\(5\) eşit sayılar bir löveyle sonuçlanır. Bununla birlikte, bunun ne kadar muhtemel olduğu, neyi deneme olarak saydığınıza bağlıdır: tek bir \(5\) zar atılması veya zarları eşleştirmeye devam ettiğiniz ve onları \(2\) defaya kadar yeniden attığınız tam bir tur. Burada \(1\) ile \(6\) arasındaki sayıları ve bağımsız sonuçları içeren \(5\) adil zarları kullanıyoruz. Her numara bir başarı olarak sayılır; aradığınız olasılık \(6\) gibi belirli bir nokta sayısıyla sınırlı değildir.
Oyun talimatlarına göre, her ilave atıştan önce hangi zarın ortada kalacağına tekrar karar verebilirsiniz. Tek amacımız bir çeşit hile yapmaktır, bir oyundaki en iyi genel skoru elde etmek değil. Zarların farklılaştırılması sırasında tek bir atışta \(6^5=7776\) eşit olasılığa sahip sonuçlar elde edilir. Bunlardan \(6\) tüm zarlarda aynı sayıyı gösterir. Yani şans \(\frac{6}{7776}=\frac{1}{1296}\) . Bir löveye ulaşıldığı anda hamleyi bitirirsiniz; Toplamda en fazla \(3\) atışa izin verilir.
$$p_1=\frac{6}{6^5}=\frac{1}{1296}\approx0{,}07716\%.$$
En önemsiz strateji aynı zamanda en iyisidir: Şansı en üst düzeye çıkarmak istiyorsanız, aynı sayılardan oluşan en büyük grubu tutarsınız. Hedef sayı da değişebilir: \((2,2,3,4,5)\) den önce iki \(2\) yi tutarsınız. Bir sonraki atış \((6,6,6)\) sonucunu verirse, bu grubu korursunuz ve ikisini \(2\) yeniden atarsınız. Son şans \(\frac{1}{216}\) 'dan \(\frac{1}{36}\) 'a yükselir. Ve son olarak şunu varsayalım: Bir hile bölümü hemen bitirir; daha fazla çöp atlanır.
Hesaplamanın en kolay yolu son atışla başlamaktır. Eğer aynı zardan \(4\) zaten mevcutsa, yalnızca kalan zarların geçmesi gerekir: şans \(\frac{1}{6}\) . Eğer \(3\) aynı zar ise, diğer ikisi tutulan sayıyı göstermelidir. Sonuçları bağımsız olduğundan şansı çarpın ve \(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}\) elde edin. Öte yandan aynı anda farklı sayılara tutunursanız son atışta sorun yaşanmayabilir. Yani önemli olan sadece sayı değil, aynı zamanda neyi sakladığınızdır.
\(2\) atış kaldığında, eksik olan her zar bir şans daha kazanır. Eğer \(4\) zar aynıysa, kalan zarlarla bir vuruş yeterlidir. Sayaç hesaplaması burada daha kısadır: Her iki denemede de hedef sayıyı \(\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}\) olasılığıyla kaçırır. Bu nedenle başarı şansı \(1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\) 'dir. Daha küçük gruplar için atışların tüm olası sonuçlarını sayarsınız ve hedefin değiştirilmesine izin verirsiniz. En iyi durdurma seçimiyle aşağıdaki şanslar ortaya çıkar::
| En büyük grup | \(1.\) çöpündeki sonuçlar | \(2\) kalan atış şansı |
|---|---|---|
| \(1\) | \(720\) | \(\frac{221}{17496}\) |
| \(2\) | \(5400\) | \(\frac{113}{3888}\) |
| \(3\) | \(1500\) | \(\frac{121}{1296}\) |
| \(4\) | \(150\) | \(\frac{11}{36}\) |
| \(5\) | \(6\) | \(1\) |
Çizgiler aynı frekansta oluşmuyor. Örneğin, \(2\) zardan oluşan en büyük grup \(7776\) olası ilk atışların \(5400\) 'ünde oluşturulur. Bunlar tek bir çifti ve \(2\) çifti içerir; Beraberlik varsa bunlardan birini seçersin. Sağdaki her şansı ortadaki sayıyla çarpıyoruz ve toplamı \(7776\) 'ya bölüyoruz. Bu \(p_3\) değerini döndürür; \(p_2\) için yalnızca kalan atışı kullanırsınız. Aşağıdaki değerler, en uygun durdurma seçeneğiyle ilk atıştan önce geçerlidir: maksimum \(2\) için \(p_2\) ve maksimum \(3\) atış için \(p_3\):
