នៅល្ងាចគ្រួសារចុងក្រោយ ហ្គេម Dobble (នៅក្នុង Harry Potter Edition) ត្រូវបានក្មេងៗនាំយកមកតុដោយរីករាយ។ បន្ទាប់ពីការប្រកួតចាញ់ជុំទី 5 (ដោយមិនឃើញការវាយបៀររបស់ខ្ញុំជាមួយនឹងកាតលេង) ខ្ញុំត្រូវបានគេប្រាប់ដល់ការភ្ញាក់ផ្អើលរបស់ខ្ញុំថា អ្នកលេងគ្រប់រូបអាចរកឃើញការវាយនៅគ្រប់ជុំ។ ប៉ុន្តែការមិនជឿរបស់ខ្ញុំត្រូវបានគេទទួលស្គាល់តែជាមួយនឹងការបាត់បង់បន្ថែមទៀត - កុមារមានល្បឿនលឿនជាង។
ហេតុផលគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីមើលឱ្យកាន់តែដិតដល់នៅក្នុងហ្គេមតាមទស្សនៈគណិតវិទ្យា។ ជាដំបូងគោលការណ៍នៃហ្គេម៖ Dobble គឺជាល្បែងបៀដ៏សាមញ្ញមួយដែលមានសន្លឹកបៀជុំ \(55\) ដែលនីមួយៗបង្ហាញនិមិត្តសញ្ញាប្រាំបីផ្សេងគ្នា។ សន្លឹកបៀទាំងអស់ត្រូវបានចែកជាវេន ដោយបន្សល់ទុកតែសន្លឹកបៀចុងក្រោយនៅកណ្តាលតារាង។ ឥឡូវនេះអ្នកលេងទាំងអស់ត្រូវប្រៀបធៀបនិមិត្តសញ្ញានៅលើកាតក្នុងពេលដំណាលគ្នាជាមួយនឹងនិមិត្តសញ្ញានៅលើកាតកំពូលបច្ចុប្បន្នរបស់ពួកគេ។ ប្រសិនបើអ្នកលេងបានរកឃើញនិមិត្តសញ្ញាដូចគ្នានៅលើសន្លឹកបៀទាំងពីរនោះ គាត់អាចដាក់កាតរបស់គាត់នៅលើជង់ដោយលឿនបំផុតដើម្បីដាក់ឈ្មោះនិមិត្តសញ្ញានោះ។ អ្នកលេងដែលបោះចោលសន្លឹកបៀទាំងអស់របស់អ្នកឈ្នះមុនគេ។
តើវាអាចទៅរួចដោយរបៀបណាដែលមាន \(55\) សន្លឹកបៀបែបនោះត្រូវបានគេបង្កើតឡើងក្នុងរបៀបដែលសន្លឹកបៀ 2 សន្លឹកមាននិមិត្តសញ្ញាមួយដូចគ្នា? តើចំនួនអប្បរមានៃនិមិត្តសញ្ញាបែបនេះដែលត្រូវប្រើ? តើចំនួនអតិបរមានៃកាតបែបនេះគឺជាអ្វី?
ដំបូង យើងបង្កើតកាតទាំងនេះដោយប្រើជំហានឡូជីខលខាងក្រោម (សន្លឹកបៀដែលបានសាងសង់ជាបន្តបន្ទាប់ទាំងអស់មានទ្រព្យសម្បត្តិដែលពួកគេត្រូវបានតម្រៀបតាមលំដាប់ឡើង)៖ កាតទីមួយត្រូវតែមាននិមិត្តសញ្ញា 8 ផ្សេងគ្នា ពោលគឺអាន:
$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \end{array}\right)$$
ឥឡូវនេះ យើងបង្កើតសន្លឹកបៀខាងក្រោមតាមរបៀបដែលពួកវាមាននិមិត្តសញ្ញាតែមួយដូចគ្នាជាមួយនឹងកាតទីមួយ:
$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{1.2} \\ x_{1.3} \\ x_{1.4} \\ x_{1.5} \\ x_{1.6} \\ x_{1.7} \\ x_{1.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{2.2} \\ x_{2.3} \\ x_{2.4} \\ x_{2.5} \\ x_{2.6} \\ x_{2.7} \\ x_{2.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{3.2} \\ x_{3.3} \\ x_{3.4} \\ x_{3.5} \\ x_{3.6} \\ x_{3.7} \\ x_{3.8} \end{array}\right), \ldots, \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{k.2} \\ x_{k.3} \\ x_{k.4} \\ x_{k.5} \\ x_{k.6} \\ x_{k.7} \\ x_{k.8} \end{array}\right)$$
ចំនួនសន្លឹកបៀបែបនេះអាចត្រូវបានសាងសង់រួចហើយនៅទីនេះ (អ្នកគ្រាន់តែបំពេញកន្លែងតាមលំដាប់ឡើង ដោយចាប់ផ្តើមជាមួយ \(9\) )។ ករណីមិនសូវចាប់អារម្មណ៍នេះគឺមិនគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍ទេ ចាប់តាំងពីយើងចាប់អារម្មណ៍លើសំណុំដែលមានចំនួននិមិត្តសញ្ញាអប្បបរមា (និងចំនួនកាតអតិបរមា)។ ឥឡូវនេះ យើងពិចារណានិមិត្តសញ្ញាទីពីរ \( x_{l.2} \) នៃកាតនីមួយៗ ដែលជាក់ស្តែងដូចខាងក្រោមត្រូវតែអនុវត្ត៖ \( x_{1.2} \neq x_{2.2} \neq x_{3.2} \neq \ldots \neq x_{k.2} \) ។ ដូច្នេះ យើងបានណែនាំនិមិត្តសញ្ញាថ្មី \( k \) ចាំបាច់។ ប៉ុន្តែឥឡូវនេះ \( k \leq 8-1 = 7 \) ចាប់តាំងពីគ្មាននិមិត្តសញ្ញា \ \( 7 \) \( x_{1.2},\, x_{1.3},\, x_{1.4},\, x_{1.5},\, x_{1.6},\, x_{1.7},\, x_{1.8} \) (នៃកាតខាងឆ្វេងបំផុត) អាចផ្គូផ្គងនិមិត្តសញ្ញាទីពីរនៃសន្លឹកបៀនីមួយៗ (បើមិនដូច្នេះទេ វានឹងមាននិមិត្តសញ្ញាដូចគ្នាបេះបិទពីរ )
