Добл оюнундагы математика

Акыркы үй-бүлө кечинде балдар Dobble оюнун (Гарри Поттер чыгарылышында) шыктануу менен дасторконго алып келишти. 5-раундда утулгандан кийин (оюн картасы менен картамдын эч кандай соккусу жок) мага таң калганым үчүн ар бир оюнчу ар бир раундда хит таба алат деп айтышты. Бирок менин ишенбегендигим андан ары утулуп калган айлампалар менен гана таанылды - балдар жөн эле ылдамыраак.


Математикалык көз караш менен оюнду жакшыраак карап чыгуу үчүн жетиштүү себеп. Биринчи оюндун принциби: Dobble – бул ар бири сегиз түрдүү символду көрсөткөн \(55\) тегерек карталары бар жөнөкөй карта оюну. Бардык карталар өз кезегинде бөлүштүрүлүп, үстөлдүн ортосунда акыркы карта гана калат. Эми бардык оюнчулар бир эле учурда картадагы символдорду учурдагы жогорку картасындагы символдор менен салыштырышы керек. Эгерде оюнчу эки картада тең бирдей символду тапса, ал символду эң тез атаган болуп, өз картасын стекке коё алат. Бардык карталарын биринчи таштаган оюнчу жеңет.

Кандайча \(55\) ушундай карталар бар, алар ар кандай 2 картада так бир жалпы символго ээ боло тургандай кылып курулган? Мындай символдордун минималдуу саны канча болушу керек? Мындай карталардын максималдуу саны канча?

Биринчиден, биз бул карталарды төмөнкү логикалык кадамдарды колдонуу менен курабыз (кийинки бардык түзүлгөн карталар өсүү тартибинде иреттелген касиетке ээ): Биринчи картада 8 түрдүү символ болушу керек, б.а.:

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{array}\right)$$

Эми биз төмөнкү карталарды биринчи карта менен так бир символго ээ боло тургандай кылып курабыз:

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{1.2} \\ x_{1.3} \\ x_{1.4} \\ x_{1.5} \\ x_{1.6} \\ x_{1.7} \\ x_{1.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{2.2} \\ x_{2.3} \\ x_{2.4} \\ x_{2.5} \\ x_{2.6} \\ x_{2.7} \\ x_{2.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{3.2} \\ x_{3.3} \\ x_{3.4} \\ x_{3.5} \\ x_{3.6} \\ x_{3.7} \\ x_{3.8} \end{array}\right), \ldots, \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{k.2} \\ x_{k.3} \\ x_{k.4} \\ x_{k.5} \\ x_{k.6} \\ x_{k.7} \\ x_{k.8} \end{array}\right)$$

Мындай карталардын каалаган санын бул жерде түзсө болот (сиз жөн гана жерлерди \(9\) менен баштап өсүү тартибинде толтурасыз). Бул майда-чүйдө окуя кызыксыз, бирок бизди символдордун минималдуу саны (жана карталардын максималдуу саны) болгон топтом кызыктырууда. Эми биз ар бир картанын экинчи белгиси \( x_{l.2} \) карап көрөлү, ал үчүн, албетте, төмөнкүлөр колдонулушу керек: \( x_{1.2} \neq x_{2.2} \neq x_{3.2} \neq \ldots \neq x_{k.2} \) . Ошондуктан биз сөзсүз түрдө \( k \) жаңы символдорду киргиздик. Бирок азыр \( k \leq 8-1 = 7 \) , анткени \( 7 \) символдорунун бири да жок \( x_{1.2},\, x_{1.3},\, x_{1.4},\, x_{1.5},\, x_{1.6},\, x_{1.7},\, x_{1.8} \) (эң сол жактагы карта) башка карталардын ар биринин экинчи символуна дал келиши мүмкүн (антпесе эки окшош белги болот) ).

Биз бул 7 жаңы картанын максимумун таптык:

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{1.2} \\ x_{1.3} \\ x_{1.4} \\ x_{1.5} \\ x_{1.6} \\ x_{1.7} \\ x_{1.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{2.2} \\ x_{2.3} \\ x_{2.4} \\ x_{2.5} \\ x_{2.6} \\ x_{2.7} \\ x_{2.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{3.2} \\ x_{3.3} \\ x_{3.4} \\ x_{3.5} \\ x_{3.6} \\ x_{3.7} \\ x_{3.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{4.2} \\ x_{4.3} \\ x_{4.4} \\ x_{4.5} \\ x_{4.6} \\ x_{4.7} \\ x_{4.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{5.2} \\ x_{5.3} \\ x_{5.4} \\ x_{5.5} \\ x_{5.6} \\ x_{5.7} \\ x_{5.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{6.2} \\ x_{6.3} \\ x_{6.4} \\ x_{6.5} \\ x_{6.6} \\ x_{6.7} \\ x_{6.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{7.2} \\ x_{7.3} \\ x_{7.4} \\ x_{7.5} \\ x_{7.6} \\ x_{7.7} \\ x_{7.8} \end{array}\right)$$

Ушул эле аргумент менен биз кийинки \(7\) карталарды курабыз (бул карталардын биринчиси \(1\) менен эмес, биздин баштапкы карта менен кагылышуусу керек, антпесе мурда \(7\) менен болмок. карталар табылган):

$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{8.2} \\ x_{8.3} \\ x_{8.4} \\ x_{8.5} \\ x_{8.6} \\ x_{8.7} \\ x_{8.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{9.2} \\ x_{9.3} \\ x_{9.4} \\ x_{9.5} \\ x_{9.6} \\ x_{9.7} \\ x_{9.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{10.2} \\ x_{10.3} \\ x_{10.4} \\ x_{10.5} \\ x_{10.6} \\ x_{10.7} \\ x_{10.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{11.2} \\ x_{11.3} \\ x_{11.4} \\ x_{11.5} \\ x_{11.6} \\ x_{11.7} \\ x_{11.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{12.2} \\ x_{12.3} \\ x_{12.4} \\ x_{12.5} \\ x_{12.6} \\ x_{12.7} \\ x_{12.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{13.2} \\ x_{13.3} \\ x_{13.4} \\ x_{13.5} \\ x_{13.6} \\ x_{13.7} \\ x_{13.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{14.2} \\ x_{14.3} \\ x_{14.4} \\ x_{14.5} \\ x_{14.6} \\ x_{14.7} \\ x_{14.8} \end{array}\right)$$

Бул аргументти кийинки \(7\) карталар үчүн да улантууга болот; Жалпысынан \(8-2 = 6\) көбүрөөк жолу. Акыркы \(7\) карталар ошого жараша:

$$\left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{50.2} \\ x_{50.3} \\ x_{50.4} \\ x_{50.5} \\ x_{50.6} \\ x_{50.7} \\ x_{50.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{51.2} \\ x_{51.3} \\ x_{51.4} \\ x_{51.5} \\ x_{51.6} \\ x_{51.7} \\ x_{51.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{52.2} \\ x_{52.3} \\ x_{52.4} \\ x_{52.5} \\ x_{52.6} \\ x_{52.7} \\ x_{52.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{53.2} \\ x_{53.3} \\ x_{53.4} \\ x_{53.5} \\ x_{53.6} \\ x_{53.7} \\ x_{53.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{54.2} \\ x_{54.3} \\ x_{54.4} \\ x_{54.5} \\ x_{54.6} \\ x_{54.7} \\ x_{54.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{55.2} \\ x_{55.3} \\ x_{55.4} \\ x_{55.5} \\ x_{55.6} \\ x_{55.7} \\ x_{55.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{56.2} \\ x_{56.3} \\ x_{56.4} \\ x_{56.5} \\ x_{56.6} \\ x_{56.7} \\ x_{56.8} \end{array}\right)$$

Эгер сиз дагы бир картаны кошо турган болсоңуз, $$\left(\begin{array}{c} 9 \\ x_{57.2} \\ x_{57.3} \\ x_{57.4} \\ x_{57.5} \\ x_{57.6} \\ x_{57.7} \\ x_{57.8} \end{array}\right)$$ иштебей калат, анткени бул карта баштапкы карта менен символду бөлүшпөйт. Биз максималдуу \(1 + 8 \cdot 7 = 57\) карталарды түздүк. Биздин азыр максатыбыз – жок дегенде ошончолук куруу.