$$p_2=\frac{221}{17496}\approx1{,}26315\%.$$
$$p_3=\frac{347897}{7558272}\approx4{,}60286425\%.$$
En büyük grubu tutmanın gerçekten en iyisi olup olmadığı tamamen test edilebilir. Aşağıdaki PHP betiği, karışık sayılar veya zarın hiç tutulmaması da dahil olmak üzere olası her seçimi dikkate alır. Turun sonunda başlar, ardından kalan \(1\) ve \(2\) atışları için en iyi kararları hesaplar ve son olarak ilk atışta ortalamaları alır. Faturayı küçük tutmak için aynı desenler yeniden kullanılıyor. Tüm karşılaştırmalar tam sayılarla yapılır; yalnızca yüzde göstergesi yuvarlanır:
<?php
declare(strict_types=1);
if (PHP_INT_SIZE < 8) {
throw new RuntimeException('64-Bit-PHP erforderlich.');
}
function combinations(array $limits): array
{
$result = [[]];
foreach ($limits as $limit) {
$next = [];
foreach ($result as $prefix) {
for ($i = 0; $i <= $limit; $i++) {
$next[] = [...$prefix, $i];
}
}
$result = $next;
}
return $result;
}
function outcomes(int $number): array
{
static $cache = [];
if (isset($cache[$number])) {
return $cache[$number];
}
$result = [];
foreach (combinations(array_fill(0, $number, value: 5)) as $dice) {
$counts = array_fill(0, count: 6, value: 0);
foreach ($dice as $face) {
$counts[$face]++;
}
$key = implode(',', $counts);
$result[$key] = ($result[$key] ?? 0) + 1;
}
return $cache[$number] = $result;
}
function pattern(array $counts): string
{
rsort($counts);
return implode(',', $counts);
}
$states = [];
$values = [];
foreach (outcomes(5) as $key => $count) {
$counts = array_map('intval', explode(',', $key));
rsort($counts);
$states[pattern($counts)] = $counts;
$values[pattern($counts)] = (int) ($counts[0] === 5);
}
// Gemeinsamer Nenner: 6^(5 * verbleibende Würfe).
for ($remaining = 1; $remaining <= 2; $remaining++) {
$next = [];
foreach ($states as $key => $counts) {
$best = 0;
foreach (combinations($counts) as $held) {
$number = 5 - array_sum($held);
$total = 0;
foreach (outcomes($number) as $rolled => $count) {
$after = array_map('intval', explode(',', $rolled));
foreach ($held as $face => $amount) {
$after[$face] += $amount;
}
$total += $count * $values[pattern($after)];
}
$best = max($best, $total * (6 ** (5 - $number)));
}
$next[$key] = $best;
}
$values = $next;
}
$numerator = 0;
$denominator = 6 ** 15;
foreach (outcomes(5) as $key => $count) {
$numerator += $count * $values[pattern(array_map('intval', explode(',', $key)))];
}
[$a, $b] = [$numerator, $denominator];
while ($b !== 0) {
[$a, $b] = [$b, $a % $b];
}
echo intdiv($numerator, $a), '/', intdiv($denominator, $a), PHP_EOL;
printf("%.10f%%\n", (100 * $numerator) / $denominator);
Yaklaşık \(4{,}60\%\) şu anlama gelir: En iyi seçim olsa bile, bir sorun nadir kalır. Her seferinde her şeyi yeniden yazarsanız, maksimum \(3\) deneme şansı yalnızca \(0{,}23130\%\) ile ilgilidir. Zarları eşleştirmeye devam ederseniz ancak \(1.\) atıştan sonra seçilen hedef sayıya sadık kalırsanız, yaklaşık olarak \(4{,}52941\%\) elde edersiniz. Bu nedenle daha büyük gruba geçmek küçük bir ek avantaj sağlar. İster matematiksel strateji ister saf içgüdüsel his olsun: Kniffel zamansız, eğlenceli ve hepsinden önemlisi eğlenceli bir masa oyunudur.