Matematică în jocul Dobble03
22

La ultima noastră seară de jocuri în familie, copiii au adus cu entuziasm jocul Dobble (ediția Harry Potter). După ce am pierdut cinci runde (fără ca cartea mea să se potrivească vizibil cu cartea de joc), am fost surprins să aflu că fiecare jucător poate găsi întotdeauna o potrivire în fiecare rundă. Cu toate acestea, neîncrederea mea a fost întâmpinată doar de mai multe runde pierdute - copiii erau pur și simplu mai rapizi.

Motiv suficient pentru a arunca o privire mai atentă asupra jocului din punct de vedere matematic. În primul rând, principiul jocului: Dobble este un simplu joc de cărți cu $55$ cărți rotunde, fiecare prezentând opt simboluri diferite. Toate cărțile sunt împărțite pe rând, lăsând doar ultima carte în mijlocul mesei. Acum toți jucătorii trebuie să compare simultan simbolurile de pe cărți cu simbolurile de pe cartea lor actuală de sus. Dacă un jucător a găsit același simbol pe ambele cărți, el își poate plasa cartea pe teanc fiind cel mai rapid să numească simbolul. Câștigă jucătorul care își aruncă toate cărțile primul.

Cum se poate ca există $55$ de astfel de cărți care au fost construite în așa fel încât oricare 2 cărți să aibă exact un simbol în comun? Care este numărul minim de astfel de simboluri care trebuie folosite? Care este numărul maxim de astfel de carduri?

În primul rând, construim aceste cărți utilizând următorii pași logici (toate cărțile construite ulterior au proprietatea că sunt sortate în ordine crescătoare): Prima carte trebuie să aibă 8 simboluri diferite, adică citește:

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{array}\right)$$

Cum construim următoarele cărți astfel încât să aibă exact un simbol în comun cu prima carte?:

Orice număr de astfel de cărți poate fi deja construit aici (pur și simplu completați locurile în ordine crescătoare, începând cu $9$ ). Acest caz banal este însă neinteresant, deoarece ne interesează un set cu un număr minim de simboluri (și un număr maxim de cărți). Considerăm acum al doilea simbol $ x_{l.2} $ al fiecărei cărți, pentru care evident trebuie să se aplice următoarele: $ x_{1.2} \neq x_{2.2} \neq x_{3.2} \neq \ldots \neq x_{k.2} $ . Prin urmare, am introdus în mod necesar $ k $ simboluri noi. Dar acum $ k \leq 8-1 = 7 $ , deoarece niciunul dintre simbolurile \ $ 7 $ $ x_{1.2},\, x_{1.3},\, x_{1.4},\, x_{1.5},\, x_{1.6},\, x_{1.7},\, x_{1.8} $ (din partea din stânga cărții) se poate potrivi cu cel de-al doilea simbol al fiecăreia dintre celelalte cărți (altfel ar fi două simboluri identice ).

Am găsit maximum din aceste 7 cărți noi:

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{1.2} \\ x_{1.3} \\ x_{1.4} \\ x_{1.5} \\ x_{1.6} \\ x_{1.7} \\ x_{1.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{2.2} \\ x_{2.3} \\ x_{2.4} \\ x_{2.5} \\ x_{2.6} \\ x_{2.7} \\ x_{2.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{3.2} \\ x_{3.3} \\ x_{3.4} \\ x_{3.5} \\ x_{3.6} \\ x_{3.7} \\ x_{3.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{4.2} \\ x_{4.3} \\ x_{4.4} \\ x_{4.5} \\ x_{4.6} \\ x_{4.7} \\ x_{4.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{5.2} \\ x_{5.3} \\ x_{5.4} \\ x_{5.5} \\ x_{5.6} \\ x_{5.7} \\ x_{5.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{6.2} \\ x_{6.3} \\ x_{6.4} \\ x_{6.5} \\ x_{6.6} \\ x_{6.7} \\ x_{6.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{7.2} \\ x_{7.3} \\ x_{7.4} \\ x_{7.5} \\ x_{7.6} \\ x_{7.7} \\ x_{7.8} \end{array}\right)$$

Cu același argument construim acum următoarele hărți $7$ (prima dintre aceste hărți trebuie să se ciocnească cu harta noastră de pornire, și nu cu $1$ , altfel ar fi cu $7$ anterior hărți găsite):

$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{8.2} \\ x_{8.3} \\ x_{8.4} \\ x_{8.5} \\ x_{8.6} \\ x_{8.7} \\ x_{8.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{9.2} \\ x_{9.3} \\ x_{9.4} \\ x_{9.5} \\ x_{9.6} \\ x_{9.7} \\ x_{9.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{10.2} \\ x_{10.3} \\ x_{10.4} \\ x_{10.5} \\ x_{10.6} \\ x_{10.7} \\ x_{10.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{11.2} \\ x_{11.3} \\ x_{11.4} \\ x_{11.5} \\ x_{11.6} \\ x_{11.7} \\ x_{11.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{12.2} \\ x_{12.3} \\ x_{12.4} \\ x_{12.5} \\ x_{12.6} \\ x_{12.7} \\ x_{12.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{13.2} \\ x_{13.3} \\ x_{13.4} \\ x_{13.5} \\ x_{13.6} \\ x_{13.7} \\ x_{13.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{14.2} \\ x_{14.3} \\ x_{14.4} \\ x_{14.5} \\ x_{14.6} \\ x_{14.7} \\ x_{14.8} \end{array}\right)$$

Acest argument poate fi continuat pentru următoarele $7$ cărți în același mod; un total de $8-2 = 6$ ori mai mult. Prin urmare, ultimele $7$ cărți sunt:

$$\left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{50.2} \\ x_{50.3} \\ x_{50.4} \\ x_{50.5} \\ x_{50.6} \\ x_{50.7} \\ x_{50.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{51.2} \\ x_{51.3} \\ x_{51.4} \\ x_{51.5} \\ x_{51.6} \\ x_{51.7} \\ x_{51.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{52.2} \\ x_{52.3} \\ x_{52.4} \\ x_{52.5} \\ x_{52.6} \\ x_{52.7} \\ x_{52.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{53.2} \\ x_{53.3} \\ x_{53.4} \\ x_{53.5} \\ x_{53.6} \\ x_{53.7} \\ x_{53.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{54.2} \\ x_{54.3} \\ x_{54.4} \\ x_{54.5} \\ x_{54.6} \\ x_{54.7} \\ x_{54.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{55.2} \\ x_{55.3} \\ x_{55.4} \\ x_{55.5} \\ x_{55.6} \\ x_{55.7} \\ x_{55.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{56.2} \\ x_{56.3} \\ x_{56.4} \\ x_{56.5} \\ x_{56.6} \\ x_{56.7} \\ x_{56.8} \end{array}\right)$$

Dacă acum ați dori să construiți un alt card $$\left(\begin{array}{c} 9 \\ x_{57.2} \\ x_{57.3} \\ x_{57.4} \\ x_{57.5} \\ x_{57.6} \\ x_{57.7} \\ x_{57.8} \end{array}\right)$$ , deoarece acest card ar eșua) nu au un simbol comun cu cartea de start. Aceasta înseamnă că am construit maximum $1 + 8 \cdot 7 = 57$ cărți. Scopul nostru acum este să construim tot atâtea.

Pentru a face acest lucru, ne uităm la primele 7 cărți noi găsite și ajungem la concluzia că avem absolut nevoie de $7 \cdot 7$ simboluri noi (nicio carte nu poate avea un simbol duplicat și fiecare simbol care urmează să fie acordat nu poate apărea de două ori deoarece $1$ este deja dublu):

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 9 \\ 10 \\ 11 \\ 12 \\ 13 \\ 14 \\ 15 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 16 \\ 17 \\ 18 \\ 19 \\ 20 \\ 21 \\ 22 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 23 \\ 24 \\ 25 \\ 26 \\ 27 \\ 28 \\ 29 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 30 \\ 31 \\ 32 \\ 33 \\ 34 \\ 35 \\ 36 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 37 \\ 38 \\ 39 \\ 40 \\ 41 \\ 42 \\ 43 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 44 \\ 45 \\ 46 \\ 47 \\ 48 \\ 49 \\ 50 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 51 \\ 52 \\ 53 \\ 54 \\ 55 \\ 56 \\ 57 \end{array}\right)$$

