আপনি কি শুধুমাত্র টেট্রিসে হেরে যান কারণ আপনি ভাল খেলতে পারেন না বা ভুল করেন না? এমনকি এটি সম্পর্কে চিন্তা করার জন্য যে কোনও সময় দিয়েও, পাথরের একটি প্রতিকূল ক্রম সংরক্ষণ করা যাবে না। নির্ধারক ফ্যাক্টর হল পাঁচটি সরু লেন এবং একটি বিজোড় সংখ্যা। আমরা ক্লিপবোর্ড (হোল্ড) ছাড়া \(10\) কলাম এবং \(20\) সারি সহ একটি খেলার ক্ষেত্র বিবেচনা করি: প্রতিটি নতুন পাথর স্বাধীনভাবে আঁকা হয় এবং সাতটি টেট্রোমিনো থেকে সমানভাবে বিতরণ করা হয়। প্রতিটি আকৃতি চারটি সংযুক্ত বর্গক্ষেত্র নিয়ে গঠিত। পুরো পর্বটা হয়তো আগেই জানা যাবে।
একটি খেলা প্রায় নিশ্চিতভাবে শেষ হওয়ার অর্থ এই নয় যে পাথরের প্রতিটি অনুমানযোগ্য ক্রম শেষ হয়ে যায়। ও-পাথরের একটি বিশুদ্ধ ক্রম অবিরামভাবে চালানো যেতে পারে: একে অপরের পাশে রাখা পাঁচটি বর্গক্ষেত্র দুটি সারি মুছে ফেলে এবং বোর্ডটি খালি করে। 7-ব্যাগে, প্রতিটি এলোমেলোভাবে মিশ্রিত ব্যাগে ঠিক একবার সব সাতটি আকার থাকে; আমাদের সুযোগ যুক্তি এটি প্রযোজ্য নয়. হাউ টু লস অ্যাট টেট্রিসে, হেইডি বার্গিয়েল এমন একটি ক্রম দেখায় যে এমনকি নিখুঁত খেলাও সাহায্য করে না: \(S,Z,S,Z,\ldots\) ।
S এবং Z হল মিরর ইমেজ, একই পাথরের বিভিন্ন ঘূর্ণন নয়। সহগামী ব্যাখ্যাটি জ্যামিতিক ধারণাকে বর্ণনা করে যা আমরা এখানে দ্বন্দ্ব দ্বারা প্রমাণ হিসাবে উপস্থাপন করছি। সুস্পষ্ট দাবি "কোনও সময়ে শুধুমাত্র Z পাথর দেখা যায় এবং তাদের সাথে কোন সারি অদৃশ্য হয় না" ভুল। মাত্র পাঁচটি অভিন্ন, উল্লম্বভাবে স্থাপন করা এস-পাথর প্রাথমিকভাবে খালি বোর্ডে নিম্নলিখিত ব্যবস্থা প্রদান করে। একই অক্ষর একই পাথর নির্দেশ করে; বিন্দু মুক্ত স্থান চিহ্নিত করে:
a.b.c.d.e.
