Pariga funkcio de Cantor08
17

Aldone al la diagonalaj argumentoj , Georg Cantor ankaŭ disvolvis la parecan funkcion Cantor \(\mathbb{N}^2 \to \mathbb{W}, \quad c(x,y) = \binom{x+y+1}{2}+x = z\) , kiu kodas iujn ajn du nombrojn \(x,y \in \mathbb{N}\) en nova nombro \(z \in \mathbb{N}\) . Ekzemple, \(c(3,4)=\binom{3+4+1}{2}+3 = \binom{8}{2}+3=\frac{8!}{6!\cdot 2!} +3 = 31 = z\) unika kodigo de la nombroj \(3\) kaj \(4\) en la nombro \(31\) . Montri: La aro de valoroj \(\mathbb{W} = \mathbb{N}\) , te \(z\) supozas ĉiujn naturajn nombrojn.

---

Ni pruvas la specialan strukturon de la sekva tabelo:

Do por \(x > 0, y \geq 0\)
$$
c (x + 1, y) -c (x, y + 1) =
$$
$$
\ binom {x + 1 + y + 1} {2} + x + 1 - \ left (\ binom {x + y + 1 + 1} {2} + x \ right)) = \ binom {x + y + 2} {2} - \ binom {x + y + 2} {2} + x - x + 1 = 1
$$
same kiel por \(x \geq 0\)
$$
c (0, x + 1) -c (x, 0) =
$$
$$
\ binom {0 + x + 1 + 1} {2} + 0 - \ binom {x + 0 + 1} {2} - x = \ binom {x + 2} {2} - \ binom {x + 1} {2} - x =
$$
$$
\ frac {(x + 2)!} {2! x!} - \ frac {(x + 1)!} {2! (x-1)!} - x =
$$
$$
\ frac {(x + 2) (x + 1)} {2} - \ frac {(x + 1) x} {2} - x = \ frac {(x + 1) \ left ((x + 2) - x \ dekstra)} {2} - x = x + 1 - x = 1
$$
Ĉi tio signifas, ke ĉiuj naturaj nombroj estas atingitaj.