\(5\) சம எண்கள் ஒரு தந்திரத்தை விளைவிக்கும். இருப்பினும், இது எவ்வளவு சாத்தியம் என்பது நீங்கள் முயற்சியாகக் கணக்கிடுவதைப் பொறுத்தது: \(5\) பகடையின் ஒரு சுருள் அல்லது முழுமையான திருப்பம், அதில் நீங்கள் பகடைகளைப் பொருத்தி, \(2\) முறை வரை மீண்டும் உருட்டவும். இங்கே நாம் \(1\) முதல் \(6\) எண்கள் மற்றும் சுயாதீன முடிவுகளுடன் \(5\) நியாயமான பகடைகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். ஒவ்வொரு தந்திரமும் வெற்றியாகக் கருதப்படுகிறது; நீங்கள் தேடும் நிகழ்தகவு \(6\) போன்ற குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளுக்கு மட்டும் அல்ல.
விளையாட்டு வழிமுறைகளின்படி , ஒவ்வொரு கூடுதல் ரோலுக்கு முன்பும் எந்த பகடை கிடக்கிறது என்பதை நீங்கள் மீண்டும் முடிவு செய்யலாம். எங்களின் ஒரே குறிக்கோள் ஒருவித தந்திரமே தவிர, விளையாட்டின் சிறந்த ஒட்டுமொத்த மதிப்பெண் அல்ல. பகடைகளை வேறுபடுத்தும் போது ஒரு ஒற்றை ரோலில் \(6^5=7776\) சமமான பலன்கள் இருக்கும். இவற்றில் \(6\) அனைத்து பகடைகளிலும் ஒரே எண்ணைக் காட்டுகிறது. எனவே வாய்ப்பு \(\frac{6}{7776}=\frac{1}{1296}\) . ஒரு தந்திரம் அடைந்தவுடன், நீங்கள் நகர்வை முடிக்கிறீர்கள்; மொத்தத்தில், அதிகபட்சம் \(3\) வீசுதல்கள் அனுமதிக்கப்படும்.
$$p_1=\frac{6}{6^5}=\frac{1}{1296}\approx0{,}07716\%.$$
மிகவும் அற்பமான உத்தியும் சிறந்தது: நீங்கள் வாய்ப்பை அதிகரிக்க விரும்பினால், ஒரே மாதிரியான எண்களின் மிகப்பெரிய குழுவை வைத்திருக்கிறீர்கள். இலக்கு எண்ணும் மாறலாம்: \((2,2,3,4,5)\) இலிருந்து நீங்கள் முதலில் இரண்டையும் வைத்துக்கொள்ளுங்கள் \(2\) . அடுத்த ரோல் வழங்கினால் \((6,6,6)\) , நீங்கள் இந்தக் குழுவை வைத்து இரண்டையும் மீண்டும் உருட்டவும் \(2\) . கடைசி வாய்ப்பு \(\frac{1}{216}\) இலிருந்து \(\frac{1}{36}\) க்கு அதிகரிக்கிறது. கடைசியாக ஆனால் குறைந்தபட்சம், நாம் வைத்துக்கொள்வோம்: ஒரு வித்தை உடனடியாக அத்தியாயத்தை முடிக்கிறது; மேலும் குப்பைகள் தவிர்க்கப்படுகின்றன.
கணக்கீடு செய்ய எளிதான வழி கடைசி வீசுதலுடன் தொடங்குவதாகும். அதே பகடையின் \(4\) ஏற்கனவே இருந்தால், மீதமுள்ள பகடைகள் மட்டுமே கடந்து செல்ல வேண்டும்: வாய்ப்பு \(\frac{1}{6}\) . \(3\) ஒரே பகடை என்றால், மற்ற இரண்டும் வைத்திருக்கும் எண்ணைக் காட்ட வேண்டும். அவற்றின் முடிவுகள் சுயாதீனமாக இருப்பதால், வாய்ப்புகளைப் பெருக்கி, \(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}\) . மறுபுறம், நீங்கள் ஒரே நேரத்தில் வெவ்வேறு எண்களைப் பிடித்துக் கொண்டால், கடைசி எறிதலில் எந்த பிரச்சனையும் இருக்காது. எனவே, எண் மட்டுமல்ல, நீங்கள் எதை வைத்திருக்கிறீர்கள் என்பதும் முக்கியம்.
