கேன்டர் இணைத்தல் செயல்பாடு

மூலைவிட்ட வாதங்களுக்கு கூடுதலாக, ஜார்ஜ் கேன்டர் கேன்டர் இணைத்தல் செயல்பாட்டை உருவாக்கினார் \(\mathbb{N}^2 \to \mathbb{W}, \quad c(x,y) = \binom{x+y+1}{2}+x = z\) , இது எந்த இரண்டு எண்களையும் குறியாக்குகிறது \(x,y \in \mathbb{N}\) ஒரு புதிய எண்ணில் \(z \in \mathbb{N}\) . எடுத்துக்காட்டாக, \(c(3,4)=\binom{3+4+1}{2}+3 = \binom{8}{2}+3=\frac{8!}{6!\cdot 2!} +3 = 31 = z\) \(31\) எண்ணில் \(31\) \(3\) மற்றும் \(4\) எண்களின் தனித்துவமான குறியீட்டு முறை. காட்டு: மதிப்புகளின் தொகுப்பு \(\mathbb{W} = \mathbb{N}\) , அதாவது \(z\) அனைத்து இயற்கை எண்களையும் கருதுகிறது.


பின்வரும் அட்டவணையின் சிறப்பு கட்டமைப்பை நாங்கள் நிரூபிக்கிறோம்:

  0 1 2 3 ...
0 0 2 5 9 ...
1 1 4 8 13 ...
2 3 7 12 18 ...
3 6 11 17 24 ...
... ... ... ... ... ...

எனவே \(x > 0, y \geq 0\)
$$
c (x + 1, y) -c (x, y + 1) =
$$
$$
\ binom {x + 1 + y + 1} {2} + x + 1 - \ left (\ binom {x + y + 1 + 1} {2} + x \ right)) = \ binom {x + y + 2} {2} - \ பினோம் {x + y + 2} {2} + x - x + 1 = 1
$$
அத்துடன் \(x \geq 0\)
$$
c (0, x + 1) -c (x, 0) =
$$
$$
\ binom {0 + x + 1 + 1} {2} + 0 - \ binom {x + 0 + 1} {2} - x = \ binom {x + 2} {2} - \ binom {x + 1}. {2} - x =
$$
$$
\ frac {(x + 2)!} {2! x!} - \ frac {(x + 1)!} {2! (x-1)!} - x =
$$
$$
\ frac {(x + 2) (x + 1)} {2} - \ frac {(x + 1) x} {2} - x = \ frac {(x + 1) \ இடது ((x + 2) - x \ வலது)} {2} - x = x + 1 - x = 1
$$
இதன் பொருள் அனைத்து இயற்கை எண்களும் அடையப்படுகின்றன.

மீண்டும்