Aceasta înseamnă că avem nevoie de un minim de simboluri $8 + (7 \cdot 7) = 57$ (adică tot atâtea simboluri câte cărți!). Acum încercăm să ne descurcăm cu acest număr și să găsim o specificație de design pentru toate celelalte elemente. Pentru a face acest lucru, construim un dobble puțin mai mic care poartă doar simboluri $3$ pe carte și obținem ca carte de pornire

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$$

și celelalte cărți

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 7 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{3.2} \\ x_{3.3} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{4.2} \\ x_{4.3} \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 3 \\ x_{5.2} \\ x_{5.3} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 3 \\ x_{6.2} \\ x_{6.3} \end{array}\right)$$

cu un total de cărți $1 + 3 \cdot 2 = 7$ și simboluri $ 3 + (2 \cdot 2) = 7$ . Cu puțină încercare și eroare (și folosind simbolurile deja atribuite) obțineți următorul dobble:

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 7 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right)$$

Poate fi găsit și acesta sistematic? Pentru a face acest lucru, introducem simbolurile nou alocate $4, 5, 6, 7$ într-o matrice pătrată:

$$\begin{array}{ccc} 4 & & 5 \\ & & \\ 6 & & 7\end{array}$$

Acum ne imaginăm pentru primele două cărți (începând cu simbolurile de început \ $4$ și $5$ ) linii verticale de legătură cu simbolurile inferioare $6$ și $7$:

$$\begin{array}{ccc} 4 & & 5 \\ \vdots & & \vdots \\ 6 & & 7\end{array}$$

Deoarece aceste linii nu se intersectează, obținem (prin trasarea simbolurilor pe liniile de legătură linie cu linie) cele mai apropiate cărți valide:

$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right)$$

În cele din urmă, ne imaginăm linii de legătură cu o pantă diferită (în acest caz cu panta $1$ ):

$$\begin{array}{ccccc} & 4 & & 5 & \\ \ddots & & \ddots & & \ddots \\ & 6 & & 7 &\end{array}$$

A doua linie de legătură (între $5$ și $6$ ) părăsește matricea pe marginea dreaptă și reintră pe marginea stângă. Alegând inteligent gradientul, ne asigurăm că liniile de legătură nu se intersectează, dar și că liniile de legătură anterioare (verticale) nu se intersectează. Această idee de design duce în cele din urmă la următoarea formulă de design:

Un dobble cu $k \in \mathbb{N} \, | \, (k-1) \text{ prim} $ are $1+(k \cdot (k-1)) = k^2-k+1 = k + (k-1)(k-1)$ cărți și simboluri. Pentru harta $K_x$ cu $x \in \mathbb{N}$ și $0 \leq x \leq (k-1) \cdot k$ se aplică:

$$K_x = \left(\begin{array}{c} f(x,1) \\ f(x,2) \\ \vdots \\ f(x,k) \end{array}\right), \,\, m = \left\lfloor \frac{x-1}{k-1} \right\rfloor + 1,$$

$$f(x,y) = \left\{\begin{array}{ll} y & \text{falls } x = 0 \\ \lfloor \frac{x-1}{k-1} \rfloor + 1, &\text{sonst falls } y = 1 \\ (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2), & \text{sonst falls } 0 < x < k \\ \left( \left((m-1)(k-1)+x\right)-1+ \left( (m-2)(y-2) \right) \right) \% (k-1) &\text{sonst} \\ + (k+1) + (k-1)(y-2)&\end{array}\right.$$

Există $(k-1)\cdot k + 1 = k + (k-1)(k-1)$ bucăți din aceste cărți. Acum rămâne doar de arătat:

$$ \forall x_1 < x_2 \in \{ 1, \ldots, k+(k-1)(k-1) \} \, \exists \, ! \, y_1, y_2 \in \{ 1, \ldots, k \}: f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) $$

