មុខងារផ្គូផ្គង Cantor

បន្ថែមលើ អាគុយម៉ង់អង្កត់ទ្រូង Georg Cantor ក៏បានបង្កើតមុខងារផ្គូផ្គង Cantor \(\mathbb{N}^2 \to \mathbb{W}, \quad c(x,y) = \binom{x+y+1}{2}+x = z\) ដែលបញ្ចូលលេខពីរណាមួយ \(x,y \in \mathbb{N}\) នៅក្នុងលេខថ្មី \(z \in \mathbb{N}\) ឧទាហរណ៍ \(c(3,4)=\binom{3+4+1}{2}+3 = \binom{8}{2}+3=\frac{8!}{6!\cdot 2!} +3 = 31 = z\) កូដតែមួយនៃលេខ \(3\) និង \(4\) ក្នុងលេខ \(31\) ។ បង្ហាញ៖ សំណុំតម្លៃ \(\mathbb{W} = \mathbb{N}\) មានន័យថា \(z\) សន្មតថាលេខធម្មជាតិទាំងអស់។


យើងបង្ហាញពីរចនាសម្ព័ន្ធពិសេសនៃតារាងខាងក្រោម:

  0 1 2 3 ...
0 0 2 5 9 ...
1 1 4 8 13 ...
2 3 7 12 18 ...
3 6 11 17 24 ...
... ... ... ... ... ...

ដូច្នេះសម្រាប់ \(x > 0, y \geq 0\)
$$
c (x + 1, y) -c (x, y + 1) =
$$
$$
\ binom {x + ១ + y + ១} {២} + x + ១ - \ ទុកចោល (\ binom {x + y + ១ + ១} {២} + x \ ខាងស្តាំ)) = \ binom {x + y + ២} {២} - \ binom {x + y + ២} {២} + x - x + ១ = ១
$$
ក៏ដូចជាសម្រាប់ \(x \geq 0\)
$$
c (០, x + ១) -c (x, ០) =
$$
$$
\ binom {0 + x + ១ + ១} {២} + ០ - \ binom {x + ០ + ១} {២} - x = \ binom {x + ២} {២} - \ binom {x + ១} {២} - x =
$$
$$
\ frac {(x + 2)!} {2! x!} - \ frac {(x + 1)!} {២! (x-១)!} - x =
$$
$$
\ frac {(x + 2) (x + 1)} {២} - \ frac {(x + ១) x} {២} - x = \ frac {(x + ១) \ នៅសល់ ((x + ២) - x \ ស្តាំ)} {២} - x = x + ១ - x = ១
$$
នេះមានន័យថាលេខធម្មជាតិទាំងអស់ត្រូវបានសម្រេច។

ថយក្រោយ