Бул үчүн биз табылган биринчи 7 жаңы картаны карап чыгып, бул жерде \(7 \cdot 7\) жаңы символдор керек деген жыйынтыкка келебиз (эч бир картада эки жолу символ болушу мүмкүн жана ар бир ыйгарылган символ пайда болбошу керек) эки жолу, андан бери \(1\) эки эселенген):

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 9 \\ 10 \\ 11 \\ 12 \\ 13 \\ 14 \\ 15 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 16 \\ 17 \\ 18 \\ 19 \\ 20 \\ 21 \\ 22 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 23 \\ 24 \\ 25 \\ 26 \\ 27 \\ 28 \\ 29 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 30 \\ 31 \\ 32 \\ 33 \\ 34 \\ 35 \\ 36 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 37 \\ 38 \\ 39 \\ 40 \\ 41 \\ 42 \\ 43 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 44 \\ 45 \\ 46 \\ 47 \\ 48 \\ 49 \\ 50 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 51 \\ 52 \\ 53 \\ 54 \\ 55 \\ 56 \\ 57 \end{array}\right)$$

Демек, бизге минималдуу \(8 + (7 \cdot 7) = 57\) символдор керек (карталардай көп символ!). Биз азыр бул сан менен иштөөгө жана бардык башка элементтер үчүн куруу эрежесин табууга аракет кылып жатабыз. Бул үчүн, биз ар бир картада \(3\) гана символу бар бир аз кичирээк доблду курабыз жана аны баштапкы карта катары алабыз.

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$$

жана башка карталар

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 7 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{3.2} \\ x_{3.3} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{4.2} \\ x_{4.3} \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 3 \\ x_{5.2} \\ x_{5.3} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 3 \\ x_{6.2} \\ x_{6.3} \end{array}\right)$$

жалпы \(1 + 3 \cdot 2 = 7\) карталар жана \( 3 + (2 \cdot 2) = 7\) белгилери менен. Бир аз сыноо жана ката менен (жана буга чейин дайындалган символдорду колдонуу менен) сиз төмөнкү доблды аласыз:

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 7 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right)$$

Муну да системалуу түрдө тапса болобу? Бул үчүн квадрат матрицага жаңыдан дайындалган \(4, 5, 6, 7\) символдорун киргизебиз.:

$$\begin{array}{ccc} 4 & & 5 \\ & & \\ 6 & & 7\end{array}$$

Эми биз биринчи эки картаны элестетебиз (башталгыч символдордон баштап \ \(4\) жана \(5\) ) төмөнкү белгилер \(6\) жана \(7\) ) тик туташтыруучу сызыктар.:

$$\begin{array}{ccc} 4 & & 5 \\ \vdots & & \vdots \\ 6 & & 7\end{array}$$

Бул сызыктар кесилишпегендиктен, биз эң жакын жарактуу карталарды алабыз (туташтыргыч сызыктардагы символдорду сызык менен сызып):

$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right)$$

Акыр-аягы, биз башка жантаюу менен туташтыруучу сызыктарды элестетебиз (бул учурда эңкейиш менен \(1\) ):

$$\begin{array}{ccccc} & 4 & & 5 & \\ \ddots & & \ddots & & \ddots \\ & 6 & & 7 &\end{array}$$

Экинчи туташтыруучу сызык ( \(5\) жана \(6\) ортосунда) матрицаны оң четине таштап, сол четине кайра кирет. Жантайууну билгичтик менен тандап алуу менен биз бир жагынан туташтыруучу линиялардын бири-бири менен кесилишпесин, ошондой эле мурунку (вертикалдуу) туташтыргыч сызыктардын кесилишпесин камсыз кылабыз. Бул дизайн идеясы акыры төмөнкү дизайн формуласына алып келет:

\(k \in \mathbb{N} \, | \, (k-1) \text{ prim} \) менен \(1+(k \cdot (k-1)) = k^2-k+1 = k + (k-1)(k-1)\) карталары жана символдору. Карта үчүн \(K_x\) менен \(x \in \mathbb{N}\) жана \(0 \leq x \leq (k-1) \cdot k\) колдонулат:

$$K_x = \left(\begin{array}{c} f(x,1) \\ f(x,2) \\ \vdots \\ f(x,k) \end{array}\right), \,\, m = \left\lfloor \frac{x-1}{k-1} \right\rfloor + 1,$$

$$f(x,y) = \left\{\begin{array}{ll} y & \text{falls } x = 0 \\ \lfloor \frac{x-1}{k-1} \rfloor + 1, &\text{sonst falls } y = 1 \\ (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2), & \text{sonst falls } 0 < x < k \\ \left( \left((m-1)(k-1)+x\right)-1+ \left( (m-2)(y-2) \right) \right) \% (k-1) &\text{sonst} \\ + (k+1) + (k-1)(y-2)&\end{array}\right.$$

Бул карталардын \((k-1)\cdot k + 1 = k + (k-1)(k-1)\) бөлүктөрү бар. Эми аны көрсөтүү гана калды:

$$ \forall x_1 < x_2 \in \{ 1, \ldots, k+(k-1)(k-1) \} \, \exists \, ! \, y_1, y_2 \in \{ 1, \ldots, k \}: f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) $$

