अंतिम पारिवारिक शाम में, बच्चों द्वारा डोबले (हैरी पॉटर संस्करण में) खेल को उत्साहपूर्वक मेज पर लाया गया। 5वें हारे हुए दौर के बाद (खेलने वाले कार्ड के साथ मेरे कार्ड की कोई दृश्यमान हिट नहीं) मुझे मेरे आश्चर्य के लिए बताया गया था कि हर खिलाड़ी हमेशा हर दौर में एक हिट पा सकता है। लेकिन मेरे अविश्वास को केवल और खोई हुई गोद के साथ ही स्वीकार किया गया था - बच्चे बस तेज थे।
गणितीय दृष्टिकोण से खेल को करीब से देखने के लिए पर्याप्त कारण। पहला गेम सिद्धांत: डोबबल एक साधारण कार्ड गेम है जिसमें \(55\) गोल कार्ड होते हैं, प्रत्येक में आठ अलग-अलग प्रतीक होते हैं। सभी कार्ड बारी-बारी से बांटे जाते हैं, तालिका के बीच में केवल अंतिम कार्ड छोड़ दिया जाता है। अब सभी खिलाड़ियों को एक साथ कार्ड पर प्रतीकों की तुलना अपने वर्तमान शीर्ष कार्ड पर प्रतीकों से करनी होगी। यदि किसी खिलाड़ी को दोनों कार्डों पर एक ही प्रतीक मिल गया है, तो वह प्रतीक को नाम देने के लिए सबसे तेज़ होने के कारण अपने कार्ड को स्टैक पर रख सकता है। जो खिलाड़ी पहले अपने सभी कार्डों को त्याग देता है वह जीत जाता है।
यह कैसे हो सकता है कि ऐसे \(55\) कार्ड हैं जिनका निर्माण इस तरह से किया गया है कि किन्हीं भी 2 कार्डों में एक समान प्रतीक हो? ऐसे प्रतीकों की न्यूनतम संख्या क्या है जिनका उपयोग किया जाना चाहिए? ऐसे कार्डों की अधिकतम संख्या क्या है?
सबसे पहले, हम निम्नलिखित तार्किक चरणों का उपयोग करके इन कार्डों का निर्माण करते हैं (बाद में बनाए गए सभी कार्डों में यह गुण होता है कि उन्हें आरोही क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है): पहले कार्ड में 8 अलग-अलग प्रतीक होने चाहिए, अर्थात पढ़ता है:
$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{array}\right)$$
अब हम निम्नलिखित कार्डों की रचना इस प्रकार करते हैं कि उनमें पहले कार्ड के साथ बिल्कुल एक प्रतीक समान हो:
$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{1.2} \\ x_{1.3} \\ x_{1.4} \\ x_{1.5} \\ x_{1.6} \\ x_{1.7} \\ x_{1.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{2.2} \\ x_{2.3} \\ x_{2.4} \\ x_{2.5} \\ x_{2.6} \\ x_{2.7} \\ x_{2.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{3.2} \\ x_{3.3} \\ x_{3.4} \\ x_{3.5} \\ x_{3.6} \\ x_{3.7} \\ x_{3.8} \end{array}\right), \ldots, \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{k.2} \\ x_{k.3} \\ x_{k.4} \\ x_{k.5} \\ x_{k.6} \\ x_{k.7} \\ x_{k.8} \end{array}\right)$$
इस तरह के कितने भी कार्ड पहले से ही यहां बनाए जा सकते हैं (आप बस स्थानों को आरोही क्रम में भरते हैं, जो \(9\) से शुरू होता है)। हालांकि, यह मामूली मामला दिलचस्प नहीं है, क्योंकि हम न्यूनतम संख्या में प्रतीकों (और कार्ड की अधिकतम संख्या) वाले सेट में रुचि रखते हैं। अब हम प्रत्येक कार्ड के दूसरे प्रतीक \( x_{l.2} \) पर विचार करते हैं, जिसके लिए स्पष्ट रूप से निम्नलिखित लागू होना चाहिए: \( x_{1.2} \neq x_{2.2} \neq x_{3.2} \neq \ldots \neq x_{k.2} \) । इसलिए हमने आवश्यक रूप से \( k \) नए प्रतीकों को पेश किया है। लेकिन अब \( k \leq 8-1 = 7 \) , क्योंकि \( 7 \) प्रतीकों में से कोई भी नहीं \( x_{1.2},\, x_{1.3},\, x_{1.4},\, x_{1.5},\, x_{1.6},\, x_{1.7},\, x_{1.8} \) (सबसे बाएं कार्ड का) दूसरे कार्ड के दूसरे प्रतीक से मेल खा सकता है (अन्यथा दो समान प्रतीक होंगे )
हमें इनमें से अधिकतम 7 नए कार्ड मिले हैं:
$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{1.2} \\ x_{1.3} \\ x_{1.4} \\ x_{1.5} \\ x_{1.6} \\ x_{1.7} \\ x_{1.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{2.2} \\ x_{2.3} \\ x_{2.4} \\ x_{2.5} \\ x_{2.6} \\ x_{2.7} \\ x_{2.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{3.2} \\ x_{3.3} \\ x_{3.4} \\ x_{3.5} \\ x_{3.6} \\ x_{3.7} \\ x_{3.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{4.2} \\ x_{4.3} \\ x_{4.4} \\ x_{4.5} \\ x_{4.6} \\ x_{4.7} \\ x_{4.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{5.2} \\ x_{5.3} \\ x_{5.4} \\ x_{5.5} \\ x_{5.6} \\ x_{5.7} \\ x_{5.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{6.2} \\ x_{6.3} \\ x_{6.4} \\ x_{6.5} \\ x_{6.6} \\ x_{6.7} \\ x_{6.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{7.2} \\ x_{7.3} \\ x_{7.4} \\ x_{7.5} \\ x_{7.6} \\ x_{7.7} \\ x_{7.8} \end{array}\right)$$
इसी तर्क के साथ अब हम अगले \(7\) मानचित्रों का निर्माण करते हैं (इनमें से पहले नक्शे को हमारे शुरुआती नक्शे से टकराना है, न कि \(1\) से, अन्यथा यह पहले के \(7\) के साथ होगा नक्शे मिले):
$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{8.2} \\ x_{8.3} \\ x_{8.4} \\ x_{8.5} \\ x_{8.6} \\ x_{8.7} \\ x_{8.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{9.2} \\ x_{9.3} \\ x_{9.4} \\ x_{9.5} \\ x_{9.6} \\ x_{9.7} \\ x_{9.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{10.2} \\ x_{10.3} \\ x_{10.4} \\ x_{10.5} \\ x_{10.6} \\ x_{10.7} \\ x_{10.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{11.2} \\ x_{11.3} \\ x_{11.4} \\ x_{11.5} \\ x_{11.6} \\ x_{11.7} \\ x_{11.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{12.2} \\ x_{12.3} \\ x_{12.4} \\ x_{12.5} \\ x_{12.6} \\ x_{12.7} \\ x_{12.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{13.2} \\ x_{13.3} \\ x_{13.4} \\ x_{13.5} \\ x_{13.6} \\ x_{13.7} \\ x_{13.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{14.2} \\ x_{14.3} \\ x_{14.4} \\ x_{14.5} \\ x_{14.6} \\ x_{14.7} \\ x_{14.8} \end{array}\right)$$
यह तर्क अगले \(7\) कार्ड के लिए भी जारी रखा जा सकता है; कुल \(8-2 = 6\) अधिक बार। अंतिम \(7\) कार्ड तदनुसार हैं:
$$\left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{50.2} \\ x_{50.3} \\ x_{50.4} \\ x_{50.5} \\ x_{50.6} \\ x_{50.7} \\ x_{50.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{51.2} \\ x_{51.3} \\ x_{51.4} \\ x_{51.5} \\ x_{51.6} \\ x_{51.7} \\ x_{51.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{52.2} \\ x_{52.3} \\ x_{52.4} \\ x_{52.5} \\ x_{52.6} \\ x_{52.7} \\ x_{52.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{53.2} \\ x_{53.3} \\ x_{53.4} \\ x_{53.5} \\ x_{53.6} \\ x_{53.7} \\ x_{53.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{54.2} \\ x_{54.3} \\ x_{54.4} \\ x_{54.5} \\ x_{54.6} \\ x_{54.7} \\ x_{54.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{55.2} \\ x_{55.3} \\ x_{55.4} \\ x_{55.5} \\ x_{55.6} \\ x_{55.7} \\ x_{55.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{56.2} \\ x_{56.3} \\ x_{56.4} \\ x_{56.5} \\ x_{56.6} \\ x_{56.7} \\ x_{56.8} \end{array}\right)$$
अगर आप एक और कार्ड जोड़ना चाहते हैं $$\left(\begin{array}{c} 9 \\ x_{57.2} \\ x_{57.3} \\ x_{57.4} \\ x_{57.5} \\ x_{57.6} \\ x_{57.7} \\ x_{57.8} \end{array}\right)$$ विफल हो जाएगा क्योंकि यह कार्ड शुरुआती कार्ड के साथ एक प्रतीक साझा नहीं करता है। हमने अधिकतम \(1 + 8 \cdot 7 = 57\) मानचित्र बनाए हैं। हमारा लक्ष्य अब कम से कम अधिक से अधिक निर्माण करना है।
