\(5\) numra të barabartë rezultojnë në një mashtrim. Megjithatë, sa e mundshme është kjo varet nga ajo që llogaritet si një provë: një hedhje e vetme e zare \(5\) ose një kthesë e plotë në të cilën ju vazhdoni të përputheni me zare dhe i hidhni përsëri deri në \(2\) herë. Këtu ne përdorim \(5\) zare të drejtë me numrat \(1\) deri në \(6\) dhe rezultate të pavarura. Çdo truk llogaritet si sukses; probabiliteti që po kërkoni nuk është i kufizuar në një numër specifik pikash si \(6\) .
Sipas udhëzimeve të lojës , ju mund të vendosni sërish përpara çdo hedhjeje shtesë se cilët zare janë lënë të shtrirë. Qëllimi ynë i vetëm është një lloj mashtrimi, jo rezultati më i mirë i përgjithshëm në një lojë. Një hedhje e vetme ka \(6^5=7776\) rezultate po aq të mundshme gjatë dallimit të zareve. Nga këto \(6\) tregojnë të njëjtin numër në të gjithë zaret. Pra, mundësia është \(\frac{6}{7776}=\frac{1}{1296}\) . Sapo arrihet një mashtrim, ju përfundoni lëvizjen; Në total, lejohen maksimumi \(3\) gjuajtje.
$$p_1=\frac{6}{6^5}=\frac{1}{1296}\approx0{,}07716\%.$$
Strategjia më e parëndësishme është gjithashtu më e mira: nëse doni të maksimizoni mundësinë, mbani grupin më të madh të numrave identikë. Numri i synuar mund të ndryshojë gjithashtu: Nga \((2,2,3,4,5)\) së pari mbani dy \(2\) . Nëse rrotullimi tjetër jep \((6,6,6)\) , ju e mbani këtë grup dhe ri-rrotulloni të dy \(2\) . Mundësia e fundit rritet nga \(\frac{1}{216}\) në \(\frac{1}{36}\) . Dhe e fundit, por jo më pak e rëndësishme, le të supozojmë: Një mashtrim përfundon episodin menjëherë; mbeturinat e mëtejshme janë lënë jashtë.
Mënyra më e lehtë për të bërë llogaritjen është të filloni me gjuajtjen e fundit. Nëse \(4\) të të njëjtit zare janë tashmë të disponueshme, vetëm zari i mbetur duhet të kalojë: mundësia është \(\frac{1}{6}\) . Nëse \(3\) janë të njëjtat zare, dy të tjerët duhet të tregojnë numrin e mbajtur. Për shkak se rezultatet e tyre janë të pavarura, shumëzoni shanset dhe merrni \(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}\) . Nga ana tjetër, nëse mbani numra të ndryshëm në të njëjtën kohë, nuk mund të ketë problem me gjuajtjen e fundit. Pra, nuk është vetëm numri që ka rëndësi, por edhe ajo që mbani.
Me \(2\) rrotullat e mbetura, çdo kërpu që mungon ka një shans tjetër. Nëse zari \(4\) është i njëjtë, mjafton një goditje me zarin e mbetur. Llogaritja e numëruesit është më e shkurtër këtu: Ai humbet numrin e synuar në të dyja përpjekjet me probabilitet \(\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}\) . Prandaj, mundësia e suksesit është \(1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\) . Për grupet më të vogla, ju numëroni të gjitha pasojat e mundshme të gjuajtjeve dhe lejoni që objektivi të ndryshohet. Shanset e mëposhtme lindin me zgjedhjen më të mirë të ndalesës:
| Grupi më i madh | Rezulton në pjellë \(1.\) | Mundësi me \(2\) rrotullat e mbetura |
|---|---|---|
| \(1\) | \(720\) | \(\frac{221}{17496}\) |
| \(2\) | \(5400\) | \(\frac{113}{3888}\) |
| \(3\) | \(1500\) | \(\frac{121}{1296}\) |
| \(4\) | \(150\) | \(\frac{11}{36}\) |
| \(5\) | \(6\) | \(1\) |
Linjat nuk ndodhin me të njëjtën frekuencë. Për shembull, një grup më i madh i zareve \(2\) krijohet në \(5400\) nga \(7776\) hedhjet e para të mundshme. Këto përfshijnë një çift të vetëm dhe \(2\) çifte; Nëse ka një barazim, ju zgjidhni njërën prej tyre. Ne e shumëzojmë çdo shans në të djathtë me numrin në mes dhe e pjesëtojmë shumën me \(7776\) . Kjo kthen \(p_3\) ; për \(p_2\) ju përdorni vetëm një hedhje të mbetur. Vlerat e mëposhtme zbatohen përpara gjuajtjes së parë me zgjedhje optimale të ndalimit: \(p_2\) për një maksimum prej \(2\) dhe \(p_3\) për një maksimum prej \(3\) hedhjesh:
$$p_2=\frac{221}{17496}\approx1{,}26315\%.$$
$$p_3=\frac{347897}{7558272}\approx4{,}60286425\%.$$
Nëse mbajtja e grupit më të madh është vërtet më e mira, mund të testohet plotësisht. Skripti i mëposhtëm PHP merr në konsideratë çdo përzgjedhje të mundshme, duke përfshirë numra të përzier ose pa zare të mbajtur fare. Fillon në fund të kthesës, më pas llogarit vendimet më të mira për \(1\) dhe \(2\) rrotullat e mbetura dhe në fund vlerëson mesataren mbi rrotullimin e parë. Të njëjtat modele ripërdoren për ta mbajtur faturën të vogël. Të gjitha krahasimet bëhen me numra të plotë; vetëm shfaqja e përqindjes është e rrumbullakosur:
<?php
declare(strict_types=1);
if (PHP_INT_SIZE < 8) {
throw new RuntimeException('64-Bit-PHP erforderlich.');
}
function combinations(array $limits): array
{
$result = [[]];
foreach ($limits as $limit) {
$next = [];
foreach ($result as $prefix) {
for ($i = 0; $i <= $limit; $i++) {
$next[] = [...$prefix, $i];
}
}
$result = $next;
}
return $result;
}
function outcomes(int $number): array
{
static $cache = [];
if (isset($cache[$number])) {
return $cache[$number];
}
$result = [];
foreach (combinations(array_fill(0, $number, value: 5)) as $dice) {
$counts = array_fill(0, count: 6, value: 0);
foreach ($dice as $face) {
$counts[$face]++;
}
$key = implode(',', $counts);
$result[$key] = ($result[$key] ?? 0) + 1;
}
return $cache[$number] = $result;
}
function pattern(array $counts): string
{
rsort($counts);
return implode(',', $counts);
}
$states = [];
$values = [];
foreach (outcomes(5) as $key => $count) {
$counts = array_map('intval', explode(',', $key));
rsort($counts);
$states[pattern($counts)] = $counts;
$values[pattern($counts)] = (int) ($counts[0] === 5);
}
// Gemeinsamer Nenner: 6^(5 * verbleibende Würfe).
for ($remaining = 1; $remaining <= 2; $remaining++) {
$next = [];
foreach ($states as $key => $counts) {
$best = 0;
foreach (combinations($counts) as $held) {
$number = 5 - array_sum($held);
$total = 0;
foreach (outcomes($number) as $rolled => $count) {
$after = array_map('intval', explode(',', $rolled));
foreach ($held as $face => $amount) {
$after[$face] += $amount;
}
$total += $count * $values[pattern($after)];
}
$best = max($best, $total * (6 ** (5 - $number)));
}
$next[$key] = $best;
}
$values = $next;
}
$numerator = 0;
$denominator = 6 ** 15;
foreach (outcomes(5) as $key => $count) {
$numerator += $count * $values[pattern(array_map('intval', explode(',', $key)))];
}
[$a, $b] = [$numerator, $denominator];
while ($b !== 0) {
[$a, $b] = [$b, $a % $b];
}
echo intdiv($numerator, $a), '/', intdiv($denominator, $a), PHP_EOL;
printf("%.10f%%\n", (100 * $numerator) / $denominator);
Rreth \(4{,}60\%\) do të thotë: Edhe me zgjedhjen më të mirë, një problem mbetet i rrallë. Nëse rrokullisni gjithçka çdo herë, mundësia për një maksimum prej \(3\) përpjekjesh është vetëm rreth \(0{,}23130\%\) . Nëse vazhdoni të përputheni me zarat, por qëndroni në numrin e synuar të zgjedhur pas hedhjes \(1.\) , do të arrini rreth \(4{,}52941\%\) . Prandaj, kalimi në grupin më të madh sjell një avantazh të vogël shtesë. Pavarësisht nëse është një strategji matematikore apo një ndjenjë e pastër e zorrëve: Kniffel është një lojë tavoline e përjetshme, argëtuese dhe, mbi të gjitha, argëtuese.