យើងបានរកឃើញសន្លឹកបៀថ្មីចំនួន 7 សន្លឹក:
$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{1.2} \\ x_{1.3} \\ x_{1.4} \\ x_{1.5} \\ x_{1.6} \\ x_{1.7} \\ x_{1.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{2.2} \\ x_{2.3} \\ x_{2.4} \\ x_{2.5} \\ x_{2.6} \\ x_{2.7} \\ x_{2.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{3.2} \\ x_{3.3} \\ x_{3.4} \\ x_{3.5} \\ x_{3.6} \\ x_{3.7} \\ x_{3.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{4.2} \\ x_{4.3} \\ x_{4.4} \\ x_{4.5} \\ x_{4.6} \\ x_{4.7} \\ x_{4.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{5.2} \\ x_{5.3} \\ x_{5.4} \\ x_{5.5} \\ x_{5.6} \\ x_{5.7} \\ x_{5.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{6.2} \\ x_{6.3} \\ x_{6.4} \\ x_{6.5} \\ x_{6.6} \\ x_{6.7} \\ x_{6.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ x_{7.2} \\ x_{7.3} \\ x_{7.4} \\ x_{7.5} \\ x_{7.6} \\ x_{7.7} \\ x_{7.8} \end{array}\right)$$
ជាមួយនឹងអំណះអំណាងដូចគ្នាឥឡូវនេះយើងបង្កើតផែនទី \(7\) បន្ទាប់ (ផែនទីទីមួយនៃផែនទីទាំងនេះត្រូវប៉ះទង្គិចជាមួយផែនទីចាប់ផ្តើមរបស់យើង មិនមែនជាមួយ \(1\) បើមិនដូច្នេះទេវានឹងនៅជាមួយ \(7\) ពីមុន រកឃើញផែនទី):
$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{8.2} \\ x_{8.3} \\ x_{8.4} \\ x_{8.5} \\ x_{8.6} \\ x_{8.7} \\ x_{8.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{9.2} \\ x_{9.3} \\ x_{9.4} \\ x_{9.5} \\ x_{9.6} \\ x_{9.7} \\ x_{9.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{10.2} \\ x_{10.3} \\ x_{10.4} \\ x_{10.5} \\ x_{10.6} \\ x_{10.7} \\ x_{10.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{11.2} \\ x_{11.3} \\ x_{11.4} \\ x_{11.5} \\ x_{11.6} \\ x_{11.7} \\ x_{11.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{12.2} \\ x_{12.3} \\ x_{12.4} \\ x_{12.5} \\ x_{12.6} \\ x_{12.7} \\ x_{12.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{13.2} \\ x_{13.3} \\ x_{13.4} \\ x_{13.5} \\ x_{13.6} \\ x_{13.7} \\ x_{13.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{14.2} \\ x_{14.3} \\ x_{14.4} \\ x_{14.5} \\ x_{14.6} \\ x_{14.7} \\ x_{14.8} \end{array}\right)$$
អាគុយម៉ង់នេះក៏អាចត្រូវបានបន្តសម្រាប់សន្លឹកបៀ \(7\) បន្ទាប់។ សរុប \(8-2 = 6\) ដងទៀត។ សន្លឹកបៀ \(7\) ចុងក្រោយគឺស្របតាម:
