ডোবল খেলায় গণিত

শেষ পারিবারিক সন্ধ্যায়, ডোবল (হ্যারি পটার সংস্করণে) খেলাটি শিশুদের দ্বারা উত্সাহের সাথে টেবিলে আনা হয়েছিল। 5ম হারানো রাউন্ডের পরে (প্লেয়িং কার্ডের সাথে আমার কার্ডের কোন দৃশ্যমান হিট ছাড়া) আমাকে বলা হয়েছিল, আমার বিস্ময়ের সাথে, প্রতিটি খেলোয়াড় সবসময় প্রতি রাউন্ডে একটি হিট খুঁজে পেতে পারে। কিন্তু আমার অবিশ্বাস শুধুমাত্র আরও হারানো কোলে স্বীকার করা হয়েছিল - বাচ্চারা সহজভাবে দ্রুত ছিল।


একটি গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে গেমটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখার জন্য যথেষ্ট কারণ। প্রথমে গেমের নীতি: Dobble হল একটি সাধারণ কার্ড গেম যার সাথে \(55\) গোল কার্ড রয়েছে, প্রতিটিতে আটটি ভিন্ন চিহ্ন রয়েছে। সমস্ত কার্ড পালাক্রমে ডিল করা হয়, শুধুমাত্র শেষ কার্ডটি টেবিলের মাঝখানে রেখে। এখন সমস্ত খেলোয়াড়কে তাদের বর্তমান শীর্ষ কার্ডের প্রতীকগুলির সাথে কার্ডের প্রতীকগুলির সাথে একযোগে তুলনা করতে হবে। যদি একজন খেলোয়াড় উভয় কার্ডে একই প্রতীক খুঁজে পান, তাহলে তিনি প্রতীকটির নাম দেওয়ার জন্য দ্রুততম হয়ে তার কার্ড স্ট্যাকের উপর রাখতে পারেন। যে খেলোয়াড় তাদের সমস্ত কার্ড বাতিল করে প্রথমে জয়ী হয়।

এটা কীভাবে হতে পারে যে \(55\) এমন কার্ডগুলি এমনভাবে তৈরি করা হয়েছিল যে কোনও 2টি কার্ডে ঠিক একটি চিহ্ন মিল রয়েছে? ন্যূনতম কতটি চিহ্ন ব্যবহার করতে হবে? এই ধরনের কার্ডের সর্বোচ্চ সংখ্যা কত?

প্রথমত, আমরা নিম্নলিখিত যৌক্তিক পদক্ষেপগুলি ব্যবহার করে এই কার্ডগুলি তৈরি করি (পরবর্তীতে নির্মিত সমস্ত কার্ডের সম্পত্তি রয়েছে যেগুলিকে ক্রমবর্ধমান ক্রমে বাছাই করা হয়েছে): প্রথম কার্ডটিতে অবশ্যই 8টি ভিন্ন চিহ্ন থাকতে হবে, অর্থাৎ রিড:

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{array}\right)$$

আমরা এখন নিম্নলিখিত কার্ডগুলিকে এমনভাবে তৈরি করি যাতে প্রথম কার্ডের সাথে তাদের ঠিক একটি প্রতীক মিল থাকে:

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{1.2} \\ x_{1.3} \\ x_{1.4} \\ x_{1.5} \\ x_{1.6} \\ x_{1.7} \\ x_{1.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{2.2} \\ x_{2.3} \\ x_{2.4} \\ x_{2.5} \\ x_{2.6} \\ x_{2.7} \\ x_{2.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{3.2} \\ x_{3.3} \\ x_{3.4} \\ x_{3.5} \\ x_{3.6} \\ x_{3.7} \\ x_{3.8} \end{array}\right), \ldots, \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{k.2} \\ x_{k.3} \\ x_{k.4} \\ x_{k.5} \\ x_{k.6} \\ x_{k.7} \\ x_{k.8} \end{array}\right)$$