Primul caz: $ x_1 = 0 $
- Cazul 1a: $ 0 < x_2 < k $
  - Pentru $y_1 = 1$ și $y_2 = 1$ :
    $f(x_1, y_1) = f(0, 1) = 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \rfloor + 1 = 1$ .
  - Pentru $y_1 \neq 1$ și $y_2 = 1$ :
    $f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \neq 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = \lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \rfloor + 1 = 1$
  - Pentru $y_1 = 1$ și $y_2 \neq 1$ :
    $f(x_1, y_1) = f(0, 1) = 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2) =$
    $(k+1)(x-1) + (k-1) + y \geq (k+1)(x-1)+y > 1$
  - Pentru $y_1 \neq 1$ și $y_2 \neq 1$ este:
    $f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \leq k$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2) > k$
- Cazul 1b: $ x_2 \geq k $
  - Pentru $y_1 = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1$ și $y_2 = 1$ avem:
    $f(x_1, y_1) = f(0, \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1$
  - Pentru $y_1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1$ și $y_2 = 1$ este:
    $f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1$
  - Pentru $y_2 \neq 1$ este:
    $f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \leq k$
    $f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)$
    $+ (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1)+(k-1)(y_2-2) > k $
Al doilea caz: $ 0 < x_1 < k $
- Cazul 2a: $ 0 < x_2 < k $
  - Pentru $y_1 = 1$ și $y_2 = 1$ :
    $f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1$
  - Pentru $y_1 \neq 1$ și $y_2 = 1$ :
    $f(x_1, y_1) = f(x_1, y_1) = (k+1)+(k-1)(x_1-1)+(y_1-2) > 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1$
  - Pentru $y_1 = 1$ și $y_2 \neq 1$ :
    $f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1)+(k-1)(x_2-1)+(y_2-2) > 1$
  - Pentru $y_1 \neq 1$ și $y_2 \neq 1$ este:
    $f(x_1, y_1) = (k+1)+(k-1)(x_1-1)+(y_1-2) \leq$
    $(k+1)+(k-1)(x_1-1)+(k-2)$
    $f(x_2, y_2) = (k+1)+(k-1)(x_2-1)+(y_2-2) \geq$
    $(k+1)+(k-1)((x_1+1)-1)+(y_2-2) =$
    $(k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) + (y_2-2) \geq$
    $(k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) + (2-2) \geq$
    $(k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) > (k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-2)$
- Cazul 2b: $ x_2 \geq k $
  - Pentru $y_1 = 1$ și $y_2 = 1$ :
    $f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \geq \left\lfloor \frac{k-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 2 > 1$
  - Pentru $y_1 = 1$ și $y_2 \neq 1$ :
    $f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1$
    $f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)$
    $+ (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) + (k-1)(y_2-2) > 1$
  - Pentru $y_1 \neq 1$ și $y_2 = 1$ :
    $f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1)$
    $+ (k+1) + (k-1)(y_1-2) \geq (k+1) + (k-1)(y_1-2) > 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1$
  - Pentru $y_1 \neq 1$ și $y_2 \neq 1$ este:
    $(k+1) + (k-1)(x_1-1) + (y_1-2) =$
    $\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)$
    $+ (k+1) + (k-1)(y-2)$
    $\Leftrightarrow y_1 = (k-1)y_2 - (k-1)(x_1+1) +$
    $\left( 2 + \left( \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \right) \right) $
    Pentru $y_2 = x_1+1$ cu $ 2 \leq y_2 \leq k$ este
    $y_1 = 2 + \left( \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \right)$ cu $ 2 \leq y_1 \leq k$.
    Există o singură soluție aici $ (y_1, y_2) $.
    Pentru că noi alegem $y^*_2=y_2-1$ ca valoare, este $y^*_1 = y_1-(k-1) < 2$.
    În plus, pentru $y^*_2*=y_2+1$ apoi $y^*_1 = y_1+(k-1) > k$.
3. Caz: $ x_1 \geq k $
- Cazul 3a: $ x_2 \geq k $
  - Cazul 3a': $m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor +1 = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor +1 = m_2$
    - Pentru $y_1 = 1$ și $y_2 = 1$ :
      $f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1$
      $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = m_2 = m_1$
    - Pentru $y_1 = 1$ și $y_2 \neq 1$ :
      $f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \leq \left\lfloor \frac{((k-1) \cdot k)-1}{k-1} \right\rfloor + 1 =$