$$\left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{50.2} \\ x_{50.3} \\ x_{50.4} \\ x_{50.5} \\ x_{50.6} \\ x_{50.7} \\ x_{50.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{51.2} \\ x_{51.3} \\ x_{51.4} \\ x_{51.5} \\ x_{51.6} \\ x_{51.7} \\ x_{51.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{52.2} \\ x_{52.3} \\ x_{52.4} \\ x_{52.5} \\ x_{52.6} \\ x_{52.7} \\ x_{52.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{53.2} \\ x_{53.3} \\ x_{53.4} \\ x_{53.5} \\ x_{53.6} \\ x_{53.7} \\ x_{53.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{54.2} \\ x_{54.3} \\ x_{54.4} \\ x_{54.5} \\ x_{54.6} \\ x_{54.7} \\ x_{54.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{55.2} \\ x_{55.3} \\ x_{55.4} \\ x_{55.5} \\ x_{55.6} \\ x_{55.7} \\ x_{55.8} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 8 \\ x_{56.2} \\ x_{56.3} \\ x_{56.4} \\ x_{56.5} \\ x_{56.6} \\ x_{56.7} \\ x_{56.8} \end{array}\right)$$
ប្រសិនបើអ្នកត្រូវបន្ថែមកាតមួយទៀត $$\left(\begin{array}{c} 9 \\ x_{57.2} \\ x_{57.3} \\ x_{57.4} \\ x_{57.5} \\ x_{57.6} \\ x_{57.7} \\ x_{57.8} \end{array}\right)$$ នឹងបរាជ័យ ដោយសារកាតនេះមិនចែករំលែកនិមិត្តសញ្ញាជាមួយកាតចាប់ផ្តើម។ យើងបានបង្កើតផែនទីអតិបរមានៃ \(1 + 8 \cdot 7 = 57\) ។ គោលដៅរបស់យើងឥឡូវនេះគឺសាងសង់យ៉ាងហោចណាស់ឱ្យបានច្រើន។
ដើម្បីធ្វើដូច្នេះ យើងក្រឡេកមើលសន្លឹកបៀថ្មី \(7 \cdot 7\) សន្លឹកដំបូងដែលបានរកឃើញ ហើយសន្និដ្ឋានថាយើងពិតជាត្រូវការនិមិត្តសញ្ញាថ្មីនៅទីនេះ (គ្មានកាតអាចមាននិមិត្តសញ្ញាពីរដងទេ ហើយនិមិត្តសញ្ញានីមួយៗដែលត្រូវកំណត់មិនត្រូវបង្ហាញទេ ពីរដង ដែល \(1\) គឺពីរដងរួចទៅហើយ):
$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 9 \\ 10 \\ 11 \\ 12 \\ 13 \\ 14 \\ 15 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 16 \\ 17 \\ 18 \\ 19 \\ 20 \\ 21 \\ 22 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 23 \\ 24 \\ 25 \\ 26 \\ 27 \\ 28 \\ 29 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 30 \\ 31 \\ 32 \\ 33 \\ 34 \\ 35 \\ 36 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 37 \\ 38 \\ 39 \\ 40 \\ 41 \\ 42 \\ 43 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 44 \\ 45 \\ 46 \\ 47 \\ 48 \\ 49 \\ 50 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 51 \\ 52 \\ 53 \\ 54 \\ 55 \\ 56 \\ 57 \end{array}\right)$$
ដូច្នេះយើងត្រូវការនិមិត្តសញ្ញា \(8 + (7 \cdot 7) = 57\) តិចបំផុត (និមិត្តសញ្ញាជាច្រើនដូចជាកាត!) ឥឡូវនេះយើងកំពុងព្យាយាមស្វែងរកលេខនេះ និងស្វែងរកច្បាប់សំណង់សម្រាប់ធាតុផ្សេងទៀតទាំងអស់។ ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបង្កើត dobble តូចជាងបន្តិចដែលមាននិមិត្តសញ្ញា \(3\) ក្នុងមួយសន្លឹក ហើយទទួលវាជាកាតចាប់ផ្តើម
$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$$
និងកាតផ្សេងទៀត។
$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 7 \end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{3.2} \\ x_{3.3} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ x_{4.2} \\ x_{4.3} \end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c} 3 \\ x_{5.2} \\ x_{5.3} \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 3 \\ x_{6.2} \\ x_{6.3} \end{array}\right)$$
ជាមួយនឹងសន្លឹកបៀ \(1 + 3 \cdot 2 = 7\) និងនិមិត្តសញ្ញា \( 3 + (2 \cdot 2) = 7\) ។ ជាមួយនឹងការសាកល្បង និងកំហុសបន្តិចបន្តួច (និងការប្រើនិមិត្តសញ្ញាដែលបានកំណត់រួចហើយ) អ្នកទទួលបាន dobble ខាងក្រោម:
$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 1 \\ 6 \\ 7 \end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right)$$
$$\left(\begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 7 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 6 \end{array}\right)$$
តើនេះអាចត្រូវបានរកឃើញជាប្រព័ន្ធដែរឬទេ? ដើម្បីធ្វើដូចនេះយើងបញ្ចូលនិមិត្តសញ្ញាដែលបានកំណត់ថ្មី \(4, 5, 6, 7\) ក្នុងម៉ាទ្រីសការ៉េ:
$$\begin{array}{ccc} 4 & & 5 \\ & & \\ 6 & & 7\end{array}$$
ឥឡូវនេះយើងស្រមៃសម្រាប់សន្លឹកបៀពីរដំបូង (ចាប់ផ្តើមដោយនិមិត្តសញ្ញាចាប់ផ្តើម \ \(4\) និង \(5\) ) បន្ទាត់តភ្ជាប់បញ្ឈរទៅនឹងនិមិត្តសញ្ញាខាងក្រោម \(6\) និង \(7\):
$$\begin{array}{ccc} 4 & & 5 \\ \vdots & & \vdots \\ 6 & & 7\end{array}$$
ដោយសារបន្ទាត់ទាំងនេះមិនប្រសព្វគ្នា យើងទទួលបាន (ដោយការគូសសញ្ញានៅលើបន្ទាត់តភ្ជាប់តាមបន្ទាត់) កាតដែលត្រឹមត្រូវបំផុត:
$$\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right), \left(\begin{array}{c} 2 \\ 5 \\ 7 \end{array}\right)$$
ជាចុងក្រោយ យើងស្រមៃមើលការភ្ជាប់ខ្សែដែលមានជម្រាលផ្សេងគ្នា (ក្នុងករណីនេះជាមួយនឹងជម្រាល \(1\) ):
$$\begin{array}{ccccc} & 4 & & 5 & \\ \ddots & & \ddots & & \ddots \\ & 6 & & 7 &\end{array}$$
ខ្សែតភ្ជាប់ទីពីរ (រវាង \(5\) និង \(6\) ) ទុកម៉ាទ្រីសនៅគែមខាងស្តាំ ហើយចូលវិញនៅគែមខាងឆ្វេង។ តាមរយៈការជ្រើសរើសជម្រាលដោយប៉ិនប្រសប់ យើងធានានៅលើដៃម្ខាងថា បន្ទាត់តភ្ជាប់មិនប្រសព្វគ្នាទៅវិញទៅមក ប៉ុន្តែក៏ថាខ្សែតភ្ជាប់ពីមុន (បញ្ឈរ) មិនប្រសព្វគ្នា។ គំនិតរចនានេះនៅទីបំផុតនាំទៅរករូបមន្តរចនាខាងក្រោម:
Dobble ជាមួយ \(k \in \mathbb{N} \, | \, (k-1) \text{ prim} \) មាន \(1+(k \cdot (k-1)) = k^2-k+1 = k + (k-1)(k-1)\) កាត និងនិមិត្តសញ្ញា។ សម្រាប់ផែនទី \(K_x\) ជាមួយ \(x \in \mathbb{N}\) និង \(0 \leq x \leq (k-1) \cdot k\) អនុវត្ត:
$$K_x = \left(\begin{array}{c} f(x,1) \\ f(x,2) \\ \vdots \\ f(x,k) \end{array}\right), \,\, m = \left\lfloor \frac{x-1}{k-1} \right\rfloor + 1,$$
$$f(x,y) = \left\{\begin{array}{ll} y & \text{falls } x = 0 \\ \lfloor \frac{x-1}{k-1} \rfloor + 1, &\text{sonst falls } y = 1 \\ (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2), & \text{sonst falls } 0 < x < k \\ \left( \left((m-1)(k-1)+x\right)-1+ \left( (m-2)(y-2) \right) \right) \% (k-1) &\text{sonst} \\ + (k+1) + (k-1)(y-2)&\end{array}\right.$$
មាន \((k-1)\cdot k + 1 = k + (k-1)(k-1)\) នៃសន្លឹកបៀទាំងនេះ។ ឥឡូវនេះវានៅសល់តែបង្ហាញ:
$$ \forall x_1 < x_2 \in \{ 1, \ldots, k+(k-1)(k-1) \} \, \exists \, ! \, y_1, y_2 \in \{ 1, \ldots, k \}: f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) $$
- ករណីទី ១: \( x_1 = 0 \)
- ករណីទី១ ក: \( 0 < x_2 < k \)
- សម្រាប់ \(y_1 = 1\) និង \(y_2 = 1\) មាន៖
\(f(x_1, y_1) = f(0, 1) = 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \rfloor + 1 = 1\) ។ - សម្រាប់ \(y_1 \neq 1\) និង \(y_2 = 1\) មាន៖