এই ধরনের যেকোন সংখ্যক কার্ড ইতিমধ্যেই এখানে তৈরি করা যেতে পারে (আপনি কেবল \(9\) দিয়ে শুরু করে আরোহী ক্রমে স্থানগুলি পূরণ করুন)। এই তুচ্ছ ঘটনাটি অরুচিকর, তবে, যেহেতু আমরা ন্যূনতম সংখ্যক প্রতীক (এবং সর্বাধিক সংখ্যক কার্ড) সহ একটি সেটে আগ্রহী। আমরা এখন প্রতিটি কার্ডের দ্বিতীয় প্রতীক \( x_{l.2} \) বিবেচনা করি, যার জন্য স্পষ্টতই নিম্নলিখিতগুলি প্রযোজ্য হবে: \( x_{1.2} \neq x_{2.2} \neq x_{3.2} \neq \ldots \neq x_{k.2} \) । তাই আমরা অগত্যা \( k \) নতুন চিহ্ন চালু করেছি। কিন্তু এখন \( k \leq 8-1 = 7 \) , যেহেতু \( 7 \) চিহ্নগুলির \( x_{1.2},\, x_{1.3},\, x_{1.4},\, x_{1.5},\, x_{1.6},\, x_{1.7},\, x_{1.8} \) (বামদিকের কার্ডের) অন্য প্রতিটি কার্ডের দ্বিতীয় প্রতীকের সাথে মিলতে পারে (অন্যথায় দুটি অভিন্ন চিহ্ন থাকবে )

আমরা এই 7টি নতুন কার্ডের মধ্যে সর্বাধিক খুঁজে পেয়েছি:

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{1.2} \\ x_{1.3} \\ x_{1.4} \\ x_{1.5} \\ x_{1.6} \\ x_{1.7} \\ x_{1.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{2.2} \\ x_{2.3} \\ x_{2.4} \\ x_{2.5} \\ x_{2.6} \\ x_{2.7} \\ x_{2.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{3.2} \\ x_{3.3} \\ x_{3.4} \\ x_{3.5} \\ x_{3.6} \\ x_{3.7} \\ x_{3.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{4.2} \\ x_{4.3} \\ x_{4.4} \\ x_{4.5} \\ x_{4.6} \\ x_{4.7} \\ x_{4.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{5.2} \\ x_{5.3} \\ x_{5.4} \\ x_{5.5} \\ x_{5.6} \\ x_{5.7} \\ x_{5.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{6.2} \\ x_{6.3} \\ x_{6.4} \\ x_{6.5} \\ x_{6.6} \\ x_{6.7} \\ x_{6.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{7.2} \\ x_{7.3} \\ x_{7.4} \\ x_{7.5} \\ x_{7.6} \\ x_{7.7} \\ x_{7.8} \end{array}\right)$$

একই যুক্তি দিয়ে আমরা এখন পরবর্তী \(7\) মানচিত্র তৈরি করি (এই মানচিত্রগুলির মধ্যে প্রথমটিকে আমাদের প্রারম্ভিক মানচিত্রের সাথে সংঘর্ষ করতে হবে, এবং \(1\) সাথে নয়, অন্যথায় এটি পূর্বের \(7\) এর সাথে হবে। মানচিত্র পাওয়া গেছে):

$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{8.2} \\ x_{8.3} \\ x_{8.4} \\ x_{8.5} \\ x_{8.6} \\ x_{8.7} \\ x_{8.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{9.2} \\ x_{9.3} \\ x_{9.4} \\ x_{9.5} \\ x_{9.6} \\ x_{9.7} \\ x_{9.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{10.2} \\ x_{10.3} \\ x_{10.4} \\ x_{10.5} \\ x_{10.6} \\ x_{10.7} \\ x_{10.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{11.2} \\ x_{11.3} \\ x_{11.4} \\ x_{11.5} \\ x_{11.6} \\ x_{11.7} \\ x_{11.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{12.2} \\ x_{12.3} \\ x_{12.4} \\ x_{12.5} \\ x_{12.6} \\ x_{12.7} \\ x_{12.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{13.2} \\ x_{13.3} \\ x_{13.4} \\ x_{13.5} \\ x_{13.6} \\ x_{13.7} \\ x_{13.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{14.2} \\ x_{14.3} \\ x_{14.4} \\ x_{14.5} \\ x_{14.6} \\ x_{14.7} \\ x_{14.8} \end{array}\right)$$