மீதமுள்ள \(2\) ரோல்களுடன், காணாமல் போன ஒவ்வொரு டைக்கும் மற்றொரு வாய்ப்பு கிடைக்கும். \(4\) பகடை ஒரே மாதிரியாக இருந்தால், மீதமுள்ள பகடையை ஒரு முறை அடித்தால் போதுமானது. கவுண்டர் கணக்கீடு இங்கே குறைவாக உள்ளது: நிகழ்தகவு \(\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}\) இரண்டு முயற்சிகளிலும் அவர் இலக்கு எண்ணைத் தவறவிட்டார். எனவே வெற்றிக்கான வாய்ப்பு \(1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\) . சிறிய குழுக்களுக்கு, நீங்கள் வீசுதல்களின் சாத்தியமான அனைத்து விளைவுகளையும் எண்ணி, இலக்கை மாற்ற அனுமதிக்கிறீர்கள். சிறந்த தேர்வு நிறுத்தத்துடன் பின்வரும் வாய்ப்புகள் எழுகின்றன:
| மிகப்பெரிய குழு | \(1.\) குப்பையில் முடிவுகள் | மீதமுள்ள \(2\) ரோல்களுடன் வாய்ப்பு |
|---|---|---|
| \(1\) | \(720\) | \(\frac{221}{17496}\) |
| \(2\) | \(5400\) | \(\frac{113}{3888}\) |
| \(3\) | \(1500\) | \(\frac{121}{1296}\) |
| \(4\) | \(150\) | \(\frac{11}{36}\) |
| \(5\) | \(6\) | \(1\) |
கோடுகள் ஒரே அதிர்வெண்ணில் ஏற்படாது. எடுத்துக்காட்டாக, \(7776\) சாத்தியமான முதல் வீசுதல்களில் \(5400\) இல் \(2\) பகடைகளின் மிகப்பெரிய குழு உருவாக்கப்படுகிறது. இதில் ஒற்றை ஜோடி மற்றும் \(2\) ஜோடிகள் அடங்கும்; டை இருந்தால், அவற்றில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். வலதுபுறத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு வாய்ப்பையும் நடுவில் உள்ள எண்ணால் பெருக்கி, தொகையை \(7776\) ஆல் வகுக்கிறோம். இது \(p_3\) ; \(p_2\) க்கு நீங்கள் மீதமுள்ள வீசுதலை மட்டுமே பயன்படுத்துகிறீர்கள். பின்வரும் மதிப்புகள் முதல் வீசுதலுக்கு முன் உகந்த நிறுத்தத் தேர்வுடன் பொருந்தும்: \(p_2\) அதிகபட்சம் \(2\) மற்றும் \(p_3\) அதிகபட்சம் \(3\) வீசுதல்களுக்கு:
$$p_2=\frac{221}{17496}\approx1{,}26315\%.$$
$$p_3=\frac{347897}{7558272}\approx4{,}60286425\%.$$
மிகப்பெரிய குழுவை வைத்திருப்பது உண்மையில் சிறந்ததா என்பதை முழுமையாக சோதிக்க முடியும். பின்வரும் PHP ஸ்கிரிப்ட், கலப்பு எண்கள் அல்லது பகடை இல்லை உட்பட, சாத்தியமான ஒவ்வொரு தேர்வையும் கருதுகிறது. இது திருப்பத்தின் முடிவில் தொடங்குகிறது, பின்னர் \(1\) மற்றும் \(2\) மீதமுள்ள ரோல்களுக்கான சிறந்த முடிவுகளைக் கணக்கிடுகிறது மற்றும் இறுதியாக முதல் ரோலில் சராசரியாக இருக்கும். பில் சிறியதாக இருக்க அதே மாதிரிகள் மீண்டும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அனைத்து ஒப்பீடுகளும் முழு எண்களுடன் செய்யப்படுகின்றன; சதவீத காட்சி மட்டுமே வட்டமானது:
<?php
declare(strict_types=1);
if (PHP_INT_SIZE < 8) {
throw new RuntimeException('64-Bit-PHP erforderlich.');
}
function combinations(array $limits): array
{
$result = [[]];
foreach ($limits as $limit) {
$next = [];
foreach ($result as $prefix) {