  • 1-иш: \( x_1 = 0 \)
    • Иш 1а: \( 0 < x_2 < k \)
      • \(y_1 = 1\) жана \(y_2 = 1\) :
        \(f(x_1, y_1) = f(0, 1) = 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \rfloor + 1 = 1\) .
      • \(y_1 \neq 1\) жана \(y_2 = 1\) :
        \(f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \neq 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = \lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \rfloor + 1 = 1\)
      • \(y_1 = 1\) жана \(y_2 \neq 1\) :
        \(f(x_1, y_1) = f(0, 1) = 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2) =\)
        \((k+1)(x-1) + (k-1) + y \geq (k+1)(x-1)+y > 1\)
      • \(y_1 \neq 1\) жана \(y_2 \neq 1\) үчүн:
        \(f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \leq k\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2) > k\)
    • Иш 1b: \( x_2 \geq k \)
      • \(y_1 = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\) жана \(y_2 = 1\) үчүн бизде:
        \(f(x_1, y_1) = f(0, \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\)
      • \(y_1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\) жана \(y_2 = 1\) үчүн:
        \(f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\)
      • \(y_2 \neq 1\) үчүн:
        \(f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \leq k\)
        \(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)\)
        \(+ (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1)+(k-1)(y_2-2) > k \)
  • 2-иш: \( 0 < x_1 < k \)
    • Иш 2а: \( 0 < x_2 < k \)
      • \(y_1 = 1\) жана \(y_2 = 1\) :
        \(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
      • \(y_1 \neq 1\) жана \(y_2 = 1\) :
        \(f(x_1, y_1) = f(x_1, y_1) = (k+1)+(k-1)(x_1-1)+(y_1-2) > 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
      • \(y_1 = 1\) жана \(y_2 \neq 1\) :
        \(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1)+(k-1)(x_2-1)+(y_2-2) > 1\)
      • \(y_1 \neq 1\) жана \(y_2 \neq 1\) үчүн:
        \(f(x_1, y_1) = (k+1)+(k-1)(x_1-1)+(y_1-2) \leq\)
        \((k+1)+(k-1)(x_1-1)+(k-2)\)
        \(f(x_2, y_2) = (k+1)+(k-1)(x_2-1)+(y_2-2) \geq\)
        \((k+1)+(k-1)((x_1+1)-1)+(y_2-2) =\)
        \((k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) + (y_2-2) \geq\)
        \((k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) + (2-2) \geq\)
        \((k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) > (k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-2)\)
    • Иш 2b: \( x_2 \geq k \)
      • \(y_1 = 1\) жана \(y_2 = 1\) :
        \(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \geq \left\lfloor \frac{k-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 2 > 1\)
      • \(y_1 = 1\) жана \(y_2 \neq 1\) :
        \(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
        \(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)\)
        \(+ (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) + (k-1)(y_2-2) > 1\)
      • \(y_1 \neq 1\) жана \(y_2 = 1\) :
        \(f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1)\)
        \(+ (k+1) + (k-1)(y_1-2) \geq (k+1) + (k-1)(y_1-2) > 1\)
        \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
      • Үчүн \(y_1 \neq 1\) жана \(y_2 \neq 1\) болуп саналат:
        \((k+1) + (k-1)(x_1-1) + (y_1-2) =\)
        \(\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)\)
        \(+ (k+1) + (k-1)(y-2)\)
        \(\Leftrightarrow y_1 = (k-1)y_2 - (k-1)(x_1+1) +\)
        \(\left( 2 + \left( \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \right) \right) \)
        Үчүн \(y_2 = x_1+1\) менен \( 2 \leq y_2 \leq k\) болуп саналат
        \(y_1 = 2 + \left( \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \right)\) менен \( 2 \leq y_1 \leq k\).
        Бул жерде бир гана чечим бар \( (y_1, y_2) \).
        Анткени биз тандайбыз \(y^*_2=y_2-1\) наркы катары, болуп саналат \(y^*_1 = y_1-(k-1) < 2\).
        Мындан тышкары, үчүн \(y^*_2*=y_2+1\) анда \(y^*_1 = y_1+(k-1) > k\).
  • 3. Case: \( x_1 \geq k \)
    • Иш 3a: \( x_2 \geq k \)
      • Иш 3a': \(m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor +1 = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor +1 = m_2\)
        • \(y_1 = 1\) жана \(y_2 = 1\) :
          \(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1\)
          \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = m_2 = m_1\)
        • \(y_1 = 1\) жана \(y_2 \neq 1\) :