এই যুক্তিটি পরবর্তী \(7\) কার্ডের জন্যও অব্যাহত রাখা যেতে পারে; মোট \(8-2 = 6\) আরও বার। শেষ \(7\) কার্ডগুলি সেই অনুযায়ী:

$$\left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{50.2} \\ x_{50.3} \\ x_{50.4} \\ x_{50.5} \\ x_{50.6} \\ x_{50.7} \\ x_{50.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{51.2} \\ x_{51.3} \\ x_{51.4} \\ x_{51.5} \\ x_{51.6} \\ x_{51.7} \\ x_{51.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{52.2} \\ x_{52.3} \\ x_{52.4} \\ x_{52.5} \\ x_{52.6} \\ x_{52.7} \\ x_{52.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{53.2} \\ x_{53.3} \\ x_{53.4} \\ x_{53.5} \\ x_{53.6} \\ x_{53.7} \\ x_{53.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{54.2} \\ x_{54.3} \\ x_{54.4} \\ x_{54.5} \\ x_{54.6} \\ x_{54.7} \\ x_{54.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{55.2} \\ x_{55.3} \\ x_{55.4} \\ x_{55.5} \\ x_{55.6} \\ x_{55.7} \\ x_{55.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{56.2} \\ x_{56.3} \\ x_{56.4} \\ x_{56.5} \\ x_{56.6} \\ x_{56.7} \\ x_{56.8} \end{array}\right)$$

আপনি যদি আরেকটি কার্ড যোগ করতে চান $$\left(\begin{array}{c} 9 \\ x_{57.2} \\ x_{57.3} \\ x_{57.4} \\ x_{57.5} \\ x_{57.6} \\ x_{57.7} \\ x_{57.8} \end{array}\right)$$ ব্যর্থ হবে কারণ এই কার্ডটি প্রারম্ভিক কার্ডের সাথে একটি প্রতীক ভাগ করে না। আমরা সর্বাধিক \(1 + 8 \cdot 7 = 57\) মানচিত্র তৈরি করেছি। আমাদের লক্ষ্য এখন অন্তত হিসাবে অনেক নির্মাণ করা হয়.

এটি করার জন্য, আমরা পাওয়া প্রথম 7টি নতুন কার্ডের দিকে তাকাই এবং এই সিদ্ধান্তে উপনীত হই যে আমাদের এখানে \(7 \cdot 7\) নতুন চিহ্নের প্রয়োজন (কোনও কার্ডে দুইবার চিহ্ন থাকতে পারে না এবং প্রতিটি প্রতীক বরাদ্দ করা উচিত নয়। দ্বিগুণ, যেহেতু \(1\) ইতিমধ্যে দ্বিগুণ):

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 9 \\ 10 \\ 11 \\ 12 \\ 13 \\ 14 \\ 15 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 16 \\ 17 \\ 18 \\ 19 \\ 20 \\ 21 \\ 22 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 23 \\ 24 \\ 25 \\ 26 \\ 27 \\ 28 \\ 29 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 30 \\ 31 \\ 32 \\ 33 \\ 34 \\ 35 \\ 36 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 37 \\ 38 \\ 39 \\ 40 \\ 41 \\ 42 \\ 43 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 44 \\ 45 \\ 46 \\ 47 \\ 48 \\ 49 \\ 50 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 51 \\ 52 \\ 53 \\ 54 \\ 55 \\ 56 \\ 57 \end{array}\right)$$

তাই আমাদের ন্যূনতম \(8 + (7 \cdot 7) = 57\) চিহ্নের প্রয়োজন (তাই কার্ডের মতো চিহ্ন!) আমরা এখন এই সংখ্যার মাধ্যমে পেতে এবং অন্যান্য সমস্ত উপাদানের জন্য একটি নির্মাণ নিয়ম খুঁজে বের করার চেষ্টা করছি। এটি করার জন্য, আমরা একটি সামান্য ছোট ডবল তৈরি করি যার প্রতি কার্ডে শুধুমাত্র \(3\) চিহ্ন থাকে এবং এটিকে প্রারম্ভিক কার্ড হিসাবে গ্রহণ করি।

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$$

এবং অন্যান্য কার্ড

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 7 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{3.2} \\ x_{3.3} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{4.2} \\ x_{4.3} \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 3 \\ x_{5.2} \\ x_{5.3} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 3 \\ x_{6.2} \\ x_{6.3} \end{array}\right)$$

মোট \(1 + 3 \cdot 2 = 7\) কার্ড এবং \( 3 + (2 \cdot 2) = 7\) চিহ্ন। সামান্য ট্রায়াল এবং ত্রুটির সাথে (এবং ইতিমধ্যে নির্ধারিত প্রতীকগুলি ব্যবহার করে) আপনি নিম্নলিখিত ডবলটি পাবেন:

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 7 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right)$$