\(f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \neq 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = \lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \rfloor + 1 = 1\) - សម្រាប់ \(y_1 = 1\) និង \(y_2 \neq 1\) មាន៖
\(f(x_1, y_1) = f(0, 1) = 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2) =\)
\((k+1)(x-1) + (k-1) + y \geq (k+1)(x-1)+y > 1\) - សម្រាប់ \(y_1 \neq 1\) និង \(y_2 \neq 1\) គឺ៖
\(f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \leq k\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1) + (k-1)(x-1) + (y-2) > k\)
- សម្រាប់ \(y_1 = 1\) និង \(y_2 = 1\) មាន៖
- ករណី 1 ខ: \( x_2 \geq k \)
- សម្រាប់ \(y_1 = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\) និង \(y_2 = 1\) យើងមាន៖
\(f(x_1, y_1) = f(0, \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\) - សម្រាប់ \(y_1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\) និង \(y_2 = 1\) គឺ៖
\(f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\) - សម្រាប់ \(y_2 \neq 1\) គឺ៖
\(f(x_1, y_1) = f(0, y_1) = y_1 \leq k\)
\(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)\)
\(+ (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1)+(k-1)(y_2-2) > k \)
- សម្រាប់ \(y_1 = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1\) និង \(y_2 = 1\) យើងមាន៖
- ករណីទី១ ក: \( 0 < x_2 < k \)
- ករណីទី ២: \( 0 < x_1 < k \)
- ករណី 2 ក: \( 0 < x_2 < k \)
- សម្រាប់ \(y_1 = 1\) និង \(y_2 = 1\) មាន៖
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\) - សម្រាប់ \(y_1 \neq 1\) និង \(y_2 = 1\) មាន៖
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, y_1) = (k+1)+(k-1)(x_1-1)+(y_1-2) > 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\) - សម្រាប់ \(y_1 = 1\) និង \(y_2 \neq 1\) មាន៖
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, y_2) = (k+1)+(k-1)(x_2-1)+(y_2-2) > 1\) - សម្រាប់ \(y_1 \neq 1\) និង \(y_2 \neq 1\) គឺ៖
\(f(x_1, y_1) = (k+1)+(k-1)(x_1-1)+(y_1-2) \leq\)
\((k+1)+(k-1)(x_1-1)+(k-2)\)
\(f(x_2, y_2) = (k+1)+(k-1)(x_2-1)+(y_2-2) \geq\)
\((k+1)+(k-1)((x_1+1)-1)+(y_2-2) =\)
\((k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) + (y_2-2) \geq\)
\((k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) + (2-2) \geq\)
\((k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-1) > (k+1)+(k-1)(x_1-1) + (k-2)\)
- សម្រាប់ \(y_1 = 1\) និង \(y_2 = 1\) មាន៖
- ករណី 2 ខ: \( x_2 \geq k \)
- សម្រាប់ \(y_1 = 1\) និង \(y_2 = 1\) មាន៖
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \geq \left\lfloor \frac{k-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 2 > 1\) - សម្រាប់ \(y_1 = 1\) និង \(y_2 \neq 1\) មាន៖
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\)
\(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)\)
\(+ (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) + (k-1)(y_2-2) > 1\) - សម្រាប់ \(y_1 \neq 1\) និង \(y_2 = 1\) មាន៖
\(f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1)\)
\(+ (k+1) + (k-1)(y_1-2) \geq (k+1) + (k-1)(y_1-2) > 1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor + 1 = 1\) - សម្រាប់ \(y_1 \neq 1\) និង \(y_2 \neq 1\) គឺ:
\((k+1) + (k-1)(x_1-1) + (y_1-2) =\)
\(\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1)\)
\(+ (k+1) + (k-1)(y-2)\)
\(\Leftrightarrow y_1 = (k-1)y_2 - (k-1)(x_1+1) +\)
\(\left( 2 + \left( \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \right) \right) \)
សម្រាប់ \(y_2 = x_1+1\) ជាមួយ \( 2 \leq y_2 \leq k\) គឺ
\(y_1 = 2 + \left( \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \right)\) ជាមួយ \( 2 \leq y_1 \leq k\).
មានដំណោះស្រាយតែមួយគត់នៅទីនេះ \( (y_1, y_2) \).
ដោយសារតែយើងជ្រើសរើស \(y^*_2=y_2-1\) ជាតម្លៃ, គឺ \(y^*_1 = y_1-(k-1) < 2\).
លើសពីនេះទៀតសម្រាប់ \(y^*_2*=y_2+1\) បន្ទាប់មក \(y^*_1 = y_1+(k-1) > k\).
- សម្រាប់ \(y_1 = 1\) និង \(y_2 = 1\) មាន៖
- ករណី 2 ក: \( 0 < x_2 < k \)
- 3. ករណី: \( x_1 \geq k \)
- ករណីទី៣ ក: \( x_2 \geq k \)
- ករណី 3a: \(m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor +1 = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor +1 = m_2\)
- សម្រាប់ \(y_1 = 1\) និង \(y_2 = 1\) មាន៖
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = m_2 = m_1\) - សម្រាប់ \(y_1 = 1\) និង \(y_2 \neq 1\) មាន៖
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \leq \left\lfloor \frac{((k-1) \cdot k)-1}{k-1} \right\rfloor + 1 =\)
\(\left\lfloor k - \frac{1}{k-1} \right\rfloor + 1 = (k - 1) + 1 = k\)
\(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%\)
\((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq\)
\((k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) > k\) - សម្រាប់ \(y_1 \neq 1\) និង \(y_2 = 1\) មាន៖
សូមមើល \(y_1 = 1\) និង \(y_2 \neq 1\) ។ - សម្រាប់ \(y_1 \neq 1\) និង \(y_2 \neq 1\) គឺ:
\(f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \%\)
\((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2)\)
\(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%\)
\((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2)\)
បន្ទាប់មក \(f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \Leftrightarrow\)
\(L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow\)
\(L_1 + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow\)
\(L_1 - L_2 = (k-1)(y_2-y_1)\)
សម្រាប់ \(y_1 \neq y_2\) គឺ \(L_1-L_2 \leq (k-2 - 0) = k-2 < (k-1)(y_2-y_1)\).
សម្រាប់ \(y_1 = y_2\) គឺ \(L_1 - L_2 = 0 \Leftrightarrow L_1 = L_2\) និង
\(\left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1) =\)
\(\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \Leftrightarrow\)
\(x_1 = x_2 + (k-1)\cdot l\) ផ្ទុយទៅនឹង \(m_1 = m_2\).
