Matematika dalam permainan Dobble03
22

Pada malam permainan keluarga terakhir kami, anak-anak dengan antusias mengeluarkan permainan Dobble (edisi Harry Potter). Setelah kalah lima putaran (tanpa kartu saya terlihat cocok dengan kartu lawan), saya terkejut mengetahui bahwa setiap pemain selalu dapat menemukan pasangan di setiap putaran. Namun, ketidakpercayaan saya hanya diiringi dengan lebih banyak putaran yang kalah – anak-anak memang lebih cepat.

Cukup alasan untuk melihat lebih dekat permainan dari sudut pandang matematika. Pertama prinsip permainan: Dobble adalah permainan kartu sederhana dengan $55$ kartu bulat, masing-masing menunjukkan delapan simbol yang berbeda. Semua kartu dibagikan secara bergantian, hanya menyisakan kartu terakhir di tengah meja. Sekarang semua pemain harus secara bersamaan membandingkan simbol pada kartu dengan simbol pada kartu teratas mereka saat ini. Jika seorang pemain telah menemukan simbol yang sama pada kedua kartu, ia dapat menempatkan kartunya di tumpukan dengan menjadi yang tercepat untuk menyebutkan simbol tersebut. Pemain yang membuang semua kartunya terlebih dahulu menang.

Bagaimana bisa ada $55$ kartu yang disusun sedemikian rupa sehingga setiap 2 kartu memiliki satu simbol yang sama? Berapa jumlah minimum simbol-simbol tersebut yang harus digunakan? Berapa jumlah maksimum kartu tersebut?

Pertama, kami membuat kartu-kartu ini menggunakan langkah-langkah logis berikut (semua kartu yang dibuat selanjutnya memiliki properti yang diurutkan dalam urutan menaik): Kartu pertama harus memiliki 8 simbol berbeda, yaitu dibaca:

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{array}\right)$$

Bagaimana cara kita menyusun kartu-kartu berikut sehingga masing-masing memiliki tepat satu simbol yang sama dengan kartu pertama?:

Sejumlah kartu seperti itu sudah dapat dibuat di sini (Anda cukup mengisi tempat dalam urutan menaik, dimulai dengan $9$ ). Kasus sepele ini tidak menarik, karena kita tertarik pada himpunan dengan jumlah simbol minimum (dan jumlah kartu maksimum). Kami sekarang mempertimbangkan simbol kedua $ x_{l.2} $ dari setiap kartu, yang jelas-jelas berikut ini harus berlaku: $ x_{1.2} \neq x_{2.2} \neq x_{3.2} \neq \ldots \neq x_{k.2} $ . Oleh karena itu, kami harus memperkenalkan $ k $ simbol baru. Tapi sekarang $ k \leq 8-1 = 7 $ , karena tidak satupun dari $ 7 $ simbol $ x_{1.2},\, x_{1.3},\, x_{1.4},\, x_{1.5},\, x_{1.6},\, x_{1.7},\, x_{1.8} $ (dari kartu paling kiri) dapat cocok dengan simbol kedua dari masing-masing kartu lainnya (jika tidak, akan ada dua simbol yang identik ).

Kami telah menemukan maksimal 7 kartu baru ini:

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{1.2} \\ x_{1.3} \\ x_{1.4} \\ x_{1.5} \\ x_{1.6} \\ x_{1.7} \\ x_{1.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{2.2} \\ x_{2.3} \\ x_{2.4} \\ x_{2.5} \\ x_{2.6} \\ x_{2.7} \\ x_{2.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{3.2} \\ x_{3.3} \\ x_{3.4} \\ x_{3.5} \\ x_{3.6} \\ x_{3.7} \\ x_{3.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{4.2} \\ x_{4.3} \\ x_{4.4} \\ x_{4.5} \\ x_{4.6} \\ x_{4.7} \\ x_{4.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{5.2} \\ x_{5.3} \\ x_{5.4} \\ x_{5.5} \\ x_{5.6} \\ x_{5.7} \\ x_{5.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{6.2} \\ x_{6.3} \\ x_{6.4} \\ x_{6.5} \\ x_{6.6} \\ x_{6.7} \\ x_{6.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{7.2} \\ x_{7.3} \\ x_{7.4} \\ x_{7.5} \\ x_{7.6} \\ x_{7.7} \\ x_{7.8} \end{array}\right)$$

Dengan argumen yang sama sekarang kita membuat peta $7$ berikutnya (peta pertama harus bertabrakan dengan peta awal kita, dan bukan dengan $1$ , jika tidak maka akan dengan $7$ sebelumnya menemukan peta):

$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{8.2} \\ x_{8.3} \\ x_{8.4} \\ x_{8.5} \\ x_{8.6} \\ x_{8.7} \\ x_{8.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{9.2} \\ x_{9.3} \\ x_{9.4} \\ x_{9.5} \\ x_{9.6} \\ x_{9.7} \\ x_{9.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{10.2} \\ x_{10.3} \\ x_{10.4} \\ x_{10.5} \\ x_{10.6} \\ x_{10.7} \\ x_{10.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{11.2} \\ x_{11.3} \\ x_{11.4} \\ x_{11.5} \\ x_{11.6} \\ x_{11.7} \\ x_{11.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{12.2} \\ x_{12.3} \\ x_{12.4} \\ x_{12.5} \\ x_{12.6} \\ x_{12.7} \\ x_{12.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{13.2} \\ x_{13.3} \\ x_{13.4} \\ x_{13.5} \\ x_{13.6} \\ x_{13.7} \\ x_{13.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{14.2} \\ x_{14.3} \\ x_{14.4} \\ x_{14.5} \\ x_{14.6} \\ x_{14.7} \\ x_{14.8} \end{array}\right)$$

Argumen ini dapat dilanjutkan untuk $7$ kartu berikutnya dengan cara yang sama; total $8-2 = 6$ kali lebih banyak. Oleh karena itu, $7$ kartu terakhir adalah:

$$\left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{50.2} \\ x_{50.3} \\ x_{50.4} \\ x_{50.5} \\ x_{50.6} \\ x_{50.7} \\ x_{50.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{51.2} \\ x_{51.3} \\ x_{51.4} \\ x_{51.5} \\ x_{51.6} \\ x_{51.7} \\ x_{51.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{52.2} \\ x_{52.3} \\ x_{52.4} \\ x_{52.5} \\ x_{52.6} \\ x_{52.7} \\ x_{52.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{53.2} \\ x_{53.3} \\ x_{53.4} \\ x_{53.5} \\ x_{53.6} \\ x_{53.7} \\ x_{53.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{54.2} \\ x_{54.3} \\ x_{54.4} \\ x_{54.5} \\ x_{54.6} \\ x_{54.7} \\ x_{54.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{55.2} \\ x_{55.3} \\ x_{55.4} \\ x_{55.5} \\ x_{55.6} \\ x_{55.7} \\ x_{55.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{56.2} \\ x_{56.3} \\ x_{56.4} \\ x_{56.5} \\ x_{56.6} \\ x_{56.7} \\ x_{56.8} \end{array}\right)$$

Jika sekarang Anda ingin membuat kartu lain $$\left(\begin{array}{c} 9 \\ x_{57.2} \\ x_{57.3} \\ x_{57.4} \\ x_{57.5} \\ x_{57.6} \\ x_{57.7} \\ x_{57.8} \end{array}\right)$$ , ini akan gagal karena kartu ini tidak memiliki simbol yang sama dengan kartu awal. Artinya kita telah membuat maksimal kartu $1 + 8 \cdot 7 = 57$ . Tujuan kami sekarang adalah membangun sebanyak mungkin.

Untuk melakukan ini, kita melihat 7 kartu baru pertama yang ditemukan dan sampai pada kesimpulan bahwa kita benar-benar membutuhkan $7 \cdot 7$ simbol baru (tidak ada kartu yang boleh memiliki simbol duplikat dan setiap simbol yang akan diberikan mungkin tidak muncul dua kali karena $1$ sudah ganda):

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 9 \\ 10 \\ 11 \\ 12 \\ 13 \\ 14 \\ 15 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 16 \\ 17 \\ 18 \\ 19 \\ 20 \\ 21 \\ 22 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 23 \\ 24 \\ 25 \\ 26 \\ 27 \\ 28 \\ 29 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 30 \\ 31 \\ 32 \\ 33 \\ 34 \\ 35 \\ 36 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 37 \\ 38 \\ 39 \\ 40 \\ 41 \\ 42 \\ 43 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 44 \\ 45 \\ 46 \\ 47 \\ 48 \\ 49 \\ 50 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 51 \\ 52 \\ 53 \\ 54 \\ 55 \\ 56 \\ 57 \end{array}\right)$$

