ক্যান্টারের জুটি ফাংশন

তির্যক যুক্তি ছাড়াও, জর্জি ক্যান্টর ক্যান্টর জুটি ফাংশন developed \(\mathbb{N}^2 \to \mathbb{W}, \quad c(x,y) = \binom{x+y+1}{2}+x = z\) , যা কোনও নতুন সংখ্যায় \(x,y \in \mathbb{N}\) \(z \in \mathbb{N}\) \(x,y \in \mathbb{N}\) এ এনকোড করে। উদাহরণস্বরূপ, \(c(3,4)=\binom{3+4+1}{2}+3 = \binom{8}{2}+3=\frac{8!}{6!\cdot 2!} +3 = 31 = z\) সংখ্যার একটি অনন্য কোডিং \(3\) এবং \(31\) সংখ্যায় \(31\) \(4\) \(31\) । প্রদর্শন: মানগুলির সেট \(\mathbb{W} = \mathbb{N}\) , অর্থাৎ \(z\) সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা ধরে।


আমরা নিম্নলিখিত সারণির বিশেষ কাঠামো প্রমাণ করি:

  0 1 2 3 ...
0 0 2 5 9 ...
1 1 4 8 13 ...
2 3 7 12 18 ...
3 6 11 17 24 ...
... ... ... ... ... ...

সুতরাং \(x > 0, y \geq 0\)
$$
c (x + 1, y) -c (x, y + 1) =
$$
$$
\ বিনোম {x + 1 + y + 1} {2} + এক্স + 1 - \ বাম (\ বিনোম {x + y + 1 + 1} {2} + x \ ডান)) = \ বিনোম {x + y + 2} {2} - \ বিনম {x + y + 2} {2} + এক্স - এক্স + 1 = 1
$$
পাশাপাশি \(x \geq 0\)
$$
সি (0, x + 1) -সি (x, 0) =
$$
$$
\ বিনোম {0 + x + 1 + 1} {2} + 0 - = বিনোম {x + 0 + 1} {2} - x = \ বিনোম {x + 2} {2} - \ বিনোম {x + 1} {2} - x =
$$
$$
\ frac {(x + 2)!} {2! x!} - rac frac {(x + 1)!} {2! (x-1)!} - x =
$$
$$
rac frac {(x + 2) (x + 1)} {2} - rac frac {(x + 1) x} {2} - x = \ frac {(x + 1) \ বাম ((x + 2) - x \ ডান)} {2} - x = x + 1 - এক্স = 1
$$
এর অর্থ সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যা অর্জন করা।

পেছনে