आप अमेरिका में किसी कड़ाके की ठंड में अपने किसी दोस्त से फ़ोन पर बात कर रहे हैं। "यहाँ तो तापमान माइनस \(40\) डिग्री है!" आप दोनों एक साथ चिल्लाते हैं। आमतौर पर, यह स्पष्ट करने की बात होती है कि सेल्सियस और फ़ारेनहाइट का मतलब क्या है—लेकिन इस खास तापमान पर ऐसा नहीं है। ऐसा क्यों? यही वह तापमान है जिस पर सेल्सियस और फ़ारेनहाइट के पैमाने एकमत होते हैं!
\(−40\) डिग्री फ़ारेनहाइट ठीक \(−40\) डिग्री सेल्सियस होता है। यह कोई संयोग नहीं है, बल्कि दोनों पैमानों के बीच रैखिक संबंध का सीधा परिणाम है। दोनों तापमान पैमाने एक ही भौतिक राशि, "तापमान" के एफ़ाइन रूपांतरण (रैखिक + विस्थापन) हैं। इन दोनों पैमानों के बीच रूपांतरण अक्सर थकाऊ होता है। हालाँकि, एक दिलचस्प बिंदु है जहाँ दोनों पैमानों का संख्यात्मक मान समान होता है।
- सेल्सियस पैमाना (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) पानी का हिमांक
\(100^\circ\mathrm{C}\) जल का क्वथनांक
इन निश्चित बिंदुओं के बीच की दूरी: \(100\) डिग्री. - फ़ारेनहाइट पैमाना (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) पानी का हिमांक
\(212^\circ\mathrm{F}\) जल का क्वथनांक
इन निश्चित बिंदुओं के बीच की दूरी: \(212-32=180\) डिग्री.
यह तराजू के बीच अनुपात (ढलान) निर्धारित करता है:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
शून्य बिंदु (ऑफ़सेट) भी भिन्न है: \(0^\circ\mathrm{C}\) \(32^\circ\mathrm{F}\) से मेल खाता है।
मानक सूत्र प्राप्त करने के लिए, हम फॉर्म के एक एफ़िन मैपिंग की तलाश करते हैं
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
जहां \(a\) और \(b\) ऑफसेट है।
निम्नलिखित दो स्थितियाँ पर्याप्त हैं क्योंकि दो बिंदुओं के माध्यम से एक एफ़िन मैपिंग विशिष्ट रूप से निर्धारित होती है:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
प्रतिस्थापन से मानक सूत्र प्राप्त होता है:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
व्युत्क्रम (फ़ारेनहाइट से सेल्सियस तक) \(T_\mathrm{C}\) को हल करके प्राप्त किया जाता है:
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
अब हम उस तापमान \(T\) की तलाश कर रहे हैं जिस पर दोनों पैमानों में समान संख्यात्मक मान दिखाई देता है:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
अब मानक सूत्र में \(T_\mathrm{F}\) डालें:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
और अंत में
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
इस में यह परिणाम \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
और इस तरह
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
सकारात्मक सेल्सियस मानों के लिए, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) हमेशा से बड़ा संख्यात्मक मान \(T_\mathrm{C}\) (उदा. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). पर्याप्त रूप से नकारात्मक सेल्सियस मानों के लिए, \(32\) फ़ारेनहाइट पैमाने की शुरुआत में डिग्री वास्तव में शून्य से नीचे है। किसी बिंदु पर, यह पैमाने के कारक की भरपाई करता है \(\frac{9}{5}\). यह संतुलन बिंदु बिल्कुल \(−40\): वहाँ अतिरिक्त बदलाव है \(+32\) बस इतना बड़ा कि दोनों संख्यात्मक मान समान हों। ग्राफ़िक रूप से, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (एक सीधी रेखा) और \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (विकर्ण) - उनकी रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है \((-40,-40)\).
इसके विपरीत, निरपेक्ष तापमान (जैसे, ऊष्मागतिकीय गणनाओं के लिए) केल्विन या रैंकिन में दिए जाते हैं, जहाँ स्केल रूपांतरण में कोई ऑफसेट नहीं होता (केवल एक शुद्ध स्केल कारक होता है)। उदाहरण के लिए, सेल्सियस और केल्विन के बीच \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) लागू होता है। इस ऑफसेट का अस्तित्व ही वह कारण है जिसके कारण सेल्सियस-फ़ारेनहाइट मानचित्रण एफ़ाइन है और पूर्णतः रैखिक नहीं है। समानता \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) फ़ारेनहाइट और सेल्सियस के बीच एफ़ाइन संबंध से सीधे उत्पन्न होती है।
यदि आप \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) में प्रतिस्थापित करते हैं और हल करते हैं, तो आपको स्पष्ट रूप से \(T=-40\) प्राप्त होता है। यह ठीक वही स्थान है जहाँ दोनों पैमाने प्रतिच्छेद करते हैं। \(-40\) पर यह प्रतिच्छेदन बिंदु एकमात्र ऐसा बिंदु है जहाँ दोनों पैमानों के संख्यात्मक मान समान हैं। यह रूपांतरण की रैखिक प्रकृति के कारण है: दो गैर-समानांतर रेखाएँ हमेशा ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसलिए अगली बार जब कोई \(-40\) डिग्री का उल्लेख करता है, तो आपको स्पष्ट रूप से यह पूछने की आवश्यकता नहीं है कि उनका मतलब किस पैमाने से है।