      $\left\lfloor k - \frac{1}{k-1} \right\rfloor + 1 = (k - 1) + 1 = k$
      $f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%$
      $(k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq$
      $(k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) > k$
    - Pentru $y_1 \neq 1$ și $y_2 = 1$ :
      Vezi $y_1 = 1$ și $y_2 \neq 1$ .
    - Pentru $y_1 \neq 1$ și $y_2 \neq 1$ este:
      $f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \%$
      $(k-1) + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2)$
      $f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%$
      $(k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2)$
      Apoi $f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \Leftrightarrow$
      $L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow$
      $L_1 + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow$
      $L_1 - L_2 = (k-1)(y_2-y_1)$
      Pentru $y_1 \neq y_2$ este $L_1-L_2 \leq (k-2 - 0) = k-2 < (k-1)(y_2-y_1)$.
      Pentru $y_1 = y_2$ este $L_1 - L_2 = 0 \Leftrightarrow L_1 = L_2$ și
      $\left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1) =$
      $\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \Leftrightarrow$
      $x_1 = x_2 + (k-1)\cdot l$ în contradicţie cu $m_1 = m_2$.
  - Cazul 3a'': $m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor +1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor +1 = m_2$
    - Pentru $y_1 = 1$ și $y_2 = 1$ :
      $f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1$
      $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = m_2 \neq m_1$
    - Pentru $y_1 = 1$ și $y_2 \neq 1$ :
      $f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \leq \left\lfloor \frac{((k-1) \cdot k)-1}{k-1} \right\rfloor + 1 =$
      $\left\lfloor k - \frac{1}{k-1} \right\rfloor + 1 = (k - 1) + 1 = k$
      $f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%$
      $(k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq$
      $(k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) > k$
    - Pentru $y_1 \neq 1$ și $y_2 = 1$ :
      Vezi $y_1 = 1$ și $y_2 \neq 1$ .
    - Pentru $y_1 \neq 1$ și $y_2 \neq 1$ este:
      $f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \%$
      $(k-1) + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2)$
      $f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%$
      $(k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2)$
      Apoi $f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \Leftrightarrow$
      $L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow$
      $L_1 + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow$
      $L_1 - L_2 = (k-1)(y_2-y_1)$
      Pentru $y_1 \neq y_2$ este $L_1-L_2 \leq (k-2 - 0) = k-2 < (k-1)(y_2-y_1)$.
      Pentru $y_1 = y_2$ este $L_1 - L_2 = 0 \Leftrightarrow L_1 = L_2$ și
      $\left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1) =$
      $\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \Leftrightarrow$
      $y = \frac{(k-1)\cdot l + (3-k)(m_2 - m_1) + (x_1 - x_2)}{m_2 - m_1}$
      Ei bine, acolo pentru $2 \leq y \leq k$ întotdeauna a $l \in \mathbb{N}_0$, astfel încât
      $m_2 - m_1 \mid (k-1)\cdot l + (3-k)(m_2 - m_1) + (x_1 - x_2)$.
      Dovada: acolo $(k-1)$ este prim, este (din cauza lemei lui Bézout)
      $(k-1)\cdot l \equiv -\left( (3-k)(m_2-m_1) + (x_1-x_2) \right) \, \mod (m_2-m_1)$
      rezolvabil, deoarece $\text{ggT}\left((k-1),(m_2-m_1)\right) = 1$ Despărțiri $-\left( (3-k)(m_2-m_1) + (x_1-x_2) \right)$.
      Atunci aceasta este singura soluție $l_1$, pentru că unul
      $l_2 = l_1 + (m_2-m_1)$ este $ y_2 = y_1 + (k-1) > k$.

De asemenea, puteți găsi informații de bază interesante pe tema dobble și matematică aici sau aici . În următorul script puteți vedea formula dovedită anterior în acțiune: Dobble-urile (pentru $(k-1)$ prim) pot fi generate prin apăsarea unui buton:

See the Pen DOBBLE CREATOR by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.

Înapoi

Matematică în jocul Dobble0322

Matematică în jocul Dobble03
22