Numerus IBAN Germanicus constat ex codice patriae (DE), cifra verificationis duarum digitorum (secundum ISO 7064 ), codice argentario (8 digitis), et numero rationis (incluso numero subrationis, 10 digitis, digitis desubitis zeris anterioribus interpositis), ita ut 22 characteres longus sit. Ad cifram verificationis computandam, series primum formatur ex BBAN (codice argentario et numero rationis), codice patriae numerico \(1314\) pro Germania, et cifra verificationis \(00\) .
Exempli gratia, codex argentarius 21050170 et numerus rationis 12345678 numerum BBAN 210501700012345678 praebent. Hoc cum codice patriae et digito verificationis 00 extendendo, invenitur \(x = 210501700012345678131400\) , ubi digitus verificationis nunc est: \(98 - (x \mod 97)\) . Divisio per \(97\) non est accidentalis. Cum maximus numerus primus duarum digitorum possibilis sit, errores, ut digitos transpositos, maxima probabilitate detegit. Nunc observationes sequentes demonstrabimus.:
- Vnum digitum validi IBAN mutans in IBAN in irritum proveniet.
- IBAN validi duo variati digiti validi in IBAN consequuntur possunt.
- Si duae diversae positiones validi IBAN mutentur, invalidus IBAN creatus est.
- Si duo validi IBAN bis permutantur, validum IBAN evenire potest.
Sit $$A = DE P_1 P_2 N_1 N_2 N_3 N_4 N_5 N_6 N_7 N_8 N_9 N_{10} N_{11} N_{12} N_{13} N_{14} N_{15} N_{16} N_{17} N_{18}$$ validum IBAN.
Deinde $$A_B = N_1 N_2 N_3 N_4 N_5 N_6 N_7 N_8 N_9 N_{10} N_{11} N_{12} N_{13} N_{14} N_{15} N_{16} N_{17} N_{18} 131400$$ associata BBAN (extracta cum codice rustico innumeri-coded DE et perscriptio digiti \(00\) ).
- Mutare nunc \(N_k\), is \(A_B^* = A_B + l \cdot 10^{24-k}\) cum \(1 \leq k \leq 18\) et \((-1) \cdot N_k \leq l \leq 9-N_k \wedge l \neq 0\). Cum \( P = 98 - (A_B \mod 97) \) sed est \(P^* = 98 - \left((A_B + l \cdot 10^{24-k}) \mod 97\right) \). Vulgo est \( a \equiv a' \mod m, b \equiv b' \mod m \): \(a + b \equiv a' + b' \mod m\). Cum \(A_B \equiv R_1 \mod 97\) et \(l \cdot 10^{24-k} \equiv R_2 \mod 97\) is \( (A_B + l \cdot 10^{24-k}) \equiv R_1 + R_2 \mod 97 \). Nunc autem est \( 0 < R_2 < 97 \) et sic \( P^* = 98 - (R_1+R_2) \neq 98 - R_1 = P \) et ideo \( P_1 \neq P_1^* \vee P_2 \neq P_2^* \). Hoc relinquit unum tantum digiti mutationem possibilem e \( P \) to \( P^* \neq P \). Hic autem \( N_k \) immota manet, et checksum est creatus \( P \neq P^* \).
- Hae duae IBAN validae sunt:
$$\begin{align} A_1 = DE89207300\boldsymbol{\color{red}01}0012345674 \\ A_2 = DE89207300\boldsymbol{\color{red}98}0012345674 \end{align}$$ Hic, utimur eo quod duas notas adiacentes in \(A_1\) per \(97\) auximus. Praeterea, IBAN non solum formaliter valet, sed etiam subiacentes codices argentarii 20730001 et 20730098 re vera existunt. - Primum conamur, \( N_{k_1} \) et \( N_{k_2} \) ad permuto. primum is \( P = 98 - (A_B \mod 97) \) quod \(P^* = 98 - \left((A_B + l \cdot 10^{24-k_1} - l \cdot 10^{24-k_2}) \mod 97\right) \) cum \(l = N_{k_2} - N_{k_1}\) et \(1 \leq k_1, k_2 \leq 18\). Nunc est propter
$$\begin{array} {|c|c|} \hline k & R = 10^{24-k} \mod 97 \\ \hline 1 & 56 \\ \hline 2 & 25 \\ \hline 3 & 51 \\ \hline 4 & 73 \\ \hline 5 & 17 \\ \hline 6 & 89 \\ \hline 7 & 38 \\ \hline 8 & 62 \\ \hline 9 & 45 \\ \hline 10 & 53 \\ \hline 11 & 15 \\ \hline 12 & 50 \\ \hline 13 & 5 \\ \hline 14 & 49 \\ \hline 15 & 34 \\ \hline 16 & 81 \\ \hline 17 & 76 \\ \hline 18 & 27 \\ \hline \end{array}$$
\( \forall k_1 \neq k_2 \in \left\{ 1, \ldots, 18 \right\} : R_{k_1} \neq R_{k_2}\). Sic est \( P \neq P^* \). Restat igitur ut sedatus sit \(P_n\) et \(N_k\) cum \( 1 \leq n \leq 2 \) et \( 1 \leq k \leq 18 \) artium. Sit be \(P = 98 - (A_B \mod 97)), (R_1 = (A_B \mod 97)\), \(P^* = 98 - (A_B + (l \cdot 10^{24-k}) \mod 97)\), \(R_2 = (A_B + (l \cdot 10^{24-k}) \mod 97)\). Cum autem \(A_B\) circum \(l \cdot 10^{24-k}\) debemus mutare \(P_1\) or * \(P_2\) circum \(-l\), sic \(P\) circum \(-10^m l\) cum \(m \in \{0,1\}\) mutatio: tum est \(P^* = 98 - R_2\) sed etiam \(P^* = P - 10^m l = 98 - R_1 - 10^m l\), consequenter \(R_2 = R_1 + 10^m l,\) et sic
$$((A_B \mod 97) + (l \cdot 10^{24-k} \mod 97)) \mod 97 = (A_B \mod 97) + 10^m l$$ Haec autem aequatio numquam impletur, ut sequens scriptum ostendit:See the Pen IBAN FORMULA CHECK by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.
Hoc relinquit nisi possibilis commutatio \(P_1\) et \(P_2\). Hic autem \( N_k \) immota manet, et checksum est creatus \( P \neq P^* \). - IBANs duo sequentes validi sunt:
$$\begin{align*}A_1 = DE\boldsymbol{\color{red}8}\boldsymbol{\color{green}3}20220800\boldsymbol{\color{red}1}000000\boldsymbol{\color{green}0}00 \\ A_2 = DE\boldsymbol{\color{red}1}\boldsymbol{\color{green}0}20220800\boldsymbol{\color{red}8}000000\boldsymbol{\color{green}3}00\end{align*}$$ Hic quoque, BIC 20220800 actu est.