանում։ Ինչո՞ւ։ Այս կետը միակ ջերմաստիճանն է, որտեղ Ցելսիուսի և Ֆարենհայտի սանդղակները համընկնում են։
\(−40\) աստիճան Ֆարենհայտը ճիշտ \(−40\) աստիճան Ցելսիուս է։ Սա պատահականություն չէ, այլ երկու սանդղակների միջև գծային կապի ուղղակի հետևանք։ Երկու ջերմաստիճանային սանդղակներն էլ նույն ֆիզիկական մեծության՝ «ջերմաստիճանի» աֆինային ձևափոխություններն են (գծային + տեղաշարժ)։ Այս երկու սանդղակների միջև փոխակերպումը հաճախ ձանձրալի է։ Այնուամենայնիվ, կա մի հետաքրքիր կետ, որտեղ երկու սանդղակներն էլ ունեն նույն թվային արժեքը։
- Ցելսիուսի սանդղակ (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Ջրի սառեցման կետ
Ջրի եռման կետը \(100^\circ\mathrm{C}\)
Այս ֆիքսված կետերի միջև հեռավորությունը՝ \(100\) աստիճան։ - Ֆարենհայտի սանդղակ (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Ջրի սառեցման կետ
\(212^\circ\mathrm{F}\) Ջրի եռման ջերմաստիճանը
Այս ֆիքսված կետերի միջև հեռավորությունը՝ \(212-32=180\) աստիճան։
Սա որոշում է սանդղակների միջև հարաբերակցությունը (թեքությունը):
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Զրոյական կետը (օֆսեթ) նույնպես տարբեր է՝ \(0^\circ\mathrm{C}\) համապատասխանում է \(32^\circ\mathrm{F}\) :
Ստանդարտ բանաձևը ստանալու համար մենք փնտրում ենք ձևի աֆինային արտապատկերում
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
որտեղ \(a\) (մասշտաբի գործակիցը), իսկ \(b\) -ն՝ շեղումը։
Հետևյալ երկու պայմանները բավարար են, քանի որ երկու կետերով աֆինային արտապատկերումը միանշանակորեն որոշված է։:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Փոխարինումը տալիս է ստանդարտ բանաձևը՝
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
Հակառակը (Ֆարենհայտից մինչև Ցելսիուս) ստացվում է՝ լուծելով \(T_\mathrm{C}\) ։
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Հիմա մենք փնտրում ենք այն ջերմաստիճանը \(T\) որի դեպքում երկու սանդղակներում էլ նույնական թվային արժեքը կհայտնվի։
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Հիմա ստանդարտ բանաձևի մեջ տեղադրեք \(T_\mathrm{F}\) ։
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
և վերջապես
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Սա հանգեցնում է \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
և այսպիսով
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Դրական Ցելսիուսի արժեքների համար՝ \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) միշտ ավելի մեծ թվային արժեք, քան \(T_\mathrm{C}\) (օրինակ՝ \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). Բավականաչափ բացասական Ցելսիուսի արժեքների համար, \(32\) Ֆարենհայտի սանդղակի սկզբում աստիճանը իրականում զրոյից ցածր է։ Որոշակի պահի սա փոխհատուցում է սանդղակի գործակիցը \(\frac{9}{5}\). Այս հավասարակշռության կետը ճիշտ է \(−40\): կա լրացուցիչ տեղաշարժ \(+32\) բավականաչափ մեծ, որպեսզի երկու թվային արժեքներն էլ նույնական լինեն։ Գրաֆիկորեն, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (ուղիղ գիծ) և \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (անկյունագծային) – նրանց գծերի հատման կետը գտնվում է \((-40,-40)\).
Ի տարբերություն դրա, բացարձակ ջերմաստիճանները (օրինակ՝ թերմոդինամիկական հաշվարկների համար) տրվում են Կելվինով կամ Ռանկինով, որտեղ մասշտաբի փոխակերպման մեջ շեղում չկա (միայն մաքուր մասշտաբի գործակից): Օրինակ՝ Ցելսիուսի և Կելվինի միջև կիրառվում է \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) : Այս շեղման գոյությունն է հենց այն պատճառը, որ Ցելսիուս-Ֆարենհայտ արտապատկերումը աֆին է և ոչ թե զուտ գծային: \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) հավասարությունն անմիջապես բխում է Ֆարենհայտի և Ցելսիուսի միջև աֆինային հարաբերությունից:
Եթե \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) -ն փոխարինեք \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) -ով և լուծեք, ապա հստակ կստանաք \(T=-40\) : Հենց այստեղ են հատվում երկու մասշտաբները: \(-40\) հատման կետը միակ կետն է, որտեղ երկու մասշտաբների թվային արժեքները նույնական են: Սա պայմանավորված է փոխակերպման գծային բնույթով. երկու ոչ զուգահեռ ուղիղներ միշտ հատվում են ճիշտ մեկ կետում: Այսպիսով, հաջորդ անգամ, երբ ինչ-որ մեկը հիշատակի \(-40\) աստիճաններ, դուք պարտավոր չեք հստակ հարցնել, թե որ մասշտաբն է նկատի ունենում: