Förutom de diagonala argumenten utvecklade Georg Cantor också parningsfunktionen Cantor \(\mathbb{N}^2 \to \mathbb{W}, \quad c(x,y) = \binom{x+y+1}{2}+x = z\) , som kodar två siffror \(x,y \in \mathbb{N}\) i ett nytt nummer \(z \in \mathbb{N}\) . Till exempel \(c(3,4)=\binom{3+4+1}{2}+3 = \binom{8}{2}+3=\frac{8!}{6!\cdot 2!} +3 = 31 = z\) en unik kodning av siffrorna \(3\) och \(4\) i siffran \(31\) . Visa: Värdeuppsättningen \(\mathbb{W} = \mathbb{N}\) , dvs \(z\) antar alla naturliga tal.
Vi bevisar den speciella strukturen i följande tabell:
0 | 1 | 2 | 3 | ... | |
0 | 0 | 2 | 5 | 9 | ... |
1 | 1 | 4 | 8 | 13 | ... |
2 | 3 | 7 | 12 | 18 | ... |
3 | 6 | 11 | 17 | 24 | ... |
... | ... | ... | ... | ... | ... |
Så för \(x > 0, y \geq 0\)
$$
c (x + 1, y) -c (x, y + 1) =
$$
$$
\ binom {x + 1 + y + 1} {2} + x + 1 - \ left (\ binom {x + y + 1 + 1} {2} + x \ right)) = \ binom {x + y + 2} {2} - \ binom {x + y + 2} {2} + x - x + 1 = 1
$$
liksom för \(x \geq 0\)
$$
c (0, x + 1) -c (x, 0) =
$$
$$
\ binom {0 + x + 1 + 1} {2} + 0 - \ binom {x + 0 + 1} {2} - x = \ binom {x + 2} {2} - \ binom {x + 1} {2} - x =
$$
$$
\ frac {(x + 2)!} {2! x!} - \ frac {(x + 1)!} {2! (x-1)!} - x =
$$
$$
\ frac {(x + 2) (x + 1)} {2} - \ frac {(x + 1) x} {2} - x = \ frac {(x + 1) \ vänster ((x + 2) - x \ höger)} {2} - x = x + 1 - x = 1
$$
Med detta uppnås alla naturliga siffror.