Функція сполучення Кантора08
17

На додаток до діагональних аргументів , Георг Кантор також розробив функцію спарення Кантора \(\mathbb{N}^2 \to \mathbb{W}, \quad c(x,y) = \binom{x+y+1}{2}+x = z\) , що кодує будь-які два числа \(x,y \in \mathbb{N}\) у новому числі \(z \in \mathbb{N}\) . Наприклад, \(c(3,4)=\binom{3+4+1}{2}+3 = \binom{8}{2}+3=\frac{8!}{6!\cdot 2!} +3 = 31 = z\) унікальне кодування чисел \(3\) та \(4\) у номері \(31\) . Показати: Набір значень \(\mathbb{W} = \mathbb{N}\) , тобто \(z\) приймає всі натуральні числа.

---

Ми доводимо особливу структуру наступної таблиці:

Отже, для \(x > 0, y \geq 0\)
$$
c (x + 1, y) -c (x, y + 1) =
$$
$$
\ binom {x + 1 + y + 1} {2} + x + 1 - \ ліворуч (\ binom {x + y + 1 + 1} {2} + x \ праворуч)) = \ binom {x + y + 2} {2} - \ binom {x + y + 2} {2} + x - x + 1 = 1
$$
а також для \(x \geq 0\)
$$
c (0, x + 1) -c (x, 0) =
$$
$$
\ binom {0 + x + 1 + 1} {2} + 0 - \ binom {x + 0 + 1} {2} - x = \ binom {x + 2} {2} - \ binom {x + 1} {2} - x =
$$
$$
\ frac {(x + 2)!} {2! x!} - \ frac {(x + 1)!} {2! (x-1)!} - x =
$$
$$
\ frac {(x + 2) (x + 1)} {2} - \ frac {(x + 1) x} {2} - x = \ frac {(x + 1) \ ліворуч ((x + 2) - x \ праворуч)} {2} - x = x + 1 - x = 1
$$
Це означає, що всі натуральні числа досягнуті.