Tantumne amittis in Tetris, quia non bene ludere aut erras? Etiam quantum temporis ad cogitandum de eo, iniquus ordo lapidum salvari non potest. Causa decretoria est quinque vicos angustos et numerus impar. Consideramus campum ludentem cum columnis et ordinibus \(10\) \(20\) sine clipboard: quilibet novus lapis trahitur independenter et aequaliter a septem tetraminois distributus. Unaquaeque figura constat ex quattuor quadratis connexis. Tota res praecognita esse potest.
Quod lusus fere certos terminos non significat omnem ordinem lapidum intelligibilem desinere. Purus series o lapidum sine fine ludificari potest: quadrata quadrata quinque inter se posita, duos ordines dele et tabulam vacuam. In 7-Bac, uterque sacculus passim mixtus continet omnes septem figuras prorsus semel; Ad hoc non pertinet ratio fortuita. In Tetris amittere, Heidi Burgiel consequentiam ostendit quod etiam perfecta fabula non adiuvat: \(S,Z,S,Z,\ldots\) .
Imagines speculi S et Z sunt, non variae conversiones eiusdem lapidis. Haec explicatio comitans describit notionem geometricam quam hic exhibemus ut probationem contradictionis. Patet quod affirmant "in aliquo puncto tantum Z lapides apparent et nullus ordo cum illis evanescit" falsum est. Sicut quinque identificantur, perpendiculariter positi S-lapides hanc dispositionem in tabula initio vacuam praebent. Eaedem litterae eundem lapidem indicant; Dots mark liberum spatia:
a.b.c.d.e.
aabbccddee
.a.b.c.d.eMedius ordo completus et deletus est. Si dispositionem inspicias, idem instantia pro Z-lapidibus habebis. Quaestio non singulis ordinibus deletis, sed quaestio utrum omnes iniquitates quae per immensos lapides oriuntur cohibere possis. Numeras columnas ab \(1\) ad \(10\) . Per \(b_i\) numerum designamus omnium cellularum novarum in columna \(i\) positarum, in iis quae postea deletae sunt.
\(h_i\) computat lapides horizontales S vel Z cum columna media \(i\) , \(v_i\) in columnis \(i\) et \(i+1\) . Calculi curriculum ludi, non solum acervus praesens visibile. Lapis horizontalis cellulas suas distribuit in ratione \(1,2,1\) super columnas tres, lapis verticalis in ratione \(2,2\) in duabus columnis. Ambae imagines speculorum eiusdem columnae statera sunt. Si has contributiones per omnia loca addideris, singulas columnas habes:
$$b_i=2v_{i-1}+2v_i+h_{i-1}+2h_i+h_{i+1}.$$
Extra tabulam omnes calculi ad \(0\) constituimus ; praesertim \(v_0=v_{10}=h_0=h_1=h_{10}=h_{11}=0\) . Hoc in ore placitum prohibet libram computare lapides qui ultra oram ludentis campi protenduntur. Haec loca in nostro exemplari admissa non sunt. Si series S/Z in tabula iam repleta consideretur, sit \(a_i\) cellulae initio occupatae et \(c_i\) cellulae in columna nunc occupatae \(i\) . Post \(R\) delevit ordines is:
$$c_i=a_i+b_i-R,$$
$$b_i-b_j=(c_i-c_j)-(a_i-a_j).$$
Quamdiu ludus currit, omnes \(a_i,c_i\) sunt inter \(0\) et \(20\) . \(|b_i-b_j|\leq40\) applicabile est. Si tabula initio vacua est \(20\) satis est. Uterque ordo delevit cellam ab unaquaque columna prorsus aufert. Quam ob rem numerus ordinum deletorum minuitur cum binis columnis comparet, etiamsi calculis cellularum statutorum crescant. Cellas pro ACERVUS altis numeres occupatas; Duae magnitudines differunt cum ad foramina fit. Si hunc modum plerumque ut \(D\) , oritur in margine sinistro vel dextro:
$$2v_2+h_2+h_3=b_2-b_1\leq D,$$
$$2v_8+h_8+h_9=b_9-b_{10}\leq D.$$
Nam paria columnae internae addimus duas differentias columnae restrictas: \(b_4-b_3\) et \(b_2-b_1\) ad sinistram, \(b_7-b_8\) et \(b_9-b_{10}\) a dextra. Post staterae columnae inserentes, calculi inter se prorsus elidunt. Haec folia tantum contributiones non-negativas in utraque parte sinistra, quae ab \(2D\) coniunctim finiuntur. Hoc quoque modum nobis dat superiorem pro collocatione numeri ad duo interiora paria:
$$\begin{aligned}2v_4+h_4+h_5&=(b_4-b_3)+(b_2-b_1)\\&\leq2D,\\2v_6+h_6+h_7&=(b_7-b_8)+(b_9-b_{10})\\&\leq2D.\end{aligned}$$
Si quatuor inaequalitates addidimus, quilibet lapis horizontalis semel exacte numeratur. Quattuor genera collocationum transversirum verticalium etiam coefficientes positivum habent. Lapides horizontales tres columnas capiunt ideoque in unam columnarum semitis posterioribus consideratis omnino non conveniunt. Pro lapidibus verticalibus vestigia secundum columnam sinistram distinguimus. Cum omnes calculi non sint negativi, nulla harum contributionum ab alio cassari potest:
$$\sum_{i=2}^{9}h_i+2(v_2+v_4+v_6+v_8)\leq6D.$$
Loca horizontalia et loca verticalia cum columna sinistra recta fieri possunt ergo maximum temporum \(120\) \(240\) in tabula vacua vel in qualibet tabula pre-plena. Is superior est, non quod actu obtineri potest. Quoquo in casu, haec mobilia tergiversatio infinities saepe adhiberi non potest. Nunc sumamus te posse in infinitum alternam seriem agere.