aabbccddee
.a.b.c.d.eমাঝের সারিটি সম্পূর্ণ এবং মুছে ফেলা হয়েছে। আপনি যদি বিন্যাসকে মিরর করেন তবে আপনি জেড-স্টোনগুলির জন্য একই কাউন্টার উদাহরণ পাবেন। সমস্যাটি পৃথক সারিগুলি মুছে ফেলার নয়, তবে আপনি সীমাহীন সংখ্যক পাথর জুড়ে উদ্ভূত সমস্ত ভারসাম্যহীনতা নিয়ন্ত্রণ করতে পারবেন কিনা তা নিয়ে প্রশ্ন। \(1\) থেকে \(10\) পর্যন্ত কলাম সংখ্যা করা যাক। \(b_i\) দ্বারা আমরা \(i\) কলামে স্থাপিত সমস্ত নতুন কক্ষের মোট সংখ্যা বোঝাই, পরে মুছে ফেলা সহ।
\(h_i\) মাঝের কলাম \(i\) , \(v_i\) কলাম \(i\) এবং \(i+1\) সহ অনুভূমিক S বা Z পাথর গণনা করে। কাউন্টারগুলি গেমের কোর্স রেকর্ড করে, শুধুমাত্র বর্তমানে দৃশ্যমান স্ট্যাক নয়। একটি অনুভূমিক পাথর তার কোষগুলিকে \(1,2,1\) অনুপাতে তিনটি স্তম্ভে বিতরণ করে, একটি উল্লম্ব পাথর অনুপাতে \(2,2\) দুটি কলামে। উভয় মিরর ইমেজ একই কলাম ব্যালেন্স আছে. আপনি যদি সমস্ত প্লেসমেন্ট জুড়ে এই অবদানগুলি যোগ করেন, আপনি প্রতিটি কলামের জন্য পাবেন:
$$b_i=2v_{i-1}+2v_i+h_{i-1}+2h_i+h_{i+1}.$$
বোর্ডের বাইরে আমরা সমস্ত কাউন্টার সেট করি \(0\) ; বিশেষ করে \(v_0=v_{10}=h_0=h_1=h_{10}=h_{11}=0\) । এই প্রান্তের কনভেনশনটি ভারসাম্যকে পাথর গণনা করা থেকে বাধা দেয় যা খেলার মাঠের প্রান্তের বাইরে প্রসারিত হবে। এই ধরনের বসানো আমাদের মডেল অনুমোদিত নয়. যদি বিবেচনাধীন S/Z ক্রমটি ইতিমধ্যেই ভরাট বোর্ডে শুরু হয়, \(a_i\) প্রাথমিকভাবে দখল করা কক্ষ এবং \(c_i\) কলামে বর্তমানে দখলকৃত কক্ষ \(i\) হতে দিন। পরে \(R\) মোছা সারি হয়:
$$c_i=a_i+b_i-R,$$
$$b_i-b_j=(c_i-c_j)-(a_i-a_j).$$
যতক্ষণ গেমটি চলছে, সমস্ত \(a_i,c_i\) \(0\) এবং \(20\) এর মধ্যে রয়েছে। অতএব \(|b_i-b_j|\leq40\) প্রযোজ্য। বোর্ডটি প্রাথমিকভাবে খালি থাকলে \(20\) যথেষ্ট। প্রতিটি মুছে ফেলা সারি প্রতিটি কলাম থেকে ঠিক একটি ঘর সরিয়ে নেয়। এই কারণেই দুটি কলামের তুলনা করার সময় মুছে ফেলা সারির সংখ্যা হ্রাস পায়, এমনকি যদি সেট ঘরের কাউন্টারগুলি ক্রমাগত বাড়তে থাকে। আপনি স্ট্যাকের উচ্চতার পরিবর্তে অধিকৃত কক্ষ গণনা করেন; গর্তের ক্ষেত্রে দুটি আকার আলাদা হয়। যদি আমরা এই সীমাটিকে সাধারণত \(D\) হিসাবে লিখি তবে এটি বাম বা ডান প্রান্তে ফলাফল করে:
$$2v_2+h_2+h_3=b_2-b_1\leq D,$$
$$2v_8+h_8+h_9=b_9-b_{10}\leq D.$$
অভ্যন্তরীণ কলাম জোড়ার জন্য আমরা দুটি সীমাবদ্ধ কলাম পার্থক্য যোগ করি: \(b_4-b_3\) এবং \(b_2-b_1\) , বাম দিকে \(b_7-b_8\) এবং \(b_9-b_{10}\) ডানদিকে। কলামের ভারসাম্য সন্নিবেশ করার পরে, মাঝখানের কাউন্টারগুলি একে অপরকে ঠিকভাবে বাতিল করে দেয়। এটি প্রতিটি বাম-পাশে শুধুমাত্র অ-নেতিবাচক অবদান রেখে যায়, যা যৌথভাবে \(2D\) দ্বারা আবদ্ধ। এটি আমাদের দুটি অভ্যন্তরীণ জোড়ার জন্য সংশ্লিষ্ট প্লেসমেন্ট নম্বরগুলির জন্য একটি উচ্চ সীমা দেয়:
