Ing taun 1961 James lan Stein nerbitake makalah Estimation with Quadratic Loss . Njupuk data sing disebarake normal kanthi rata-rata \(\mu\) lan varians \(1\) sing ora dingerteni. Yen saiki sampeyan milih nilai acak \(x\) saka data iki lan kudu ngira rata-rata \(\mu\) adhedhasar iki, kanthi intuisi \(x\) minangka perkiraan sing cukup kanggo \(\mu\) (amarga ana distribusi normal, sing dipilih kanthi acak \(x\) mbokmenawa cedhak \(\mu\) ).
Saiki baleni eksperimen - wektu iki nganggo telung set data sing disebarake kanthi normal, saben duwe varians \(1\) lan nilai rata-rata \(\mu_1\) , \(\mu_2\) , \(\mu_3\) . Sawise entuk telung nilai acak \(x_1\) , \(x_2\) lan \(x_3\) , taksiran (nggunakake prosedur sing padha) \(\mu_1=x_1\) , \(\mu_2=x_2\) lan \(\mu_3=x_3\) .
Asil ngageti James lan Stein iku ana ngira luwih apik kanggo \( \left( \mu_1, \mu_2, \mu_3 \right) \) (i.e. kombinasi saka telung set data sawijining) saka \( \left( x_1, x_2, x_3 \right) \) . "James Stein estimator" banjur::
$$ \begin{pmatrix}\mu_1\\\mu_2\\\mu_3\end{pmatrix} = \left( 1-\frac{1}{x_1^2+x_2^2+x_3^2} \right) \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} $$
Panyimpangan kuadrat rata-rata saka estimator iki banjur luwih cilik tinimbang sisihan kuadrat rata-rata \( E \left[ \left|| X - \mu \right||^2 \right] \) saka estimator biasa.
Iku ngageti lan mbok menawa paradoks sing estimator James-Stein mindhah estimator biasanipun (kanthi faktor shrinking) menyang asal lan kanthi mangkono menehi asil sing luwih apik ing mayoritas kasus. Iki ditrapake kanggo dimensi \( \geq 3 \) , nanging ora ing kasus rong dimensi.
Panjelasan geometris sing apik kenapa karya iki diwenehake dening Brown & Zao . Elinga yen iki ora ateges sampeyan duwe perkiraan sing luwih apik kanggo saben set data - sampeyan mung duwe perkiraan sing luwih apik kanthi resiko gabungan sing luwih cilik.