ऐसा करने के लिए, हम पाए गए पहले 7 नए कार्डों को देखते हैं और इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि हमें यहां नए प्रतीकों \(7 \cdot 7\) की बिल्कुल आवश्यकता है (किसी भी कार्ड में दो बार प्रतीक नहीं हो सकता है और असाइन किए जाने वाले प्रत्येक प्रतीक को प्रकट नहीं होना चाहिए दो बार, जिससे \(1\) पहले से ही दोगुना है):
$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 9 \\ 10 \\ 11 \\ 12 \\ 13 \\ 14 \\ 15 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 16 \\ 17 \\ 18 \\ 19 \\ 20 \\ 21 \\ 22 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 23 \\ 24 \\ 25 \\ 26 \\ 27 \\ 28 \\ 29 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 30 \\ 31 \\ 32 \\ 33 \\ 34 \\ 35 \\ 36 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 37 \\ 38 \\ 39 \\ 40 \\ 41 \\ 42 \\ 43 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 44 \\ 45 \\ 46 \\ 47 \\ 48 \\ 49 \\ 50 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 51 \\ 52 \\ 53 \\ 54 \\ 55 \\ 56 \\ 57 \end{array}\right)$$
तो हमें न्यूनतम \(8 + (7 \cdot 7) = 57\) प्रतीकों की आवश्यकता है (ताकि कार्ड के रूप में कई प्रतीक!)। अब हम इस संख्या के आधार पर और अन्य सभी तत्वों के लिए एक निर्माण नियम खोजने की कोशिश कर रहे हैं। ऐसा करने के लिए, हम थोड़ा छोटा डोबल बनाते हैं जिसमें प्रति कार्ड केवल \(3\) प्रतीक होते हैं और इसे शुरुआती कार्ड के रूप में प्राप्त करते हैं
$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$$
और अन्य कार्ड
$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 7 \end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{3.2} \\ x_{3.3} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{4.2} \\ x_{4.3} \end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c} 3 \\ x_{5.2} \\ x_{5.3} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 3 \\ x_{6.2} \\ x_{6.3} \end{array}\right)$$
कुल \(1 + 3 \cdot 2 = 7\) कार्ड और \( 3 + (2 \cdot 2) = 7\) प्रतीकों के साथ। थोड़े से परीक्षण और त्रुटि के साथ (और पहले से असाइन किए गए प्रतीकों का उपयोग करके) आपको निम्नलिखित डबल मिलते हैं:
$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 7 \end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right)$$
क्या यह भी व्यवस्थित रूप से पाया जा सकता है? ऐसा करने के लिए, हम एक वर्ग मैट्रिक्स में नए असाइन किए गए प्रतीकों \(4, 5, 6, 7\) को दर्ज करते हैं:
$$\begin{array}{ccc} 4 & & 5 \\ & & \\ 6 & & 7\end{array}$$
अब हम पहले दो कार्डों के लिए कल्पना करते हैं (प्रारंभ प्रतीकों \ \(4\) और \(5\) से शुरू होते हैं) निचले प्रतीकों \(6\) और \(7\) के लिए लंबवत कनेक्टिंग लाइनें:
$$\begin{array}{ccc} 4 & & 5 \\ \vdots & & \vdots \\ 6 & & 7\end{array}$$
चूँकि ये रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, इसलिए हमें निकटतम वैध कार्ड मिलते हैं (जोड़ने वाली रेखा पर प्रतीकों को रेखा से जोड़कर):
$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right)$$
अंत में, हम एक अलग ढलान के साथ कनेक्टिंग लाइनों की कल्पना करते हैं (इस मामले में ढलान के साथ \(1\) ):
$$\begin{array}{ccccc} & 4 & & 5 & \\ \ddots & & \ddots & & \ddots \\ & 6 & & 7 &\end{array}$$
दूसरी कनेक्टिंग लाइन ( \(5\) और \(6\) के बीच) मैट्रिक्स को दाएं किनारे पर छोड़ती है और बाएं किनारे पर फिर से प्रवेश करती है। ढलान को कुशलता से चुनकर, हम एक तरफ यह सुनिश्चित करते हैं कि जोड़ने वाली रेखाएं एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेद न करें, बल्कि यह भी कि पिछली (ऊर्ध्वाधर) जोड़ने वाली रेखाएं प्रतिच्छेद न करें। यह डिज़ाइन विचार अंततः निम्नलिखित डिज़ाइन सूत्र की ओर ले जाता है:
\(k \in \mathbb{N} \, | \, (k-1) \text{ prim} \) के साथ एक डबल में \(1+(k \cdot (k-1)) = k^2-k+1 = k + (k-1)(k-1)\) कार्ड और प्रतीक। मानचित्र के लिए \(K_x\) के साथ \(x \in \mathbb{N}\) और \(0 \leq x \leq (k-1) \cdot k\) लागू होता है:
$$K_x = \left(\begin{array}{c} f(x,1) \\ f(x,2) \\ \vdots \\ f(x,k) \end{array}\right), \,\, m = \left\lfloor \frac{x-1}{k-1} \right\rfloor + 1,$$
$$f(x,y) = \left\{\begin{array}{ll} y & \text{falls } x = 0 \\ \lfloor \frac{x-1}{k-1} \rfloor + 1, &\text{sonst falls } y = 1 \\ (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2), & \text{sonst falls } 0 < x < k \\ \left( \left((m-1)(k-1)+x\right)-1+ \left( (m-2)(y-2) \right) \right) \% (k-1) &\text{sonst} \\ + (k+1) + (k-1)(y-2)&\end{array}\right.$$
इन कार्डों के \((k-1)\cdot k + 1 = k + (k-1)(k-1)\) टुकड़े हैं। अब बस दिखाना बाकी है:
$$ \forall x_1 < x_2 \in \{ 1, \ldots, k+(k-1)(k-1) \} \, \exists \, ! \, y_1, y_2 \in \{ 1, \ldots, k \}: f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) $$
- पहला मामला: \( x_1 = 0 \)
- केस 1a: \( 0 < x_2 < k \)
- \(y_1 = 1\) और \(y_2 = 1\) पास है:
\(f(x_1, y_1) = f(0, 1) = 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \rfloor + 1 = 1\) । - \(y_1 \neq 1\) और \(y_2 = 1\) पास है:
\(f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \neq 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = \lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \rfloor + 1 = 1\) - \(y_1 = 1\) और \(y_2 \neq 1\) पास है:
\(f(x_1, y_1) = f(0, 1) = 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2) =\)
\((k+1)(x-1) + (k-1) + y \geq (k+1)(x-1)+y > 1\) - \(y_1 \neq 1\) और \(y_2 \neq 1\) के लिए है:
\(f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \leq k\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2) > k\)
- \(y_1 = 1\) और \(y_2 = 1\) पास है:
- मामला 1बी: \( x_2 \geq k \)
- \(y_1 = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\) और \(y_2 = 1\) के लिए हमारे पास है:
\(f(x_1, y_1) = f(0, \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\) - \(y_1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\) और \(y_2 = 1\) के लिए है:
\(f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\) - \(y_2 \neq 1\) के लिए है:
\(f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \leq k\)
\(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)\)
\(+ (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1)+(k-1)(y_2-2) > k \)
- \(y_1 = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\) और \(y_2 = 1\) के लिए हमारे पास है:
- केस 1a: \( 0 < x_2 < k \)
- दूसरा मामला: \( 0 < x_1 < k \)
- मामला 2ए: \( 0 < x_2 < k \)
- \(y_1 = 1\) और \(y_2 = 1\) पास है:
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\) - \(y_1 \neq 1\) और \(y_2 = 1\) पास है:
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, y_1) = (k+1)+(k-1)(x_1-1)+(y_1-2) > 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\) - \(y_1 = 1\) और \(y_2 \neq 1\) पास है:
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1)+(k-1)(x_2-1)+(y_2-2) > 1\) - \(y_1 \neq 1\) और \(y_2 \neq 1\) के लिए है:
\(f(x_1, y_1) = (k+1)+(k-1)(x_1-1)+(y_1-2) \leq\)