এটাও কি পদ্ধতিগতভাবে পাওয়া যাবে? এটি করার জন্য, আমরা একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সে নতুন বরাদ্দকৃত চিহ্নগুলি \(4, 5, 6, 7\) লিখি।:

$$\begin{array}{ccc} 4 & & 5 \\ & & \\ 6 & & 7\end{array}$$

এখন আমরা প্রথম দুটি কার্ডের জন্য কল্পনা করি (স্টার্ট চিহ্ন \ \(4\) এবং \(5\) দিয়ে শুরু করে ) নীচের চিহ্নগুলির সাথে উল্লম্ব সংযোগকারী লাইন \(6\) এবং \(7\):

$$\begin{array}{ccc} 4 & & 5 \\ \vdots & & \vdots \\ 6 & & 7\end{array}$$

যেহেতু এই রেখাগুলিকে ছেদ করে না, তাই আমরা (সংযোগকারী লাইনের লাইনে চিহ্নগুলি প্লট করে) নিকটতম বৈধ কার্ডগুলি পাই:

$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right)$$

অবশেষে, আমরা একটি ভিন্ন ঢালের সাথে লাইনগুলিকে সংযুক্ত করার কল্পনা করি (এই ক্ষেত্রে ঢালের সাথে \(1\) ):

$$\begin{array}{ccccc} & 4 & & 5 & \\ \ddots & & \ddots & & \ddots \\ & 6 & & 7 &\end{array}$$

দ্বিতীয় সংযোগকারী লাইন ( \(5\) এবং \(6\) এর মধ্যে ) ম্যাট্রিক্সটিকে ডান প্রান্তে ছেড়ে দেয় এবং বাম প্রান্তে পুনরায় প্রবেশ করে। দক্ষতার সাথে ঢাল বেছে নেওয়ার মাধ্যমে, আমরা একদিকে নিশ্চিত করি যে সংযোগকারী লাইনগুলি একে অপরের সাথে ছেদ না করে, তবে এটিও যে পূর্ববর্তী (উল্লম্ব) সংযোগকারী লাইনগুলিকে ছেদ করে না। এই নকশা ধারণাটি শেষ পর্যন্ত নিম্নলিখিত নকশা সূত্রের দিকে পরিচালিত করে:

\(k \in \mathbb{N} \, | \, (k-1) \text{ prim} \) সহ একটি ডবলে \(1+(k \cdot (k-1)) = k^2-k+1 = k + (k-1)(k-1)\) কার্ড এবং প্রতীক। মানচিত্রের জন্য \(K_x\) \(x \in \mathbb{N}\) এবং \(0 \leq x \leq (k-1) \cdot k\) প্রযোজ্য:

$$K_x = \left(\begin{array}{c} f(x,1) \\ f(x,2) \\ \vdots \\ f(x,k) \end{array}\right), \,\, m = \left\lfloor \frac{x-1}{k-1} \right\rfloor + 1,$$

$$f(x,y) = \left\{\begin{array}{ll} y & \text{falls } x = 0 \\ \lfloor \frac{x-1}{k-1} \rfloor + 1, &\text{sonst falls } y = 1 \\ (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2), & \text{sonst falls } 0 < x < k \\ \left( \left((m-1)(k-1)+x\right)-1+ \left( (m-2)(y-2) \right) \right) \% (k-1) &\text{sonst} \\ + (k+1) + (k-1)(y-2)&\end{array}\right.$$

এই কার্ডগুলির \((k-1)\cdot k + 1 = k + (k-1)(k-1)\) টুকরা রয়েছে। এখন শুধু দেখানো বাকি:

$$ \forall x_1 < x_2 \in \{ 1, \ldots, k+(k-1)(k-1) \} \, \exists \, ! \, y_1, y_2 \in \{ 1, \ldots, k \}: f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) $$