- សម្រាប់ \(y_1 = 1\) និង \(y_2 = 1\) មាន៖
- ករណី 3a'': \(m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor +1 \neq \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor +1 = m_2\)
- សម្រាប់ \(y_1 = 1\) និង \(y_2 = 1\) មាន៖
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1\)
\(f(x_2, y_2) = f(x_2, 1) = m_2 \neq m_1\) - សម្រាប់ \(y_1 = 1\) និង \(y_2 \neq 1\) មាន៖
\(f(x_1, y_1) = f(x_1, 1) = m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor + 1 \leq \left\lfloor \frac{((k-1) \cdot k)-1}{k-1} \right\rfloor + 1 =\)
\(\left\lfloor k - \frac{1}{k-1} \right\rfloor + 1 = (k - 1) + 1 = k\)
\(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%\)
\((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq\)
\((k+1) + (k-1)(y_2-2) \geq (k+1) > k\) - សម្រាប់ \(y_1 \neq 1\) និង \(y_2 = 1\) មាន៖
សូមមើល \(y_1 = 1\) និង \(y_2 \neq 1\) ។ - សម្រាប់ \(y_1 \neq 1\) និង \(y_2 \neq 1\) គឺ:
\(f(x_1, y_1) = \left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \%\)
\((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2)\)
\(f(x_2, y_2) = \left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \%\)
\((k-1) + (k+1) + (k-1)(y_2-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2)\)
បន្ទាប់មក \(f(x_1, y_1) = f(x_2, y_2) \Leftrightarrow\)
\(L_1 + (k+1) + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k+1) + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow\)
\(L_1 + (k-1)(y_1-2) = L_2 + (k-1)(y_2-2) \Leftrightarrow\)
\(L_1 - L_2 = (k-1)(y_2-y_1)\)
សម្រាប់ \(y_1 \neq y_2\) គឺ \(L_1-L_2 \leq (k-2 - 0) = k-2 < (k-1)(y_2-y_1)\).
សម្រាប់ \(y_1 = y_2\) គឺ \(L_1 - L_2 = 0 \Leftrightarrow L_1 = L_2\) និង
\(\left( \left((m_1-1)(k-1)+x_1\right)-1+ \left( (m_1-2)(y_1-2) \right) \right) \% (k-1) =\)
\(\left( \left((m_2-1)(k-1)+x_2\right)-1+ \left( (m_2-2)(y_2-2) \right) \right) \% (k-1) \Leftrightarrow\)
\(y = \frac{(k-1)\cdot l + (3-k)(m_2 - m_1) + (x_1 - x_2)}{m_2 - m_1}\)
អញ្ចឹងសម្រាប់ \(2 \leq y \leq k\) តែងតែ a \(l \in \mathbb{N}_0\), ដូច្នេះ
\(m_2 - m_1 \mid (k-1)\cdot l + (3-k)(m_2 - m_1) + (x_1 - x_2)\).
ភស្តុតាង៖ នៅទីនោះ \((k-1)\) គឺជាការសំខាន់គឺ (ដោយសារតែលេម៉ារបស់ Bézout)
\((k-1)\cdot l \equiv -\left( (3-k)(m_2-m_1) + (x_1-x_2) \right) \, \mod (m_2-m_1)\)
អាចដោះស្រាយបាន, ដោយសារតែ \(\text{ggT}\left((k-1),(m_2-m_1)\right) = 1\) បំបែក \(-\left( (3-k)(m_2-m_1) + (x_1-x_2) \right)\).
បន្ទាប់មកនេះគឺជាដំណោះស្រាយតែមួយគត់ \(l_1\), ដោយសារតែសម្រាប់មួយ។
\(l_2 = l_1 + (m_2-m_1)\) គឺ \( y_2 = y_1 + (k-1) > k\).
- សម្រាប់ \(y_1 = 1\) និង \(y_2 = 1\) មាន៖
- ករណី 3a: \(m_1 = \left\lfloor \frac{x_1-1}{k-1} \right\rfloor +1 = \left\lfloor \frac{x_2-1}{k-1} \right\rfloor +1 = m_2\)
- ករណីទី៣ ក: \( x_2 \geq k \)
អ្នកក៏អាចស្វែងរកព័ត៌មានផ្ទៃខាងក្រោយគួរឱ្យចាប់អារម្មណ៍លើប្រធានបទនៃ dobble និងគណិតវិទ្យា នៅទីនេះ ឬ នៅទីនេះ ។ ក្នុងស្គ្រីបខាងក្រោម អ្នកអាចមើលឃើញរូបមន្តដែលបង្ហាញពីមុនក្នុងសកម្មភាព៖ Dobbles (សម្រាប់ \((k-1)\) prim) អាចត្រូវបានបង្កើតដោយចុចប៊ូតុងមួយ:
See the Pen DOBBLE CREATOR by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.