Kaliya ma ku khasaartay Tetris sababtoo ah uma ciyaarin si fiican ama khaladaad Xataa wakhti kasta oo aad ka fikirto, isku xigxiga aan fiicnayn ee dhagxaan lama badbaadin karo. Qodobka ugu muhiimsan waa shan haad oo cidhiidhi ah iyo tiro aan caadi ahayn. Waxaan tixgelineynaa garoon lagu ciyaaro oo leh \(10\) tiirar iyo \(20\) saf aan lahayn sabuurad (qabasho): Dhagax kasta oo cusub waxaa loo sawiraa si madax-bannaan oo si siman loo qaybiyey toddobada tetromino . Qaab kastaa wuxuu ka kooban yahay afar geesood oo isku xiran. Dhacdada oo dhan waxaa laga yaabaa in horay loo sii ogaado.
Xaqiiqda ah in ciyaartu ay si dhab ah u dhammaato macnaheedu maaha in taxane kasta oo dhagxaan la malayn karo uu dhammaado. Isku xigxiga saafiga ah ee O-stones ayaa loo ciyaari karaa si aan dhammaad lahayn: shan labajibbaaran oo la dhigo midba midka kale ayaa tirtira laba saf oo faaruqi looxa. 7-Boorsada dhexdeeda, bac kasta oo si aan kala sooc lahayn isugu qasan waxay ka kooban tahay dhammaan toddobada qaab oo isku mid ah; Doodeena fursad tani ma khusayso. Sida Looga Guulaysto Tetris, Heidi Burgiel waxa ay ku tusinaysaa isku xigxiga in xataa ciyaarta kaamilka ahi aanay caawinayn: \(S,Z,S,Z,\ldots\) .
S iyo Z waa sawirro muraayad ah, maaha wareegyo kala duwan oo isku dhagax ah. Sharaxaada la socotaa waxay qeexaysaa fikradda joomatari ee aan halkan ku soo bandhigno inay tahay caddayn is burinaysa. Sheegashada cad "mar ka mid ah oo kaliya dhagaxyada Z ayaa soo muuqda mana jiro wax saf ah oo iyaga la maqan" waa khalad. Kaliya shan isku mid ah, oo si toosan loo dhejiyay S-dhagaxaan ayaa bixiya nidaamka soo socda ee sabuurad madhan. Xaraf isku mid ah ayaa tilmaamaya isla dhagax; Dhibcuhu waxay calaamadeeyaan meelaha bannaan:
a.b.c.d.e.
aabbccddee
.a.b.c.d.eSafka dhexe waa la dhameeyay waana la tirtiray. Haddii aad muraayadda isku dubbaridayso, waxaad helaysaa tusaale la mid ah kuwa Z-stones. Dhibaatadu maaha in la tirtiro safafka gaarka ah, laakiin su'aasha ah inaad xakameyn karto dhammaan dheelitir la'aanta ka soo baxda tiro aan xadidnayn oo dhagaxyo ah. Aynu tiriyo tiirarka laga bilaabo \(1\) ilaa \(10\) . By \(b_i\) waxaynu tilmaamaynaa tirada guud ee dhammaan unugyada cusub ee lagu dhejiyay tiirka \(i\) , oo ay ku jiraan kuwa dambe ee la tirtiray.