\((k+1)+(k-1)(x_1-1)+(k-2)\)
\(f(x_2, y_2) = (k+1)+(k-1)(x_2-1)+(y_2-2) \geq\)
\((k+1)+(k-1)((x_1+1)-1)+(y_2-2) =\)
\((k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) + (y_2-2) \geq\)
\((k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) + (2-2) \geq\)
\((k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) > (k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-2)\)
- \(y_1 = 1\) और \(y_2 = 1\) पास है:
- मामला 2बी: \( x_2 \geq k \)
- \(y_1 = 1\) और \(y_2 = 1\) पास है:
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \geq \left\lfloor \frac{k-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 2 > 1\) - \(y_1 = 1\) और \(y_2 \neq 1\) पास है:
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
\(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)\)
\(+ (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) + (k-1)(y_2-2) > 1\) - \(y_1 \neq 1\) और \(y_2 = 1\) पास है:
\(f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1)\)
\(+ (k+1) + (k-1)(y_1-2) \geq (k+1) + (k-1)(y_1-2) > 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\) - के लिये \(y_1 \neq 1\) तथा \(y_2 \neq 1\) है:
\((k+1) + (k-1)(x_1-1) + (y_1-2) =\)
\(\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)\)
\(+ (k+1) + (k-1)(y-2)\)
\(\Leftrightarrow y_1 = (k-1)y_2 - (k-1)(x_1+1) +\)
\(\left( 2 + \left( \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \right) \right) \)
के लिये \(y_2 = x_1+1\) साथ \( 2 \leq y_2 \leq k\) है
\(y_1 = 2 + \left( \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \right)\) साथ \( 2 \leq y_1 \leq k\).
यहाँ एक ही उपाय है \( (y_1, y_2) \).
क्योंकि हम चुनते हैं \(y^*_2=y_2-1\) मान के रूप में, is \(y^*_1 = y_1-(k-1) < 2\).
इसके अलावा, के लिए \(y^*_2*=y_2+1\) फिर \(y^*_1 = y_1+(k-1) > k\).
- \(y_1 = 1\) और \(y_2 = 1\) पास है:
- मामला 2ए: \( 0 < x_2 < k \)
- 3. केस: \( x_1 \geq k \)
- केस 3ए: \( x_2 \geq k \)
- केस 3ए': \(m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor +1 = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor +1 = m_2\)
- \(y_1 = 1\) और \(y_2 = 1\) पास है:
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = m_2 = m_1\) - \(y_1 = 1\) और \(y_2 \neq 1\) पास है:
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \leq \left\lfloor \frac{((k-1) \cdot k)-1}{k-1} \right\rfloor + 1 =\)
\(\left\lfloor k - \frac{1}{k-1} \right\rfloor + 1 = (k - 1) + 1 = k\)
\(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%\)
\((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq\)
\((k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) > k\) - \(y_1 \neq 1\) और \(y_2 = 1\) पास है:
\(y_1 = 1\) और \(y_2 \neq 1\) । - के लिये \(y_1 \neq 1\) तथा \(y_2 \neq 1\) है:
\(f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \%\)
\((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2)\)
\(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%\)
\((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2)\)
फिर \(f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \Leftrightarrow\)
\(L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow\)
\(L_1 + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow\)
\(L_1 - L_2 = (k-1)(y_2-y_1)\)
के लिये \(y_1 \neq y_2\) है \(L_1-L_2 \leq (k-2 - 0) = k-2 < (k-1)(y_2-y_1)\).