  • 1 ম কেস: \( x_1 = 0 \)
    • মামলা 1 ক: \( 0 < x_2 < k \)
      • \(y_1 = 1\) এবং \(y_2 = 1\) আছে:
        \(f(x_1, y_1) = f(0, 1) = 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \rfloor + 1 = 1\)
      • \(y_1 \neq 1\) এবং \(y_2 = 1\) আছে:
        \(f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \neq 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = \lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \rfloor + 1 = 1\)
      • \(y_1 = 1\) এবং \(y_2 \neq 1\) আছে:
        \(f(x_1, y_1) = f(0, 1) = 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2) =\)
        \((k+1)(x-1) + (k-1) + y \geq (k+1)(x-1)+y > 1\)
      • \(y_1 \neq 1\) এবং \(y_2 \neq 1\) এর জন্য হল:
        \(f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \leq k\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2) > k\)
    • মামলা 1 খ: \( x_2 \geq k \)
      • \(y_1 = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\) এবং \(y_2 = 1\) জন্য আমাদের আছে:
        \(f(x_1, y_1) = f(0, \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\)
      • \(y_1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\) এবং \(y_2 = 1\) এর জন্য:
        \(f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\)
      • এর জন্য \(y_2 \neq 1\) হল:
        \(f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \leq k\)
        \(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)\)
        \(+ (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1)+(k-1)(y_2-2) > k \)
  • ২ য় কেস: \( 0 < x_1 < k \)
    • কেস 2a: \( 0 < x_2 < k \)
      • \(y_1 = 1\) এবং \(y_2 = 1\) আছে:
        \(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
      • \(y_1 \neq 1\) এবং \(y_2 = 1\) আছে:
        \(f(x_1, y_1) = f(x_1, y_1) = (k+1)+(k-1)(x_1-1)+(y_1-2) > 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
      • \(y_1 = 1\) এবং \(y_2 \neq 1\) আছে:
        \(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1)+(k-1)(x_2-1)+(y_2-2) > 1\)
      • \(y_1 \neq 1\) এবং \(y_2 \neq 1\) এর জন্য হল:
        \(f(x_1, y_1) = (k+1)+(k-1)(x_1-1)+(y_1-2) \leq\)
        \((k+1)+(k-1)(x_1-1)+(k-2)\)
        \(f(x_2, y_2) = (k+1)+(k-1)(x_2-1)+(y_2-2) \geq\)
        \((k+1)+(k-1)((x_1+1)-1)+(y_2-2) =\)
        \((k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) + (y_2-2) \geq\)
        \((k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) + (2-2) \geq\)
        \((k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) > (k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-2)\)
    • কেস 2 খ: \( x_2 \geq k \)
      • \(y_1 = 1\) এবং \(y_2 = 1\) আছে:
        \(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \geq \left\lfloor \frac{k-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 2 > 1\)
      • \(y_1 = 1\) এবং \(y_2 \neq 1\) আছে:
        \(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
        \(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)\)
        \(+ (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) + (k-1)(y_2-2) > 1\)
      • \(y_1 \neq 1\) এবং \(y_2 = 1\) আছে:
        \(f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1)\)
        \(+ (k+1) + (k-1)(y_1-2) \geq (k+1) + (k-1)(y_1-2) > 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
      • জন্য \(y_1 \neq 1\) এবং \(y_2 \neq 1\) হয়:
        \((k+1) + (k-1)(x_1-1) + (y_1-2) =\)
        \(\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)\)
        \(+ (k+1) + (k-1)(y-2)\)
        \(\Leftrightarrow y_1 = (k-1)y_2 - (k-1)(x_1+1) +\)
        \(\left( 2 + \left( \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \right) \right) \)
        জন্য \(y_2 = x_1+1\) সঙ্গে \( 2 \leq y_2 \leq k\) হয়
        \(y_1 = 2 + \left( \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \right)\) সঙ্গে \( 2 \leq y_1 \leq k\).
        এখানে শুধুমাত্র একটি সমাধান আছে \( (y_1, y_2) \).
        কারণ আমরা নির্বাচন করি \(y^*_2=y_2-1\) মান হিসাবে, হয় \(y^*_1 = y_1-(k-1) < 2\).
        উপরন্তু, জন্য \(y^*_2*=y_2+1\) তারপর \(y^*_1 = y_1+(k-1) > k\).
  • 3. মামলা: \( x_1 \geq k \)
    • কেস 3a: \( x_2 \geq k \)
      • কেস 3a': \(m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor +1 = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor +1 = m_2\)
        • \(y_1 = 1\) এবং \(y_2 = 1\) আছে:
          \(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1\)
          \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = m_2 = m_1\)
