در سال 1961 جیمز و استین مقاله برآورد با از دست دادن درجه دوم را منتشر کردند. داده های توزیع شده عادی را با میانگین ناشناخته \(\mu\) و واریانس \(1\) بگیرید. اگر اکنون یک مقدار تصادفی \(x\) از این داده ها انتخاب کنید و باید میانگین \(\mu\) را بر اساس آن تخمین بزنید، به طور شهودی \(x\) یک تخمین معقول برای \(\mu\) است. (از آنجایی که توزیع نرمال وجود دارد، انتخاب تصادفی \(x\) احتمالا نزدیک به \(\mu\) است).
اکنون آزمایش تکرار میشود - این بار با سه مجموعه داده مستقل با توزیع نرمال، هر کدام با واریانس \(1\) و میانگین \(\mu_1\) ، \(\mu_2\) و \(\mu_3\) . پس از به دست آوردن سه مقدار تصادفی \(x_1\) ، \(x_2\) و \(x_3\) ، \(\mu_1=x_1\) \(\mu_2=x_2\) \(\mu_3=x_3\) (با استفاده از همان رویه) تخمین زده میشوند.
نتیجه شگفتانگیز جیمز و استین این است که تخمین بهتری برای \( \left( \mu_1, \mu_2, \mu_3 \right) \) (یعنی ترکیبی از سه مجموعه داده مستقل) نسبت به \( \left( x_1, x_2, x_3 \right) \) دارد. سپس "برآورنده جیمز استاین" این است::
$$ \begin{pmatrix}\mu_1\\\mu_2\\\mu_3\end{pmatrix} = \left( 1-\frac{1}{x_1^2+x_2^2+x_3^2} \right) \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} $$
میانگین انحراف مربع این برآوردگر همیشه کوچکتر از میانگین مربع انحراف \( E \left[ \left|| X - \mu \right||^2 \right] \) برآوردگر معمولی است.
تعجب آور و شاید متناقض است که برآوردگر جیمز-استاین تخمینگر معمولی را (با یک عامل کوچک کننده) به سمت مبدأ تغییر می دهد و بنابراین در اکثر موارد نتیجه بهتری می دهد. این در مورد ابعاد \( \geq 3 \) صدق می کند، اما در مورد دو بعدی نه.
توضیح هندسی خوبی در مورد چرایی این کار توسط Brown & Zao ارائه شده است. توجه داشته باشید که این بدان معنا نیست که شما تخمین بهتری برای هر مجموعه داده دارید - فقط تخمین بهتری با ریسک ترکیبی کمتر دارید.