\(5\) gleiche Augenzahlen ergeben einen Kniffel. Wie wahrscheinlich das ist, hängt jedoch davon ab, was man als Versuch zählt: einen einzelnen Wurf mit \(5\) Würfeln oder einen vollständigen Zug, bei dem man passende Würfel behält und bis zu \(2\)-mal nachwürfelt. Wir verwenden hier \(5\) faire Würfel mit den Augenzahlen \(1\) bis \(6\) und unabhängigen Ergebnissen. Dabei zählt jeder Kniffel als Erfolg; die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist nicht auf eine bestimmte Augenzahl wie \(6\) beschränkt.
Laut Spielanleitung darf man vor jedem Zusatzwurf neu entscheiden, welche Würfel liegen bleiben. Unser einziges Ziel ist irgendein Kniffel, nicht die beste Gesamtwertung einer Partie. Ein einzelner Wurf hat \(6^5=7776\) gleichwahrscheinliche Ergebnisse, wenn man die Würfel unterscheidet. Davon zeigen \(6\) dieselbe Augenzahl auf allen Würfeln. Die Chance beträgt also \(\frac{6}{7776}=\frac{1}{1296}\). Sobald ein Kniffel erreicht ist, beendet man den Zug; insgesamt sind höchstens \(3\) Würfe erlaubt.
$$p_1=\frac{6}{6^5}=\frac{1}{1296}\approx0{,}07716\%.$$
Die trivialste Strategie ist zugleich auch die beste: Will man die Chance maximieren, behält man die größte Gruppe gleicher Zahlen. Dabei darf sich auch die Zielzahl ändern: Aus \((2,2,3,4,5)\) hält man zunächst die beiden \(2\). Liefert der nächste Wurf \((6,6,6)\), behält man nun diese Gruppe und würfelt die beiden \(2\) neu. Die letzte Chance steigt damit von \(\frac{1}{216}\) auf \(\frac{1}{36}\). Und zu guter Letzt nehmen wir an: Ein Kniffel beendet die Folge sofort; weitere Würfe entfallen.
Am einfachsten beginnt die Rechnung beim letzten Wurf. Liegen schon \(4\) gleiche Würfel bereit, muss nur der übrige Würfel passen: Die Chance beträgt \(\frac{1}{6}\). Bei \(3\) gleichen Würfeln müssen die beiden anderen die gehaltene Zahl zeigen. Weil ihre Ergebnisse unabhängig sind, multipliziert man die Chancen und erhält \(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}\). Hält man dagegen verschiedene Zahlen gleichzeitig fest, kann im letzten Wurf kein Kniffel entstehen. Entscheidend ist also nicht nur die Anzahl, sondern auch, was man behält.
Mit \(2\) Restwürfen bekommt jeder fehlende Würfel noch eine weitere Gelegenheit. Bei \(4\) gleichen Würfeln genügt ein Treffer mit dem übrigen Würfel. Die Gegenrechnung ist hier kürzer: Er verfehlt die Zielzahl bei beiden Versuchen mit Wahrscheinlichkeit \(\frac{5}{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{25}{36}\). Die Erfolgschance beträgt deshalb \(1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}\). Für kleinere Gruppen zählt man alle möglichen Folgen der Würfe durch und erlaubt den Zielwechsel. So ergeben sich bei bester Haltewahl folgende Chancen:
| Größte Gruppe | Ergebnisse im \(1.\) Wurf | Chance bei \(2\) Restwürfen |
|---|---|---|
| \(1\) | \(720\) | \(\frac{221}{17496}\) |
| \(2\) | \(5400\) | \(\frac{113}{3888}\) |
| \(3\) | \(1500\) | \(\frac{121}{1296}\) |
| \(4\) | \(150\) | \(\frac{11}{36}\) |
| \(5\) | \(6\) | \(1\) |
Die Zeilen treten nicht gleich häufig auf. Eine größte Gruppe aus \(2\) Würfeln entsteht beispielsweise in \(5400\) der \(7776\) möglichen Erstwürfe. Dazu zählen ein einzelnes Paar und \(2\) Paare; bei Gleichstand wählt man eines davon. Wir multiplizieren jede Chance rechts mit der Anzahl in der Mitte und teilen die Summe durch \(7776\). Das liefert \(p_3\); für \(p_2\) verwendet man nur einen Restwurf. Die folgenden Werte gelten vor dem ersten Wurf bei optimaler Haltewahl: \(p_2\) für höchstens \(2\) und \(p_3\) für höchstens \(3\) Würfe:
$$p_2=\frac{221}{17496}\approx1{,}26315\%.$$
$$p_3=\frac{347897}{7558272}\approx4{,}60286425\%.$$
Ob das Halten der größten Gruppe wirklich am besten ist, lässt sich vollständig prüfen. Das folgende PHP-Script betrachtet jede mögliche Auswahl, auch gemischte Zahlen oder gar keine gehaltenen Würfel. Es beginnt beim Zugende, berechnet dann die besten Entscheidungen bei \(1\) und bei \(2\) Restwürfen und mittelt zum Schluss über den ersten Wurf. Gleiche Muster werden wiederverwendet, damit die Rechnung klein bleibt. Alle Vergleiche erfolgen mit ganzen Zahlen; erst die Prozentanzeige wird gerundet:
<?php
declare(strict_types=1);
if (PHP_INT_SIZE < 8) {
throw new RuntimeException('64-Bit-PHP erforderlich.');
}
function combinations(array $limits): array
{
$result = [[]];
foreach ($limits as $limit) {
$next = [];
foreach ($result as $prefix) {
for ($i = 0; $i <= $limit; $i++) {
$next[] = [...$prefix, $i];
}
}
$result = $next;
}
return $result;
}
function outcomes(int $number): array
{
static $cache = [];
if (isset($cache[$number])) {
return $cache[$number];
}
$result = [];
foreach (combinations(array_fill(0, $number, value: 5)) as $dice) {
$counts = array_fill(0, count: 6, value: 0);
foreach ($dice as $face) {
$counts[$face]++;
}
$key = implode(',', $counts);
$result[$key] = ($result[$key] ?? 0) + 1;
}
return $cache[$number] = $result;
}
function pattern(array $counts): string
{
rsort($counts);
return implode(',', $counts);
}
$states = [];
$values = [];
foreach (outcomes(5) as $key => $count) {
$counts = array_map('intval', explode(',', $key));
rsort($counts);
$states[pattern($counts)] = $counts;
$values[pattern($counts)] = (int) ($counts[0] === 5);
}
// Gemeinsamer Nenner: 6^(5 * verbleibende Würfe).
for ($remaining = 1; $remaining <= 2; $remaining++) {
$next = [];
foreach ($states as $key => $counts) {
$best = 0;
foreach (combinations($counts) as $held) {
$number = 5 - array_sum($held);
$total = 0;
foreach (outcomes($number) as $rolled => $count) {
$after = array_map('intval', explode(',', $rolled));
foreach ($held as $face => $amount) {
$after[$face] += $amount;
}
$total += $count * $values[pattern($after)];
}
$best = max($best, $total * (6 ** (5 - $number)));
}
$next[$key] = $best;
}
$values = $next;
}
$numerator = 0;
$denominator = 6 ** 15;
foreach (outcomes(5) as $key => $count) {
$numerator += $count * $values[pattern(array_map('intval', explode(',', $key)))];
}
[$a, $b] = [$numerator, $denominator];
while ($b !== 0) {
[$a, $b] = [$b, $a % $b];
}
echo intdiv($numerator, $a), '/', intdiv($denominator, $a), PHP_EOL;
printf("%.10f%%\n", (100 * $numerator) / $denominator);
Rund \(4{,}60\%\) bedeutet also: Selbst mit der besten Wahl bleibt ein Kniffel selten. Würfelt man jedes Mal alles neu, liegt die Chance über höchstens \(3\) Versuche nur bei etwa \(0{,}23130\%\). Hält man passende Würfel, bleibt aber starr bei der nach dem \(1.\) Wurf gewählten Zielzahl, erreicht man rund \(4{,}52941\%\). Der Wechsel zur größeren Gruppe bringt somit einen kleinen zusätzlichen Vorteil. Egal ob mathematische Strategie oder pures Bauchgefühl: Kniffel ist ein zeitloses, kurzweiliges und vor allem unterhaltsames Gesellschaftsspiel.