\(h_i\) waxa ay tirisaa dhagxaan S ama Z oo siman oo leh tiir dhexe \(i\) , \(v_i\) dhagxaanta toosan ee tiirarka \(i\) iyo \(i+1\) . Xisaabiyayaashu waxay diiwaangeliyaan koorsada ciyaarta, kaliya maahan kaydka hadda muuqda. Dhagax toosan ayaa unugyadiisa u qaybiya saamiga \(1,2,1\) ee ka sarreeya saddex tiir, dhagax toosan oo saamiga \(2,2\) ku leh laba tiir. Labada sawir ee muraayaddu waxay leeyihiin isku dheelitirnaanta tiirka. Haddii aad ku darto wax ku darsigan dhammaan meelaynta, waxaad helaysaa tiir kasta:
$$b_i=2v_{i-1}+2v_i+h_{i-1}+2h_i+h_{i+1}.$$
Saxiixa bannaankiisa waxaan dhignay dhammaan xisaabiyeyaasha \(0\) ; gaar ahaan \(v_0=v_{10}=h_0=h_1=h_{10}=h_{11}=0\) . Heshiiska cidhifku wuxuu ka hortagayaa dheelitirka inuu tiriyo dhagxaanta ka baxsan cidhifka garoonka ciyaarta. Meelaynta noocaas ah lagama oggola qaabkayaga. Haddii taxanaha S/Z ee la tixgalinayo uu ka bilaabmo sabuur hore loo buuxiyey, ha noqdaan unugyadii markii hore la qabsaday iyo \(c_i\) \(a_i\) hadda la haysto ee tiirka \(i\) . Kadib \(R\) safafka la tirtiray waa:
$$c_i=a_i+b_i-R,$$
$$b_i-b_j=(c_i-c_j)-(a_i-a_j).$$
Ilaa inta ciyaartu socoto, dhammaan \(a_i,c_i\) waxay u dhexeeyaan \(0\) iyo \(20\) . Sidaa darteed \(|b_i-b_j|\leq40\) ayaa quseysa. Haddii looxa marka hore madhan yahay \(20\) ayaa ku filan. Saf kasta oo la tirtiro waxa uu si sax ah u qaadaa hal unug oo tiir kasta ah. Tani waa sababta tirada safafka la tirtiray la dhimay marka la barbardhigo laba tiir, xitaa haddii xisaabiyeyaasha unugyada la dhigay ay sii wadaan inay koraan. Waxaad tirisaa unugyo la qabsaday, halkii aad ka heli lahayd meelaha dhaadheer; Labada cabbir way kala duwan yihiin marka ay timaado godadka. Haddi aan u qorno xadkan guud ahaan sida \(D\) , waxay ku dambaynaysaa cidhifka bidix ama midig:
$$2v_2+h_2+h_3=b_2-b_1\leq D,$$
$$2v_8+h_8+h_9=b_9-b_{10}\leq D.$$
Lammaanaha tiirarka gudaha waxaan ku darnaa laba farqi oo xaddidan: \(b_4-b_3\) iyo \(b_2-b_1\) bidix, \(b_7-b_8\) iyo \(b_9-b_{10}\) dhanka midig. Ka dib marka la geliyo dheelitirka tiirka, xisaabiyeyaasha u dhexeeya midba midka kale si sax ah ayuu u tirtiraa. Tani waxay ka tagaysaa kaliya tabarucaad aan taban ahayn dhinac kasta oo bidixda ah, kuwaas oo si wadajir ah u xaddidan \(2D\) . Tani waxay sidoo kale ina siinaysaa xadka sare ee lambarada meelaynta ee labada lamaane ee gudaha ah:
$$\begin{aligned}2v_4+h_4+h_5&=(b_4-b_3)+(b_2-b_1)\\&\leq2D,\\2v_6+h_6+h_7&=(b_7-b_8)+(b_9-b_{10})\\&\leq2D.\end{aligned}$$
Haddii aan afarta sinnaan ku darno, dhagax kasta oo jiifa waxa la tiriyaa hal mar. Afarta nooc ee meelaynta toosan ee iskutallaabtu waxay sidoo kale leeyihiin isugeyn togan. Dhagaxyada jiifka ah waxay qaataan saddex tiir oo sidaas darteed si buuxda uguma habboona mid ka mid ah waddooyinka laba-tiir ee la tixgeliyey mar dambe. Dhagaxyada toosan, waxaan u kala soocnaa wadooyinka sida ku xusan tiirka bidix. Mar haddii dhammaan xisaabiyayaashu yihiin kuwo aan xumaan lahayn, wax ku darsigan midna mid kale ma burin karo:
$$\sum_{i=2}^{9}h_i+2(v_2+v_4+v_6+v_8)\leq6D.$$
Meelayn toosan iyo meelayn toosan oo leh tiir bidix oo toosan ayaa markaa ku dhici kara ugu badnaan \(120\) jeer sabuurad madhan ama \(240\) jeer sabuurad kasta oo horay loo buuxiyey. Tani waa xuduud sare, maaha sheegasho in dhab ahaantii la gaari karo. Si kastaba ha ahaatee, dhaqdhaqaaqyadan ka baxsanaya lama isticmaali karo si aan xad lahayn inta badan. Hadda aan ka soo qaadno inaad si aan xad lahayn u ciyaari karto taxanaha beddelka ah.