के लिये \(y_1 = y_2\) है \(L_1 - L_2 = 0 \Leftrightarrow L_1 = L_2\) तथा
\(\left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1) =\)
\(\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \Leftrightarrow\)
\(x_1 = x_2 + (k-1)\cdot l\) के विपरीत \(m_1 = m_2\).
- \(y_1 = 1\) और \(y_2 = 1\) पास है:
- केस 3ए'': \(m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor +1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor +1 = m_2\)
- \(y_1 = 1\) और \(y_2 = 1\) पास है:
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = m_2 \neq m_1\) - \(y_1 = 1\) और \(y_2 \neq 1\) पास है:
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \leq \left\lfloor \frac{((k-1) \cdot k)-1}{k-1} \right\rfloor + 1 =\)
\(\left\lfloor k - \frac{1}{k-1} \right\rfloor + 1 = (k - 1) + 1 = k\)
\(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%\)
\((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq\)
\((k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) > k\) - \(y_1 \neq 1\) और \(y_2 = 1\) पास है:
\(y_1 = 1\) और \(y_2 \neq 1\) । - के लिये \(y_1 \neq 1\) तथा \(y_2 \neq 1\) है:
\(f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \%\)
\((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2)\)
\(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%\)
\((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2)\)
फिर \(f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \Leftrightarrow\)
\(L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow\)
\(L_1 + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow\)
\(L_1 - L_2 = (k-1)(y_2-y_1)\)
के लिये \(y_1 \neq y_2\) है \(L_1-L_2 \leq (k-2 - 0) = k-2 < (k-1)(y_2-y_1)\).
के लिये \(y_1 = y_2\) है \(L_1 - L_2 = 0 \Leftrightarrow L_1 = L_2\) तथा
\(\left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1) =\)
\(\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \Leftrightarrow\)
\(y = \frac{(k-1)\cdot l + (3-k)(m_2 - m_1) + (x_1 - x_2)}{m_2 - m_1}\)
खैर वहाँ के लिए \(2 \leq y \leq k\) हमेशा एक \(l \in \mathbb{N}_0\), ताकि
\(m_2 - m_1 \mid (k-1)\cdot l + (3-k)(m_2 - m_1) + (x_1 - x_2)\).
सबूत: वहाँ \((k-1)\) प्राइम है, है (बेज़ौट के लेम्मा के कारण)
\((k-1)\cdot l \equiv -\left( (3-k)(m_2-m_1) + (x_1-x_2) \right) \, \mod (m_2-m_1)\)
हल करने योग्य, क्योंकि \(\text{ggT}\left((k-1),(m_2-m_1)\right) = 1\) विभाजन \(-\left( (3-k)(m_2-m_1) + (x_1-x_2) \right)\).
तब यही एक मात्र उपाय है \(l_1\), क्योंकि एक के लिए
\(l_2 = l_1 + (m_2-m_1)\) है \( y_2 = y_1 + (k-1) > k\).
- \(y_1 = 1\) और \(y_2 = 1\) पास है:
- केस 3ए': \(m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor +1 = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor +1 = m_2\)
- केस 3ए: \( x_2 \geq k \)
आप डोबल और गणित के विषय पर दिलचस्प पृष्ठभूमि की जानकारी यहाँ या यहाँ पा सकते हैं। निम्नलिखित स्क्रिप्ट में आप पहले से सिद्ध सूत्र को क्रिया में देख सकते हैं: डोबल्स ( \((k-1)\) प्राइम के लिए) एक बटन के पुश के साथ उत्पन्न किया जा सकता है:
See the Pen DOBBLE CREATOR by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.