        • \(y_1 = 1\) এবং \(y_2 \neq 1\) আছে:
          \(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \leq \left\lfloor \frac{((k-1) \cdot k)-1}{k-1} \right\rfloor + 1 =\)
          \(\left\lfloor k - \frac{1}{k-1} \right\rfloor + 1 = (k - 1) + 1 = k\)
          \(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%\)
          \((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq\)
          \((k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) > k\)
        • \(y_1 \neq 1\) এবং \(y_2 = 1\) আছে:
          দেখুন \(y_1 = 1\) এবং \(y_2 \neq 1\)
        • জন্য \(y_1 \neq 1\) এবং \(y_2 \neq 1\) হয়:
          \(f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \%\)
          \((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2)\)
          \(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%\)
          \((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2)\)
          তারপর \(f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \Leftrightarrow\)
          \(L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow\)
          \(L_1 + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow\)
          \(L_1 - L_2 = (k-1)(y_2-y_1)\)
          জন্য \(y_1 \neq y_2\) হয় \(L_1-L_2 \leq (k-2 - 0) = k-2 < (k-1)(y_2-y_1)\).
          জন্য \(y_1 = y_2\) হয় \(L_1 - L_2 = 0 \Leftrightarrow L_1 = L_2\) এবং
          \(\left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1) =\)
          \(\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \Leftrightarrow\)
          \(x_1 = x_2 + (k-1)\cdot l\) এর বিপরীতে \(m_1 = m_2\).
      • কেস 3a'': \(m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor +1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor +1 = m_2\)
        • \(y_1 = 1\) এবং \(y_2 = 1\) আছে:
          \(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1\)
          \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = m_2 \neq m_1\)
        • \(y_1 = 1\) এবং \(y_2 \neq 1\) আছে:
          \(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \leq \left\lfloor \frac{((k-1) \cdot k)-1}{k-1} \right\rfloor + 1 =\)
          \(\left\lfloor k - \frac{1}{k-1} \right\rfloor + 1 = (k - 1) + 1 = k\)
          \(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%\)
          \((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq\)
          \((k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) > k\)
        • \(y_1 \neq 1\) এবং \(y_2 = 1\) আছে:
          দেখুন \(y_1 = 1\) এবং \(y_2 \neq 1\)
        • জন্য \(y_1 \neq 1\) এবং \(y_2 \neq 1\) হয়:
          \(f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \%\)
          \((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2)\)
          \(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%\)
          \((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2)\)
          তারপর \(f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \Leftrightarrow\)
          \(L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow\)
          \(L_1 + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow\)
          \(L_1 - L_2 = (k-1)(y_2-y_1)\)
          জন্য \(y_1 \neq y_2\) হয় \(L_1-L_2 \leq (k-2 - 0) = k-2 < (k-1)(y_2-y_1)\).
          জন্য \(y_1 = y_2\) হয় \(L_1 - L_2 = 0 \Leftrightarrow L_1 = L_2\) এবং
          \(\left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1) =\)
          \(\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \Leftrightarrow\)
          \(y = \frac{(k-1)\cdot l + (3-k)(m_2 - m_1) + (x_1 - x_2)}{m_2 - m_1}\)
          ভাল আছে জন্য \(2 \leq y \leq k\) সবসময় a \(l \in \mathbb{N}_0\), যাতে
          \(m_2 - m_1 \mid (k-1)\cdot l + (3-k)(m_2 - m_1) + (x_1 - x_2)\).
          প্রমাণ: সেখানে \((k-1)\) প্রাইম, ইজ (বেজউটের লেমার কারণে)
          \((k-1)\cdot l \equiv -\left( (3-k)(m_2-m_1) + (x_1-x_2) \right) \, \mod (m_2-m_1)\)
          সমাধানযোগ্য, কারণ \(\text{ggT}\left((k-1),(m_2-m_1)\right) = 1\) বিভক্ত \(-\left( (3-k)(m_2-m_1) + (x_1-x_2) \right)\).
          তাহলে এটাই একমাত্র সমাধান \(l_1\), কারণ একজনের জন্য
          \(l_2 = l_1 + (m_2-m_1)\) হয় \( y_2 = y_1 + (k-1) > k\).

আপনি এখানে বা এখানে ডবল এবং গণিত বিষয়ে আকর্ষণীয় পটভূমির তথ্য পেতে পারেন। নিম্নলিখিত স্ক্রিপ্টে আপনি পূর্বে প্রমাণিত সূত্রটি কর্মে দেখতে পাচ্ছেন: ডবলস ( \((k-1)\) প্রিমের জন্য) একটি বোতাম ধাক্কা দিয়ে তৈরি করা যেতে পারে:

See the Pen DOBBLE CREATOR by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.

পেছনে