Парадокс Сімпсона - одне з легко зрозумілих і водночас дивовижних явищ у статистиці. Це відбувається, коли групи даних демонструють певну тенденцію, але ця тенденція змінюється, коли групи об'єднуються. За допомогою простого прикладу парадокс можна зрозуміти відразу.
Ми розглядаємо два непересічні набори \(\#1\) та \(\#2\) , а також \(G = \#1 \cup \#2\) і перевіряємо рівень успіху \(A\) і в межах цих наборів \(B\):
| \(A\) | \(B\) | \(win\) | |
| \(\#1\) | \(\frac{1}{1}=100\%\) | \(\frac{3}{4}=75\%\) | \(A\) |
| \(\#2\) | \(\frac{2}{5}=40\%\) | \(\frac{1}{3}=33\%\) | \(A\) |
| \(\#1 \cup \#2\) | \(\frac{3}{6}=50\%\) | \(\frac{4}{7}=57\%\) | \(B\) |
Виявляється, \(A\) успішніше, ніж \(B\) в \(\#1\) , а також \(\#2\) \(B\) , але дивно в \(G\) \(B\) успішнішим за \(A\) . Цей приклад також є одним із найменших наборів \(G\) з \(|G|=13\) . Немає \(G\) з \(|G|<13\) (доведення грубою силою).
Тепер ми розділяємо набір \(G\) замість \(2\) на \(3\) неперервні підмножини \(\#1, \, \#2, \, \#3\) з \(\#1 \cup \#2 \cup \#3 = G\) . Потім побудуємо захоплюючий випадок, що для кожного елемента \(e_k \neq \emptyset\) набору потужностей \(P(G)\) з \(G\) застосовується наступне: $$\forall e_1, e_2 \in P(G): |e_1| \neq |e_2| \Rightarrow win(e_1) \neq win(e_2) \land |e_1| = |e_2| \Rightarrow win(e_1) = win(e_2)$$ $$\forall e_1, e_2 \in P(G): |e_1| \neq |e_2| \Rightarrow win(e_1) \neq win(e_2) \land |e_1| = |e_2| \Rightarrow win(e_1) = win(e_2)$$
Після кількох годин грубої сили на стандартному Core i7 можна знайти наступний приклад:
| \(A\) | \(B\) | \(C\) | \(win\) | |
| \(\#1\) | \(\frac{6}{7}=85,71\%\) | \(\frac{12}{15}=80,00\%\) | \(\frac{22}{37}=59,46\%\) | \(A\) |
| \(\#2\) | \(\frac{95}{167}=56,89\%\) | \(\frac{48}{88}=54,55\%\) | \(\frac{38}{67}=56,72\%\) | \(A\) |
| \(\#3\) | \(\frac{48}{144}=33,33\%\) | \(\frac{16}{50}=32,00\%\) | \(\frac{2}{20}=10,00\%\) | \(A\) |
| \(\#1 \cup \#2\) | \(\frac{101}{174}=58,05\%\) | \(\frac{60}{103}=58,25\%\) | \(\frac{60}{104}=57,69\%\) | \(B\) |
| \(\#1 \cup \#3\) | \(\frac{54}{151}=35,76\%\) | \(\frac{28}{65}=43,08\%\) | \(\frac{24}{57}=42,11\%\) | \(B\) |
| \(\#2 \cup \#3\) | \(\frac{143}{311}=45,98\%\) | \(\frac{64}{138}=46,38\%\) | \(\frac{40}{87}=45,98\%\) | \(B\) |
| \(\#1 \cup \#2\cup \#3\) | \(\frac{149}{318}=46,86\%\) | \(\frac{76}{153}=49,67\%\) | \(\frac{62}{124}=50,00\%\) | \(C\) |
Таким чином (припускаючи довільно тривалий обчислювальний час) можна знайти приклади неперервних підмножин \(n\) з однаковою поведінкою. Коли такі випадки трапляються насправді, будь-які висновки, що ґрунтуються на рекомендаціях щодо успіху групи, є і розумними, і безглуздими.
На цьому етапі ми рекомендуємо захоплююче читання « Причинність: моделі, міркування та умовивід» Юдеї Перл .