          \(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \leq \left\lfloor \frac{((k-1) \cdot k)-1}{k-1} \right\rfloor + 1 =\)
          \(\left\lfloor k - \frac{1}{k-1} \right\rfloor + 1 = (k - 1) + 1 = k\)
          \(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%\)
          \((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq\)
          \((k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) > k\)
        • \(y_1 \neq 1\) жана \(y_2 = 1\) :
          \(y_1 = 1\) жана \(y_2 \neq 1\) .
        • Үчүн \(y_1 \neq 1\) жана \(y_2 \neq 1\) болуп саналат:
          \(f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \%\)
          \((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2)\)
          \(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%\)
          \((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2)\)
          Андан кийин \(f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \Leftrightarrow\)
          \(L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow\)
          \(L_1 + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow\)
          \(L_1 - L_2 = (k-1)(y_2-y_1)\)
          Үчүн \(y_1 \neq y_2\) болуп саналат \(L_1-L_2 \leq (k-2 - 0) = k-2 < (k-1)(y_2-y_1)\).
          Үчүн \(y_1 = y_2\) болуп саналат \(L_1 - L_2 = 0 \Leftrightarrow L_1 = L_2\) жана
          \(\left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1) =\)
          \(\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \Leftrightarrow\)
          \(x_1 = x_2 + (k-1)\cdot l\) карама-каршы келет \(m_1 = m_2\).
      • Иши 3a'': \(m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor +1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor +1 = m_2\)
        • \(y_1 = 1\) жана \(y_2 = 1\) :
          \(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1\)
          \(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = m_2 \neq m_1\)
        • \(y_1 = 1\) жана \(y_2 \neq 1\) :
          \(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \leq \left\lfloor \frac{((k-1) \cdot k)-1}{k-1} \right\rfloor + 1 =\)
          \(\left\lfloor k - \frac{1}{k-1} \right\rfloor + 1 = (k - 1) + 1 = k\)
          \(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%\)
          \((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq\)
          \((k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) > k\)
        • \(y_1 \neq 1\) жана \(y_2 = 1\) :
          \(y_1 = 1\) жана \(y_2 \neq 1\) .
        • Үчүн \(y_1 \neq 1\) жана \(y_2 \neq 1\) болуп саналат:
          \(f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \%\)
          \((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2)\)
          \(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%\)
          \((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2)\)
          Андан кийин \(f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \Leftrightarrow\)
          \(L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow\)
          \(L_1 + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow\)
          \(L_1 - L_2 = (k-1)(y_2-y_1)\)
          Үчүн \(y_1 \neq y_2\) болуп саналат \(L_1-L_2 \leq (k-2 - 0) = k-2 < (k-1)(y_2-y_1)\).
          Үчүн \(y_1 = y_2\) болуп саналат \(L_1 - L_2 = 0 \Leftrightarrow L_1 = L_2\) жана
          \(\left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1) =\)
          \(\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \Leftrightarrow\)
          \(y = \frac{(k-1)\cdot l + (3-k)(m_2 - m_1) + (x_1 - x_2)}{m_2 - m_1}\)
          Анда үчүн \(2 \leq y \leq k\) ар дайым а \(l \in \mathbb{N}_0\), Демек
          \(m_2 - m_1 \mid (k-1)\cdot l + (3-k)(m_2 - m_1) + (x_1 - x_2)\).
          Далил: ошол жерде \((k-1)\) негизги, болуп саналат (Безоуттун леммасынан улам)
          \((k-1)\cdot l \equiv -\left( (3-k)(m_2-m_1) + (x_1-x_2) \right) \, \mod (m_2-m_1)\)
          чечүүгө болот, анткени \(\text{ggT}\left((k-1),(m_2-m_1)\right) = 1\) Бөлүүлөр \(-\left( (3-k)(m_2-m_1) + (x_1-x_2) \right)\).
          Анда бул жалгыз чечим \(l_1\), анткени бир үчүн
          \(l_2 = l_1 + (m_2-m_1)\) болуп саналат \( y_2 = y_1 + (k-1) > k\).

Ошондой эле бул жерден же бул жерден доббл жана математика темасы боюнча кызыктуу маалымат таба аласыз . Төмөнкү скриптте мурда далилденген формуланы иш жүзүндө көрө аласыз: Добблдерди ( \((k-1)\) үчүн) баскычты басуу менен түзсө болот.:

See the Pen DOBBLE CREATOR by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.

Артка