Ka dib marka ugu dambeysa ee tirada ugu dambeysa ee dhaqaaqa fogaanta, kaliya meelaynta toosan ee shan haad oo go'an ayaa suurtagal noqon doonta: \((1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10)\) . Qaabab isku mid ah ayaa midba midka kale ku habboon qaab tallaabo-u eg: hoose wuxuu la kulmaa dusha sare ee dhagaxii hore. Ka beddelashada S ilaa Z ama lidkeeda waxay ka tagtaa farqiga hal unug ballaaran iyo laba unug oo qoto dheer. Faahfaahinta waxay muujinaysaa Z-dhagax ka sarreeya S-dhagax; Labada "o" waxay calaamadiyaan farqiga:
.Z
ZZ
Zo
So
SS
.SDhagax kale oo toosan oo isla haad ah ma buuxin karo faraqan: tiirkiisa labaad wuxuu ku dhici doonaa unugyada la haysto ee deriska ah. Tirtiridda safafka midkoodna ma caawinayo ilaa inta farqiga u furan yahay, sababtoo ah labada saf ma dhammaystirna. Dayactirku waxa uu u baahan yahay mid ka mid ah meelaynta jid-gooyada ah ee hore looga saaray. Ka dib dhaqaaqii ugu dambeeyay ee baxsadka ah, farqiga noocan oo kale ah waa joogto. Tiro aan dhammaad lahayn oo cusub, dalool-la'aani kama soo bixi karaan sabuur kooban.
Natiijo ahaan, waxaa jiri kara oo kaliya tiro xaddidan oo isbeddel ah oo foomka ah oo ku saabsan waddooyinka. Haadka hore ee madhan waxba kama beddelo tan: dhagaxaaga S ama Z ee ugu horreeya wuxuu durba ka tagayaa faraq hal-tiir ah oo sagxadda ah oo aan lagu xidhi karin ciyaarta haadka saafiga ah. Ciyaarta loo malaynayo in aan dhammaadka lahayn, haad kastaa waa in ay haysataa tiro dhagaxyo ah oo aan dhammaad lahayn. Haddii haadku ay ahaan lahayd mid aan la taaban mar uun, tiro kooban oo unugyo ah ayaa la dejin karaa haadka soo hadhay sababtoo ah dheelitirnaanta tiirka oo xaddidan.
