\(5\) الأعداد المتساوية تؤدي إلى خدعة. ومع ذلك، فإن مدى احتمالية ذلك يعتمد على ما تعتبره محاولة: رمية واحدة من النرد \(5\) أو دورة كاملة تستمر فيها في مطابقة النرد وإعادة رميها حتى \(2\) مرات. نستخدم هنا \(5\) حجر النرد العادل مع الأرقام \(1\) إلى \(6\) والنتائج المستقلة. كل خدعة تعتبر نجاحاً؛ الاحتمال الذي تبحث عنه لا يقتصر على عدد محدد من النقاط مثل \(6\) .
وفقًا لتعليمات اللعبة ، يمكنك أن تقرر مرة أخرى قبل كل رمية إضافية أي حجر نرد سيبقى ملقاة. هدفنا الوحيد هو نوع من الخدعة، وليس أفضل نتيجة إجمالية في المباراة. تحتوي اللفة الواحدة على نتائج متساوية \(6^5=7776\) عند التمييز بين النرد. من بينها \(6\) نفس الرقم على جميع أحجار النرد. لذا فإن الفرصة هي \(\frac{6}{7776}=\frac{1}{1296}\) . بمجرد الوصول إلى الحيلة، تنهي الحركة؛ يُسمح بحد أقصى \(3\) رميات إجمالاً.
$$p_1=\frac{6}{6^5}=\frac{1}{1296}\approx0{,}07716\%.$$
الإستراتيجية الأكثر تافهة هي أيضًا الأفضل: إذا كنت ترغب في تعظيم الفرصة، فإنك تحتفظ بأكبر مجموعة من الأرقام المتطابقة. يمكن أن يتغير الرقم المستهدف أيضًا: من \((2,2,3,4,5)\) عليك أولاً الاحتفاظ بالرقمين \(2\) . إذا سلمت اللفة التالية \((6,6,6)\) ، فاحتفظ بهذه المجموعة وأعد رمي المجموعتين \(2\) . تزداد الفرصة الأخيرة من \(\frac{1}{216}\) إلى \(\frac{1}{36}\) . وأخيرًا وليس آخرًا، لنفترض: أن هناك وسيلة للتحايل تنهي الحلقة على الفور؛ تم حذف المزيد من الفضلات.
أسهل طريقة لإجراء الحساب هي البدء بالرمية الأخيرة. إذا كان \(4\) من نفس النرد متاحًا بالفعل، فيجب تمرير النرد المتبقي فقط: الفرصة هي \(\frac{1}{6}\) . إذا كان \(3\) هو نفس النرد، فيجب أن يظهر النردان الآخران الرقم الموجود. نظرًا لأن نتائجها مستقلة، قم بمضاعفة الفرص واحصل على \(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}\) . من ناحية أخرى، إذا احتفظت بأرقام مختلفة في نفس الوقت، فلا يمكن أن تكون هناك مشكلة في الرمية الأخيرة. لذا، ليس الرقم هو المهم فحسب، بل أيضًا ما تحتفظ به.
مع \(2\) اللفات المتبقية، تحصل كل نرد مفقود على فرصة أخرى. إذا كان النرد \(4\) هو نفسه، فإن ضرب النرد المتبقي مرة واحدة يكون كافيًا. حساب العداد أقصر هنا: لقد أخطأ الرقم المستهدف في كلتا المحاولتين مع الاحتمال \(\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}\) . وبالتالي فإن فرصة النجاح هي \(1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\) . بالنسبة للمجموعات الأصغر، يتم حساب جميع العواقب المحتملة للرميات ويمكن تغيير الهدف. تنشأ الفرص التالية مع أفضل خيار للتوقف:
| أكبر مجموعة | النتائج في \(1.\) القمامة | فرصة مع \(2\) اللفات المتبقية |
|---|---|---|
| \(1\) | \(720\) | \(\frac{221}{17496}\) |
| \(2\) | \(5400\) | \(\frac{113}{3888}\) |
| \(3\) | \(1500\) | \(\frac{121}{1296}\) |
| \(4\) | \(150\) | \(\frac{11}{36}\) |
| \(5\) | \(6\) | \(1\) |
لا تحدث الخطوط بنفس التردد. على سبيل المثال، يتم إنشاء أكبر مجموعة من أحجار النرد \(2\) في \(5400\) من \(7776\) الرميات الأولى المحتملة. يتضمن ذلك زوجًا واحدًا وأزواج \(2\) ؛ إذا كان هناك ربطة عنق، فاختر واحدة منها. نضرب كل فرصة على اليمين بالرقم الموجود في المنتصف ونقسم المجموع على \(7776\) . يؤدي هذا إلى إرجاع \(p_3\) ؛ بالنسبة لـ \(p_2\) فإنك تستخدم فقط رمية الباقي. تنطبق القيم التالية قبل الرمية الأولى مع اختيار التوقف الأمثل: \(p_2\) بحد أقصى \(2\) و \(p_3\) بحد أقصى \(3\) رميات:
$$p_2=\frac{221}{17496}\approx1{,}26315\%.$$
$$p_3=\frac{347897}{7558272}\approx4{,}60286425\%.$$
يمكن اختبار ما إذا كان الاحتفاظ بأكبر مجموعة هو الأفضل حقًا أم لا. يأخذ برنامج PHP النصي التالي في الاعتبار كل الاختيارات الممكنة، بما في ذلك الأرقام المختلطة أو عدم وجود حجر نرد على الإطلاق. يبدأ في نهاية الدور، ثم يحسب أفضل القرارات لـ \(1\) و \(2\) اللفات المتبقية وأخيرًا المتوسطات خلال الدورة الأولى. يتم إعادة استخدام نفس الأنماط لإبقاء الفاتورة صغيرة. يتم إجراء كافة المقارنات مع الأعداد الصحيحة. يتم تقريب عرض النسبة المئوية فقط:
<?php
declare(strict_types=1);
if (PHP_INT_SIZE < 8) {
throw new RuntimeException('64-Bit-PHP erforderlich.');
}
function combinations(array $limits): array
{
$result = [[]];
foreach ($limits as $limit) {
$next = [];
foreach ($result as $prefix) {
for ($i = 0; $i <= $limit; $i++) {
$next[] = [...$prefix, $i];
}
}
$result = $next;
}
return $result;
}
function outcomes(int $number): array
{
static $cache = [];
if (isset($cache[$number])) {
return $cache[$number];
}
$result = [];
foreach (combinations(array_fill(0, $number, value: 5)) as $dice) {
$counts = array_fill(0, count: 6, value: 0);
foreach ($dice as $face) {
$counts[$face]++;
}
$key = implode(',', $counts);
$result[$key] = ($result[$key] ?? 0) + 1;
}
return $cache[$number] = $result;
}
function pattern(array $counts): string
{
rsort($counts);
return implode(',', $counts);
}
$states = [];
$values = [];
foreach (outcomes(5) as $key => $count) {
$counts = array_map('intval', explode(',', $key));
rsort($counts);
$states[pattern($counts)] = $counts;
$values[pattern($counts)] = (int) ($counts[0] === 5);
}
// Gemeinsamer Nenner: 6^(5 * verbleibende Würfe).
for ($remaining = 1; $remaining <= 2; $remaining++) {
$next = [];
foreach ($states as $key => $counts) {
$best = 0;
foreach (combinations($counts) as $held) {
$number = 5 - array_sum($held);
$total = 0;
foreach (outcomes($number) as $rolled => $count) {
$after = array_map('intval', explode(',', $rolled));
foreach ($held as $face => $amount) {
$after[$face] += $amount;
}
$total += $count * $values[pattern($after)];
}
$best = max($best, $total * (6 ** (5 - $number)));
}
$next[$key] = $best;
}
$values = $next;
}
$numerator = 0;
$denominator = 6 ** 15;
foreach (outcomes(5) as $key => $count) {
$numerator += $count * $values[pattern(array_map('intval', explode(',', $key)))];
}
[$a, $b] = [$numerator, $denominator];
while ($b !== 0) {
[$a, $b] = [$b, $a % $b];
}
echo intdiv($numerator, $a), '/', intdiv($denominator, $a), PHP_EOL;
printf("%.10f%%\n", (100 * $numerator) / $denominator);
حوالي \(4{,}60\%\) يعني: حتى مع الاختيار الأفضل، تظل المشكلة نادرة. إذا قمت بإعادة تشغيل كل شيء في كل مرة، فإن فرصة حدوث \(3\) كحد أقصى من المحاولات تكون فقط حوالي \(0{,}23130\%\) . إذا واصلت مطابقة النرد، ولكنك التزمت بالرقم المستهدف الذي تم اختياره بعد الرمي \(1.\) ، فستحقق حوالي \(4{,}52941\%\) . وبالتالي فإن التحول إلى المجموعة الأكبر يجلب ميزة إضافية صغيرة. بغض النظر عما إذا كانت استراتيجية رياضية أو شعورًا داخليًا خالصًا: Kniffel هي لعبة لوحية خالدة ومسلية، وقبل كل شيء، مسلية.