أنت تتحدث مع صديق في الولايات المتحدة الأمريكية عبر الهاتف في يوم شتوي قارس. "درجة الحرارة هنا \(40\) درجة تحت الصفر!" صرختما في آن واحد. عادةً، يتطلب الأمر توضيح من يقصد بالدرجة المئوية ومن يقصد بالفهرنهايت، ولكن ليس عند هذه الدرجة تحديدًا. لماذا؟ هذه هي درجة الحرارة الوحيدة التي يتفق عندها مقياسا الدرجة المئوية والفهرنهايت!
\(−40\) درجة فهرنهايت تساوي بالضبط \(−40\) درجة مئوية. هذا ليس مصادفة، بل نتيجة مباشرة للعلاقة الخطية بين المقياسين. كلا المقياسين للحرارة عبارة عن تحويلات تآلفية (خطية + إزاحة) لنفس الكمية الفيزيائية، وهي "درجة الحرارة". غالبًا ما يكون التحويل بين هذين المقياسين مُملاً. ومع ذلك، هناك نقطة مثيرة للاهتمام حيث يكون لكلا المقياسين القيمة العددية نفسها.
- مقياس سيليزيوس (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) نقطة تجمد الماء
نقطة غليان الماء \(100^\circ\mathrm{C}\)
المسافة بين هذه النقاط الثابتة: \(100\) درجة. - مقياس فهرنهايت (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) نقطة تجمد الماء
\(212^\circ\mathrm{F}\) نقطة غليان الماء
المسافة بين هذه النقاط الثابتة: \(212-32=180\) درجة.
هذا يحدد النسبة (الميل) بين المقاييس:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
تختلف نقطة الصفر (الإزاحة) أيضًا: \(0^\circ\mathrm{C}\) يتوافق مع \(32^\circ\mathrm{F}\) .
لاستنتاج الصيغة القياسية، نبحث عن تعيين أفيني للنموذج
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
حيث \(a\) الميل (عامل المقياس) و \(b\) هو الإزاحة.
الشرطان التاليان كافيان لأن التعيين الأفيني من خلال نقطتين يتم تحديده بشكل فريد:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
يؤدي الاستبدال إلى الحصول على الصيغة القياسية:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
يتم الحصول على العكس (من فهرنهايت إلى مئوية) عن طريق حل \(T_\mathrm{C}\) :
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
الآن نحن نبحث عن درجة الحرارة \(T\) التي تظهر عندها القيمة العددية المتطابقة في كلا المقياسين:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
الآن أدخل \(T_\mathrm{F}\) في الصيغة القياسية:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
وأخيرا
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
وهذا يؤدي إلى \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
وهكذا
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
بالنسبة لقيم مئوية موجبة، \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) دائما قيمة عددية أكبر من \(T_\mathrm{C}\) (على سبيل المثال \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). بالنسبة لقيم مئوية سلبية بدرجة كافية، \(32\) في بداية مقياس فهرنهايت، تكون درجة الحرارة أقل من الصفر. في مرحلة ما، يُعوّض هذا عن عامل المقياس. \(\frac{9}{5}\). هذه نقطة التوازن هو بالضبط \(−40\): هناك التحول الإضافي \(+32\) كبيرة بما يكفي لتكون القيمتان العدديتان متطابقتين. بيانيًا، \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (خط مستقيم) و \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (قطري) - نقطة تقاطع خطوطهم هي عند \((-40,-40)\).
في المقابل، تُعطى درجات الحرارة المطلقة (مثلاً، في الحسابات الديناميكية الحرارية) بالكلفن أو رانكين، حيث لا يوجد أي إزاحة في تحويل المقياس (عامل مقياس بحت فقط). على سبيل المثال، بين سيليزيوس وكلفن \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) . ووجود هذا الإزاحة هو بالتحديد السبب في أن تعيين سيليزيوس-فهرنهايت تآلفي وليس خطيًا بحتًا. تنبع المساواة \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) مباشرةً من العلاقة التآلفية بين فهرنهايت وسيليزيوس.
إذا عوضتَ \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) في \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) وحللت، فستحصل بوضوح على \(T=-40\) . هذه هي النقطة التي يتقاطع فيها المقياسان بالضبط. نقطة التقاطع هذه عند \(-40\) هي النقطة الوحيدة التي تتطابق فيها القيم العددية لكلا المقياسين. ويرجع ذلك إلى الطبيعة الخطية للتحويل: يتقاطع خطان غير متوازيين دائمًا في نقطة واحدة فقط. لذا، في المرة القادمة التي يذكر فيها أحدهم \(-40\) درجة، لا داعي لسؤاله صراحةً عن المقياس الذي يقصده.