for ($i = 0; $i <= $limit; $i++) {
$next[] = [...$prefix, $i];
}
}
$result = $next;
}
return $result;
}
function outcomes(int $number): array
{
static $cache = [];
if (isset($cache[$number])) {
return $cache[$number];
}
$result = [];
foreach (combinations(array_fill(0, $number, value: 5)) as $dice) {
$counts = array_fill(0, count: 6, value: 0);
foreach ($dice as $face) {
$counts[$face]++;
}
$key = implode(',', $counts);
$result[$key] = ($result[$key] ?? 0) + 1;
}
return $cache[$number] = $result;
}
function pattern(array $counts): string
{
rsort($counts);
return implode(',', $counts);
}
$states = [];
$values = [];
foreach (outcomes(5) as $key => $count) {
$counts = array_map('intval', explode(',', $key));
rsort($counts);
$states[pattern($counts)] = $counts;
$values[pattern($counts)] = (int) ($counts[0] === 5);
}
// Gemeinsamer Nenner: 6^(5 * verbleibende Würfe).
for ($remaining = 1; $remaining <= 2; $remaining++) {
$next = [];
foreach ($states as $key => $counts) {
$best = 0;
foreach (combinations($counts) as $held) {
$number = 5 - array_sum($held);
$total = 0;
foreach (outcomes($number) as $rolled => $count) {
$after = array_map('intval', explode(',', $rolled));
foreach ($held as $face => $amount) {
$after[$face] += $amount;
}
$total += $count * $values[pattern($after)];
}
$best = max($best, $total * (6 ** (5 - $number)));
}
$next[$key] = $best;
}
$values = $next;
}
$numerator = 0;
$denominator = 6 ** 15;
foreach (outcomes(5) as $key => $count) {
$numerator += $count * $values[pattern(array_map('intval', explode(',', $key)))];
}
[$a, $b] = [$numerator, $denominator];
while ($b !== 0) {
[$a, $b] = [$b, $a % $b];
}
echo intdiv($numerator, $a), '/', intdiv($denominator, $a), PHP_EOL;
printf("%.10f%%\n", (100 * $numerator) / $denominator);
சுற்றி \(4{,}60\%\) என்றால்: சிறந்த தேர்வாக இருந்தாலும், சிக்கல் அரிதாகவே இருக்கும். ஒவ்வொரு முறையும் நீங்கள் எல்லாவற்றையும் மீண்டும் செய்தால், அதிகபட்சம் \(3\) முயற்சிகளுக்கு மேல் வாய்ப்பு \(0{,}23130\%\) மட்டுமே . நீங்கள் பகடைகளைப் பொருத்துவதைத் தொடர்ந்தாலும், \(1.\) ரோலுக்குப் பிறகு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இலக்கு எண்ணுடன் ஒட்டிக்கொண்டால், \(4{,}52941\%\) . பெரிய குழுவிற்கு மாறுவது ஒரு சிறிய கூடுதல் நன்மையைக் கொண்டுவருகிறது. இது கணித உத்தியா அல்லது தூய குடல் உணர்வா என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல்: Kniffel ஒரு காலமற்ற, பொழுதுபோக்கு மற்றும், எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, பொழுதுபோக்கு பலகை விளையாட்டு.