Ini berarti kita memerlukan minimal simbol $8 + (7 \cdot 7) = 57$ (yakni simbol sebanyak kartu!). Kami sekarang mencoba bertahan dengan nomor ini dan menemukan spesifikasi desain untuk semua elemen lainnya. Untuk melakukan ini, kita membuat dobble yang sedikit lebih kecil yang hanya membawa simbol $3$ per kartu dan menjadikannya sebagai kartu awal

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$$

dan kartu lainnya

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 7 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{3.2} \\ x_{3.3} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{4.2} \\ x_{4.3} \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 3 \\ x_{5.2} \\ x_{5.3} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 3 \\ x_{6.2} \\ x_{6.3} \end{array}\right)$$

dengan total $1 + 3 \cdot 2 = 7$ kartu dan $ 3 + (2 \cdot 2) = 7$ simbol. Dengan sedikit coba-coba (dan menggunakan simbol yang sudah ditetapkan), Anda mendapatkan dobble berikut::

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 7 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right)$$

Bisakah ini juga ditemukan secara sistematis? Untuk melakukan ini, kami memasukkan simbol yang baru ditetapkan $4, 5, 6, 7$ dalam matriks persegi:

$$\begin{array}{ccc} 4 & & 5 \\ & & \\ 6 & & 7\end{array}$$

Sekarang kita bayangkan untuk dua kartu pertama (dimulai dengan simbol awal \ $4$ dan $5$ ) garis penghubung vertikal ke simbol bawah $6$ dan $7$:

$$\begin{array}{ccc} 4 & & 5 \\ \vdots & & \vdots \\ 6 & & 7\end{array}$$

Karena garis-garis ini tidak berpotongan, kita mendapatkan (dengan memplot simbol pada garis penghubung baris demi baris) kartu valid terdekat:

$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right)$$

Akhirnya, kami membayangkan menghubungkan garis dengan kemiringan yang berbeda (dalam hal ini dengan kemiringan $1$ ):

$$\begin{array}{ccccc} & 4 & & 5 & \\ \ddots & & \ddots & & \ddots \\ & 6 & & 7 &\end{array}$$

Garis penghubung kedua (antara $5$ dan $6$ ) meninggalkan matriks di tepi kanan dan masuk kembali di tepi kiri. Dengan memilih gradien secara cerdik, kami memastikan bahwa garis penghubung tidak saling berpotongan, tetapi juga garis penghubung (vertikal) sebelumnya tidak berpotongan. Ide desain ini pada akhirnya mengarah pada rumusan desain berikut:

Sebuah dobble dengan $k \in \mathbb{N} \, | \, (k-1) \text{ prim} $ memiliki $1+(k \cdot (k-1)) = k^2-k+1 = k + (k-1)(k-1)$ kartu dan simbol. Untuk peta $K_x$ dengan $x \in \mathbb{N}$ dan $0 \leq x \leq (k-1) \cdot k$ berlaku:

$$K_x = \left(\begin{array}{c} f(x,1) \\ f(x,2) \\ \vdots \\ f(x,k) \end{array}\right), \,\, m = \left\lfloor \frac{x-1}{k-1} \right\rfloor + 1,$$

$$f(x,y) = \left\{\begin{array}{ll} y & \text{falls } x = 0 \\ \lfloor \frac{x-1}{k-1} \rfloor + 1, &\text{sonst falls } y = 1 \\ (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2), & \text{sonst falls } 0 < x < k \\ \left( \left((m-1)(k-1)+x\right)-1+ \left( (m-2)(y-2) \right) \right) \% (k-1) &\text{sonst} \\ + (k+1) + (k-1)(y-2)&\end{array}\right.$$

Ada $(k-1)\cdot k + 1 = k + (k-1)(k-1)$ potongan kartu ini. Sekarang tinggal menunjukkan:

$$ \forall x_1 < x_2 \in \{ 1, \ldots, k+(k-1)(k-1) \} \, \exists \, ! \, y_1, y_2 \in \{ 1, \ldots, k \}: f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) $$