Markaa waxaanu gaadhnay wakhti ay dhammaan shanta haad si joogto ah u degan yihiin oo si adag loogu qoondeeyey foom. Halkaa marka ay marayso waxaan xisaabineynaa \(t\) dhagxaan badan iyo \(n_j(t)\) lambarka ku jira track \(j\) . Mid kasta oo ka mid ah dhagxaantaas waxay ku darsantaa laba unug oo tiir kasta oo raadkeeda ah. Sababtoo ah tirtirka safafka ayaa si siman ula dhaqma dhammaan tiirarka, kala duwanaanshaha \(n_j(t)-n_k(t)\) ayaa weli xaddidan. Muddada dheer, dhammaan shanta haad mid kastaaba waa inuu hayaa shan meelood meel dhagaxyada:
$$\frac{n_j(t)}{t}\longrightarrow\frac15.$$
Haddii \(k\) ee shanta haad loo qoondeeyay S-stones, qaybtoodu waa inay ahaataa agagaarka \(k/5\) . Si kastaba ha ahaatee, isku xigxiga isku xigxiga waa \(1/2\) : Horgale kasta tirooyinka S iyo Z waxay ku kala duwan yihiin ugu badnaan \(1\) . Qaybinta haadku waa inay fulisaa labada qaybood isku mar. Si kastaba ha ahaatee, qayb badhkeed looma matali karo wadarta shan meelood meel ahaan. Halkani waa halka inta jeer ee foomamka beddelka ah iyo tirada khayaaliga ah ee raadadka siman ee la isticmaalo ay isugu yimaadaan. Taasi waxay noqonaysaa qasab:
$$\frac{k}{5}=\frac12\quad\Longrightarrow\quad k=\frac52.$$
Tirada haadyadu waa iskudar. Is-diiddan waxay soo afjaraysaa malo-awaalka ciyaar aan dhammaad lahayn. Dooddu waxay sidoo kale muujinaysaa sababta ballaca boodhka uu qayb ka yahay: Iyadoo afar tareen, qaybinta laba tareen S iyo laba Z laguma xukumayo iska hor imaadkan. Caddeynta random-ka waxaan u baahannahay dherer xaddidan \(N\) taasoo horseedda khasaare iyadoon loo eegin guddiga hadda jira. "Xeelad kastaa way lumisaa mar uun" kali kuma filna.
Labbisku wuxuu ka yimaadaa tirada kama dambaysta ah ee dawladaha suurtogalka ah. Meelayn kasta oo la dhammaystiro ka dib, waxa jira ugu badnaan \(2^{200}\) habab deggenaansho. Waxa kale oo jira macluumaadka ku saabsan in S ama Z ay soo baxayaan soo socda, ie. ugu badnaan \(2^{201}\) . Haddii aad ka badbaado dhagaxyada \(N=2^{201}\) , \(N+1\) waxay sheegaysaa ka hor iyo ka dib dhaqdhaqaaqyadani waxay yeelan doonaan ku celcelin. Sababtoo ah guddiga isku midka ah iyo qaabka xiga ee isku midka ah, dhaqdhaqaaqyada sharciga ah ee u dhexeeya waxay noqon doonaan kuwo la soo celin karo marar kasta: ciyaarta aan dhammaadka lahayn waa laga saaray.
Xadku wuxuu kaloo tiriyaa qaababka looxa aan la heli karin mana saadaaliyo dhererka ciyaarta wax ku ool ah. Tirinta joomatari ee wanaagsan ee Burgiel waxa ay siinaysaa xadyo yaryar; halkan wax ku filan \(N\) ayaa ku filan. Waxay khusaysaa dhammaan hawlaha bilowga ah ee la oggol yahay iyo labada weji ee taxanaha S/Z. Aan u kala googooynno taxanaha random ee aan dhammaadka lahayn una kala googooynno baloogyo dhererkoodu kala go'ay \(N\) . Baloog kastaa waa sida saxda ah ee isku xigxiga la cayimay \(S,Z,S,Z,\ldots\) oo leh itimaalka \(q=7^{-N}>0\) . Baloogyadu waa kuwo madaxbannaan. Sidaa darteed waxay u badan tahay in mid ka mid ah baloogyada \(m\) ee ugu horreeya aysan ku jirin taxanahan:
$$\mathbb P(\text{kein Treffer in }m\text{ Blöcken})=(1-q)^m\longrightarrow0.$$
Haddaba iyadoo ixtimaalka leh \(1\) xannibaad dilaa ah ayaa soo bixi doonta mar uun, ilaa ay ciyaartu dhammaanayso ka hor. Tani waxay sidoo kale khuseysaa wakhti kasta oo aad ka fikirto iyo dhammaystirka aqoonta dhammaan taxanaha dhagxaanta. Tani ma keenayso waqti gaaban oo wax ku ool ah. Bilaw aan diirada la saarin, oo xun kaliya macnaheedu maaha guul daro; soo laabasho la yaab leh ayaa hubaal ah inay suurtogal tahay. Markaa - ha niyad jabin oo ku raaxayso ciyaarta aan wakhtiga lahayn.