L'IBAN tedesco è composto dal codice paese (DE), da una cifra di controllo a due cifre (secondo lo standard ISO 7064 ), dal codice bancario (8 cifre) e dal numero di conto (incluso il numero del sottoconto, 10 cifre, con le cifre mancanti riempite con zeri iniziali), per una lunghezza totale di 22 caratteri. Per calcolare la cifra di controllo, si forma innanzitutto una sequenza a partire dal cosiddetto BBAN (codice bancario e numero di conto), dal codice numerico del paese \(1314\) per la Germania e dalla cifra di controllo \(00\) .
Ad esempio, il codice bancario 21050170 e il numero di conto 12345678 producono il BBAN 210501700012345678. Estendendo questo con il codice paese e la cifra di controllo 00 si ottiene \(x = 210501700012345678131400\) , dove la cifra di controllo è ora: \(98 - (x \mod 97)\) . La divisione per \(97\) non è casuale. Essendo il più grande numero primo possibile a due cifre, rileva errori come le cifre invertite con la massima probabilità possibile. Ora mostreremo le seguenti osservazioni.:
- La modifica di una cifra di un IBAN valido risulterà in un IBAN non valido.
- La modifica di due cifre diverse di un IBAN valido può risultare in un IBAN valido.
- Se si scambiano due diverse posizioni di un IBAN valido, viene creato un IBAN non valido.
- Se si scambiano due diverse posizioni di un IBAN valido due volte, può risultare un IBAN valido.
Sia $$A = DE P_1 P_2 N_1 N_2 N_3 N_4 N_5 N_6 N_7 N_8 N_9 N_{10} N_{11} N_{12} N_{13} N_{14} N_{15} N_{16} N_{17} N_{18}$$ un IBAN valido.
Allora $$A_B = N_1 N_2 N_3 N_4 N_5 N_6 N_7 N_8 N_9 N_{10} N_{11} N_{12} N_{13} N_{14} N_{15} N_{16} N_{17} N_{18} 131400$$ il BBAN associato (esteso con il prefisso numerico del paese DE e la cifra di controllo \(00\) ).
- Cambia ora \(N_k\), è \(A_B^* = A_B + l \cdot 10^{24-k}\) insieme a \(1 \leq k \leq 18\) e \((-1) \cdot N_k \leq l \leq 9-N_k \wedge l \neq 0\). Insieme a \( P = 98 - (A_B \mod 97) \) ma è \(P^* = 98 - \left((A_B + l \cdot 10^{24-k}) \mod 97\right) \). Generalmente si applica a \( a \equiv a' \mod m, b \equiv b' \mod m \): \(a + b \equiv a' + b' \mod m\). Insieme a \(A_B \equiv R_1 \mod 97\) e \(l \cdot 10^{24-k} \equiv R_2 \mod 97\) è \( (A_B + l \cdot 10^{24-k}) \equiv R_1 + R_2 \mod 97 \). Ma ora lo è \( 0 < R_2 < 97 \) e quindi \( P^* = 98 - (R_1+R_2) \neq 98 - R_1 = P \) e quindi \( P_1 \neq P_1^* \vee P_2 \neq P_2^* \). Ciò lascia solo una possibile modifica di una cifra da \( P \) a \( P^* \neq P \). Qui ma \( N_k \) rimane invariato, viene creato il checksum \( P \neq P^* \).
- I seguenti due IBAN sono validi:
$$\begin{align} A_1 = DE89207300\boldsymbol{\color{red}01}0012345674 \\ A_2 = DE89207300\boldsymbol{\color{red}98}0012345674 \end{align}$$ Qui, sfruttiamo il fatto che abbiamo incrementato due cifre adiacenti in \(A_1\) di \(97\) . Inoltre, l'IBAN non è solo formalmente valido, ma i codici bancari sottostanti 20730001 e 20730098 esistono effettivamente. - Proviamo prima, \( N_{k_1} \) e \( N_{k_2} \) scambiare. Il primo è \( P = 98 - (A_B \mod 97) \) come \(P^* = 98 - \left((A_B + l \cdot 10^{24-k_1} - l \cdot 10^{24-k_2}) \mod 97\right) \) insieme a \(l = N_{k_2} - N_{k_1}\) e \(1 \leq k_1, k_2 \leq 18\). Ora è a causa di
$$\begin{array} {|c|c|} \hline k & R = 10^{24-k} \mod 97 \\ \hline 1 & 56 \\ \hline 2 & 25 \\ \hline 3 & 51 \\ \hline 4 & 73 \\ \hline 5 & 17 \\ \hline 6 & 89 \\ \hline 7 & 38 \\ \hline 8 & 62 \\ \hline 9 & 45 \\ \hline 10 & 53 \\ \hline 11 & 15 \\ \hline 12 & 50 \\ \hline 13 & 5 \\ \hline 14 & 49 \\ \hline 15 & 34 \\ \hline 16 & 81 \\ \hline 17 & 76 \\ \hline 18 & 27 \\ \hline \end{array}$$
\( \forall k_1 \neq k_2 \in \left\{ 1, \ldots, 18 \right\} : R_{k_1} \neq R_{k_2}\). Così è \( P \neq P^* \). Quindi resta da verificare \(P_n\) e \(N_k\) insieme a \( 1 \leq n \leq 2 \) e \( 1 \leq k \leq 18 \) commerci. Forse \(P = 98 - (A_B \mod 97)), (R_1 = (A_B \mod 97)\), \(P^* = 98 - (A_B + (l \cdot 10^{24-k}) \mod 97)\), \(R_2 = (A_B + (l \cdot 10^{24-k}) \mod 97)\). Da quando noi \(A_B\) intorno a \(l \cdot 10^{24-k}\) dobbiamo cambiare \(P_1\) o \(P_2\) intorno a \(-l\), Così \(P\) intorno a \(-10^m l\) insieme a \(m \in \{0,1\}\) cambia: allora è \(P^* = 98 - R_2\) ma anche \(P^* = P - 10^m l = 98 - R_1 - 10^m l\), di conseguenza \(R_2 = R_1 + 10^m l,\) e quindi
$$((A_B \mod 97) + (l \cdot 10^{24-k} \mod 97)) \mod 97 = (A_B \mod 97) + 10^m l$$ Tuttavia, questa equazione non viene mai soddisfatta, come mostra il seguente script:See the Pen IBAN FORMULA CHECK by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.
Questo lascia solo un possibile scambio di \(P_1\) e \(P_2\). Qui ma \( N_k \) rimane invariato, viene creato il checksum \( P \neq P^* \). - Sono validi i seguenti due IBAN:
$$\begin{align*}A_1 = DE\boldsymbol{\color{red}8}\boldsymbol{\color{green}3}20220800\boldsymbol{\color{red}1}000000\boldsymbol{\color{green}0}00 \\ A_2 = DE\boldsymbol{\color{red}1}\boldsymbol{\color{green}0}20220800\boldsymbol{\color{red}8}000000\boldsymbol{\color{green}3}00\end{align*}$$ Anche qui il BIC 20220800 esiste effettivamente.