Kasus pertama: $ x_1 = 0 $
- Kasus 1a: $ 0 < x_2 < k $
  - Untuk $y_1 = 1$ dan $y_2 = 1$ memiliki:
    $f(x_1, y_1) = f(0, 1) = 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \rfloor + 1 = 1$ .
  - Untuk $y_1 \neq 1$ dan $y_2 = 1$ memiliki:
    $f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \neq 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = \lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \rfloor + 1 = 1$
  - Untuk $y_1 = 1$ dan $y_2 \neq 1$ memiliki:
    $f(x_1, y_1) = f(0, 1) = 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2) =$
    $(k+1)(x-1) + (k-1) + y \geq (k+1)(x-1)+y > 1$
  - Untuk $y_1 \neq 1$ dan $y_2 \neq 1$ adalah:
    $f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \leq k$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2) > k$
- Kasus 1b: $ x_2 \geq k $
  - Untuk $y_1 = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1$ dan $y_2 = 1$ kita memiliki:
    $f(x_1, y_1) = f(0, \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1$
  - Untuk $y_1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1$ dan $y_2 = 1$ adalah:
    $f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1$
  - Untuk $y_2 \neq 1$ adalah:
    $f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \leq k$
    $f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)$
    $+ (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1)+(k-1)(y_2-2) > k $
Kasus kedua: $ 0 < x_1 < k $
- Kasus 2a: $ 0 < x_2 < k $
  - Untuk $y_1 = 1$ dan $y_2 = 1$ memiliki:
    $f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1$
  - Untuk $y_1 \neq 1$ dan $y_2 = 1$ memiliki:
    $f(x_1, y_1) = f(x_1, y_1) = (k+1)+(k-1)(x_1-1)+(y_1-2) > 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1$
  - Untuk $y_1 = 1$ dan $y_2 \neq 1$ memiliki:
    $f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1)+(k-1)(x_2-1)+(y_2-2) > 1$
  - Untuk $y_1 \neq 1$ dan $y_2 \neq 1$ adalah:
    $f(x_1, y_1) = (k+1)+(k-1)(x_1-1)+(y_1-2) \leq$
    $(k+1)+(k-1)(x_1-1)+(k-2)$
    $f(x_2, y_2) = (k+1)+(k-1)(x_2-1)+(y_2-2) \geq$
    $(k+1)+(k-1)((x_1+1)-1)+(y_2-2) =$
    $(k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) + (y_2-2) \geq$
    $(k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) + (2-2) \geq$
    $(k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) > (k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-2)$
- Kasus 2b: $ x_2 \geq k $
  - Untuk $y_1 = 1$ dan $y_2 = 1$ memiliki:
    $f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \geq \left\lfloor \frac{k-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 2 > 1$
  - Untuk $y_1 = 1$ dan $y_2 \neq 1$ memiliki:
    $f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1$
    $f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)$
    $+ (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) + (k-1)(y_2-2) > 1$
  - Untuk $y_1 \neq 1$ dan $y_2 = 1$ memiliki:
    $f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1)$
    $+ (k+1) + (k-1)(y_1-2) \geq (k+1) + (k-1)(y_1-2) > 1$
    $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1$
  - Untuk $y_1 \neq 1$ dan $y_2 \neq 1$ adalah:
    $(k+1) + (k-1)(x_1-1) + (y_1-2) =$
    $\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)$
    $+ (k+1) + (k-1)(y-2)$
    $\Leftrightarrow y_1 = (k-1)y_2 - (k-1)(x_1+1) +$
    $\left( 2 + \left( \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \right) \right) $
    Untuk $y_2 = x_1+1$ dengan $ 2 \leq y_2 \leq k$ adalah
    $y_1 = 2 + \left( \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \right)$ dengan $ 2 \leq y_1 \leq k$.
    Hanya ada satu solusi di sini $ (y_1, y_2) $.
    Karena kita memilih $y^*_2=y_2-1$ sebagai nilai, adalah $y^*_1 = y_1-(k-1) < 2$.
    Selain itu, untuk $y^*_2*=y_2+1$ kemudian $y^*_1 = y_1+(k-1) > k$.
3. Kasus: $ x_1 \geq k $
- Kasus 3a: $ x_2 \geq k $
  - Kasus 3a': $m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor +1 = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor +1 = m_2$
    - Untuk $y_1 = 1$ dan $y_2 = 1$ memiliki:
      $f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1$
      $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = m_2 = m_1$
    - Untuk $y_1 = 1$ dan $y_2 \neq 1$ memiliki:
      $f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \leq \left\lfloor \frac{((k-1) \cdot k)-1}{k-1} \right\rfloor + 1 =$
      $\left\lfloor k - \frac{1}{k-1} \right\rfloor + 1 = (k - 1) + 1 = k$
      $f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%$
      $(k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq$
      $(k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) > k$
    - Untuk $y_1 \neq 1$ dan $y_2 = 1$ memiliki:
      Lihat $y_1 = 1$ dan $y_2 \neq 1$ .
    - Untuk $y_1 \neq 1$ dan $y_2 \neq 1$ adalah:
      $f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \%$
      $(k-1) + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2)$
      $f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%$
      $(k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2)$
      Kemudian $f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \Leftrightarrow$
      $L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow$
      $L_1 + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow$
      $L_1 - L_2 = (k-1)(y_2-y_1)$
      Untuk $y_1 \neq y_2$ adalah $L_1-L_2 \leq (k-2 - 0) = k-2 < (k-1)(y_2-y_1)$.
      Untuk $y_1 = y_2$ adalah $L_1 - L_2 = 0 \Leftrightarrow L_1 = L_2$ dan
      $\left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1) =$
      $\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \Leftrightarrow$
      $x_1 = x_2 + (k-1)\cdot l$ bertentangan dengan $m_1 = m_2$.
  - Kasus 3a'': $m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor +1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor +1 = m_2$
    - Untuk $y_1 = 1$ dan $y_2 = 1$ memiliki:
      $f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1$
      $f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = m_2 \neq m_1$
    - Untuk $y_1 = 1$ dan $y_2 \neq 1$ memiliki:
      $f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \leq \left\lfloor \frac{((k-1) \cdot k)-1}{k-1} \right\rfloor + 1 =$
      $\left\lfloor k - \frac{1}{k-1} \right\rfloor + 1 = (k - 1) + 1 = k$
      $f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%$
      $(k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq$
      $(k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) > k$
    - Untuk $y_1 \neq 1$ dan $y_2 = 1$ memiliki:
      Lihat $y_1 = 1$ dan $y_2 \neq 1$ .
    - Untuk $y_1 \neq 1$ dan $y_2 \neq 1$ adalah:
      $f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \%$
      $(k-1) + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2)$
      $f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%$
      $(k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2)$
      Kemudian $f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \Leftrightarrow$
      $L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow$
      $L_1 + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow$
      $L_1 - L_2 = (k-1)(y_2-y_1)$
      Untuk $y_1 \neq y_2$ adalah $L_1-L_2 \leq (k-2 - 0) = k-2 < (k-1)(y_2-y_1)$.
      Untuk $y_1 = y_2$ adalah $L_1 - L_2 = 0 \Leftrightarrow L_1 = L_2$ dan
      $\left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1) =$
      $\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \Leftrightarrow$
      $y = \frac{(k-1)\cdot l + (3-k)(m_2 - m_1) + (x_1 - x_2)}{m_2 - m_1}$
      Nah disana untuk $2 \leq y \leq k$ selalu $l \in \mathbb{N}_0$, yang seperti itu
      $m_2 - m_1 \mid (k-1)\cdot l + (3-k)(m_2 - m_1) + (x_1 - x_2)$.
      Bukti: ada $(k-1)$ adalah bilangan prima, adalah (karena lemma Bézout)
      $(k-1)\cdot l \equiv -\left( (3-k)(m_2-m_1) + (x_1-x_2) \right) \, \mod (m_2-m_1)$
      dapat dipecahkan, karena $\text{ggT}\left((k-1),(m_2-m_1)\right) = 1$ Perpecahan $-\left( (3-k)(m_2-m_1) + (x_1-x_2) \right)$.
      Maka ini adalah satu-satunya solusi $l_1$, karena untuk satu
      $l_2 = l_1 + (m_2-m_1)$ adalah $ y_2 = y_1 + (k-1) > k$.

Anda juga dapat menemukan informasi latar belakang yang menarik tentang topik dobble dan matematika di sini atau di sini . Dalam skrip berikut, Anda dapat melihat formula yang telah terbukti sebelumnya beraksi: Dobbles (untuk $(k-1)$ prim) dapat dihasilkan dengan menekan sebuah tombol:

See the Pen DOBBLE CREATOR by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.

Kembali

Matematika dalam permainan Dobble0322

Matematika dalam permainan Dobble03
22