Post ultimum numerum finitorum tergiversationis movebitur, loca verticalia tantum in quinque saxis fixis possibilia sunt: \((1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10)\) . Figurae identicae in se invicem conveniunt in exemplo vitrico simili: imo obviat superiori lapidis cacumine congruens. Mutans ab S in Z vel vice versa relinquit unam cellulam latam et duas cellulas interstitium altum. Singula demonstrant Z lapidem supra S lapidem; et "o" gap nota:
.Z
ZZ
Zo
So
SS
.SAlius lapis verticalis in eodem vico hoc lacunam explere non potest: secunda eius columna cum vicinis cellis occupatis collidebat. Ordines delendi non adiuvat tam diu hiatus aperta est, quia ambo ordines non sunt integri. Reparatio requirit unum e transversis tramitibus vel planis horizontalibus iam exclusis. Post ultimam tergiversationem movent, hiatus tales permanent. Infinitae novae, disiunctionis hiatus in tabula finita oriri non possunt.
Quam ob rem non nisi finitus numerus mutationum formarum in vestigiis esse potest. Initio lane vacuus hoc non mutat: primum tuum S vel Z lapidem iam unum columnae intervallum in tabulato relinquit, quod ab ulteriore ludo lane puro claudi non potest. In ludo velut infinito, singulae lane etiam infinitas lapides tenere debent. Si venella in aliquo puncto intacta maneret, tantum numerorum finitorum cellularum in reliquis vicis ob stateram columnae limitatam accommodari posset.
Venimus igitur ad punctum temporis, in quo omnes quinque vicos perpetuo tenent et ad formam firmiter deputantur. Ex hoc loco plures lapides numeramus \(t\) et cum \(n_j(t)\) numerum in vestigio \(j\) . Singuli lapides confert duas cellulas ad singulas columnas vestigio. Quoniam versu deletiones omnes columnas aequaliter tractant, differentiae \(n_j(t)-n_k(t)\) limitatae manent. In longo termino omnes quinque lanei debent tenere quintam partem lapidum:
$$\frac{n_j(t)}{t}\longrightarrow\frac15.$$
Si \(k\) quinque vicos pro S-lapidibus reservantur, eorum participes esse debet circa \(k/5\) . In alterna vero serie est \(1/2\) : in singulis praepositionibus numeri lapidum S et Z maxime \(1\) differunt. Vicorum divisio utramque partem simul impleret. Sed dimidia pars summa quintarum totius repraesentari non potest. Inde est, ubi frequentia alternarum formarum et impar numerus aeque vestigiorum usus concurrit. Quod sit amet:
$$\frac{k}{5}=\frac12\quad\Longrightarrow\quad k=\frac52.$$
Vicorum numerus integer est. Contradictio ista finit suppositionem ludi infiniti. Argumentum etiam ostendit quare tabula latitudinis est pars eius: Cum quattuor impedimenta divisio in duo S et duo impedimenta Z per hanc contradictionem non excludantur. Ad probationem temere finitam longitudinis \(N\) opus est quae ad iacturam neglegens tabulae hodiernae ducit. "Omne consilium in aliquo loco amittit" solus non sufficit.
Ex finitis civitatibus possibilibus sequitur uniformitas. Postquam singula locatio completa sunt, ad plus \(2^{200}\) exemplaria occupanda sunt. Indicio est etiam num S vel Z proxime appareat, i.e. maximum ex \(2^{201}\) civitatibus. Si lapides superfuissent \(N=2^{201}\) lapides, ante et post hos motus repetitio haberetur \(N+1\) . Propter tabulam identicam eandemque figuram sequentem, iuris motus intermedium iterabile erit quodlibet pluries: infinitus ludus iustus exclusus est.
Modus etiam exemplaria tabulae attingi non potest et longitudo lusus practici non praedicit. Burgiel's subtilior geometrica computatione minores terminos dat; hic \(N\) sufficit. Ad omnes licitas provincias initiales applicatur ac utriusque ordinis series S/Z. Infinitam quamlibet consequentiam corrumpamus in caudices longitudinis disiunctis \(N\) . Unusquisque clausus est prorsus determinatus ordo \(S,Z,S,Z,\ldots\) , probabiliter \(q=7^{-N}>0\) . Impedit soluta sint est. Probabile est igitur quod nullus e \(m\) stipitibus contineant hanc seriem:
$$\mathbb P(\text{kein Treffer in }m\text{ Blöcken})=(1-q)^m\longrightarrow0.$$
Ita probabiliter \(1\) scandalum mortiferum in aliquo puncto apparebit, nisi ludus ante tunc desinat. Idem valet de omni temporis quantitate ad cogitandum de ea et de plena cognitione consequentium. Hoc non sequitur in brevi temporis lusu practico, et malum initium solum non significat cladem. Sequens animatio ostendit quinque sequentia mixta prae-calculata, quarum unaquaeque tabula post novem immutata turris placements vacuam attingit. Non est universalis Tetris bot.