مفارقة سيمبسون

مفارقة سيمبسون هي واحدة من الظواهر التي يمكن فهمها بسهولة وفي نفس الوقت مذهلة في الإحصاء. يحدث ذلك عندما تُظهر مجموعات البيانات اتجاهًا معينًا ، ولكن يتم عكس هذا الاتجاه عندما يتم دمج المجموعات. بمساعدة مثال بسيط ، يمكن فهم التناقض على الفور.


نحن نعتبر المجموعتين المنفصلتين \(\#1\) و \(\#2\) وكذلك \(G = \#1 \cup \#2\) ونختبر معدل نجاح \(A\) وضمن هذه المجموعات \(B\):

\(A\)\(B\)\(win\)
\(\#1\)\(\frac{1}{1}=100\%\)\(\frac{3}{4}=75\%\)\(A\)
\(\#2\)\(\frac{2}{5}=40\%\)\(\frac{1}{3}=33\%\)\(A\)
\(\#1 \cup \#2\)\(\frac{3}{6}=50\%\)\(\frac{4}{7}=57\%\)\(B\)

اتضح أن \(A\) أكثر نجاحًا من \(B\) في \(\#1\) وكذلك \(\#2\) \(B\) ، ولكن بشكل مفاجئ في \(G\) \(B\) أكثر نجاحًا من \(A\) . هذا المثال هو أيضًا واحد من هؤلاء الذين لديهم أصغر مجموعة \(G\) مع \(|G|=13\) . لا يوجد \(G\) مع \(|G|<13\) (دليل بالقوة الغاشمة).

نقسم الآن المجموعة \(G\) بدلاً من \(2\) إلى \(3\) مجموعات فرعية منفصلة \(\#1, \, \#2, \, \#3\) مع \(\#1 \cup \#2 \cup \#3 = G\) . ثم نبني الحالة المثيرة التي \(e_k \neq \emptyset\) على كل عنصر \(e_k \neq \emptyset\) مجموعة الطاقة \(P(G)\) من \(G\) : $$\forall e_1, e_2 \in P(G): |e_1| \neq |e_2| \Rightarrow win(e_1) \neq win(e_2) \land |e_1| = |e_2| \Rightarrow win(e_1) = win(e_2)$$ $$\forall e_1, e_2 \in P(G): |e_1| \neq |e_2| \Rightarrow win(e_1) \neq win(e_2) \land |e_1| = |e_2| \Rightarrow win(e_1) = win(e_2)$$

بعد بضع ساعات من القوة الغاشمة على Core i7 القياسي ، يمكن العثور على المثال التالي:

\(A\)\(B\)\(C\)\(win\)
\(\#1\)\(\frac{6}{7}=85,71\%\)\(\frac{12}{15}=80,00\%\) \(\frac{22}{37}=59,46\%\) \(A\)
\(\#2\)\(\frac{95}{167}=56,89\%\) \(\frac{48}{88}=54,55\%\) \(\frac{38}{67}=56,72\%\) \(A\)
\(\#3\)\(\frac{48}{144}=33,33\%\) \(\frac{16}{50}=32,00\%\) \(\frac{2}{20}=10,00\%\) \(A\)
\(\#1 \cup \#2\)\(\frac{101}{174}=58,05\%\) \(\frac{60}{103}=58,25\%\) \(\frac{60}{104}=57,69\%\) \(B\)
\(\#1 \cup \#3\)\(\frac{54}{151}=35,76\%\) \(\frac{28}{65}=43,08\%\) \(\frac{24}{57}=42,11\%\) \(B\)
\(\#2 \cup \#3\)\(\frac{143}{311}=45,98\%\) \(\frac{64}{138}=46,38\%\) \(\frac{40}{87}=45,98\%\) \(B\)
\(\#1 \cup \#2\cup \#3\)\(\frac{149}{318}=46,86\%\) \(\frac{76}{153}=49,67\%\) \(\frac{62}{124}=50,00\%\) \(C\)

وبالتالي (بافتراض وقت الحوسبة الطويل بشكل تعسفي) يمكن العثور على أمثلة \(n\) مجموعات فرعية منفصلة لها نفس السلوك. إذا حدثت مثل هذه الحالات في الواقع ، فإن أي استنتاجات بشأن توصية نجاح المجموعة تكون معقولة ولا طائل من ورائها.

في هذه المرحلة ، نوصي أيضًا بقراءة مثيرة للسببية: النماذج والاستدلال والاستدلال بواسطة Judea Pearl .

عودة