$$\begin{aligned}2v_4+h_4+h_5&=(b_4-b_3)+(b_2-b_1)\\&\leq2D,\\2v_6+h_6+h_7&=(b_7-b_8)+(b_9-b_{10})\\&\leq2D.\end{aligned}$$
যদি আমরা চারটি অসমতা যোগ করি, প্রতিটি অনুভূমিক পাথর ঠিক একবার গণনা করা হয়। চার ধরনের ক্রস-ট্র্যাক উল্লম্ব প্লেসমেন্টেরও ইতিবাচক সহগ রয়েছে। অনুভূমিক পাথর তিনটি স্তম্ভ নেয় এবং তাই পরবর্তীতে বিবেচিত দুই-কলামের একটি পথের মধ্যে পুরোপুরি ফিট করে না। উল্লম্ব পাথরের জন্য, আমরা বাম কলাম অনুসারে ট্র্যাকগুলিকে আলাদা করি। যেহেতু সমস্ত কাউন্টার অ-নেতিবাচক, এই অবদানগুলির একটিও অন্যের দ্বারা বাতিল করা যাবে না:
$$\sum_{i=2}^{9}h_i+2(v_2+v_4+v_6+v_8)\leq6D.$$
একটি সোজা বাম কলাম সহ অনুভূমিক বসানো এবং উল্লম্ব বসানো তাই একটি খালি বোর্ডে সর্বাধিক \(120\) বার বা যে কোনও পূর্ব-ভরা বোর্ডে \(240\) বার ঘটতে পারে। এটি একটি উচ্চ সীমা, এটি আসলে অর্জন করা যেতে পারে এমন দাবি নয়। যাই হোক না কেন, এই ফাঁকিমূলক পদক্ষেপগুলি প্রায়শই অসীমভাবে ব্যবহার করা যায় না। এখন অনুমান করা যাক যে আপনি অনির্দিষ্টকালের জন্য বিকল্প ক্রমটি খেলতে পারেন।
সীমিত সংখ্যক এভেসিভ চালের শেষের পরে, শুধুমাত্র পাঁচটি স্থির লেনে উল্লম্ব বসানো সম্ভব হবে: \((1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10)\) অভিন্ন আকার একে অপরের সাথে একটি ধাপের মতো প্যাটার্নে মাপসই করে: নীচের অংশটি পূর্ববর্তী পাথরের উপরের অংশের সাথে মিলিত হয়। S থেকে Z তে পরিবর্তন করলে বা এর বিপরীতে এক কোষ প্রশস্ত এবং দুটি কোষ গভীরে একটি ফাঁক থাকে। বিস্তারিত একটি S-পাথরের উপর একটি Z-স্টোন দেখায়; উভয় "o" ফাঁক চিহ্নিত করুন:
.Z
ZZ
Zo
So
SS
.Sএকই লেনের আরেকটি উল্লম্ব পাথর এই ফাঁক পূরণ করতে পারে না: এর দ্বিতীয় কলামটি প্রতিবেশী দখলকৃত কক্ষের সাথে সংঘর্ষ করবে। ব্যবধান খোলা থাকা পর্যন্ত সারি মুছে ফেলা সাহায্য করে না, কারণ উভয় সারি সম্পূর্ণ নয়। একটি মেরামতের জন্য ইতিমধ্যে বাদ দেওয়া ক্রস-ট্র্যাক বা অনুভূমিক বসানোগুলির মধ্যে একটি প্রয়োজন৷ শেষ এড়িয়ে যাওয়া পদক্ষেপের পরে, এই ধরনের ফাঁক স্থায়ী হয়। একটি সীমিত বোর্ডে অসীম সংখ্যক নতুন, বিচ্ছিন্ন ফাঁক তৈরি হতে পারে না।
ফলস্বরূপ, ট্র্যাকের আকারে শুধুমাত্র একটি সীমিত সংখ্যক পরিবর্তন হতে পারে। একটি প্রাথমিকভাবে খালি গলি এটি পরিবর্তন করে না: আপনার প্রথম S বা Z পাথর ইতিমধ্যে মেঝেতে একটি একক-কলামের ফাঁক ছেড়ে দেয় যা আরও বিশুদ্ধ লেন খেলার দ্বারা বন্ধ করা যায় না। একটি অনুমিত অসীম খেলায়, প্রতিটি লেনকে অবশ্যই অসীম সংখ্যক পাথর ধারণ করতে হবে। যদি একটি লেন কোনো সময়ে অস্পর্শ্য থেকে যায়, সীমিত কলামের ভারসাম্যের কারণে অবশিষ্ট লেনগুলিতে শুধুমাত্র একটি সীমিত সংখ্যক কক্ষ স্থাপন করা যেতে পারে।
তাই আমরা সময়ে এমন একটি বিন্দুতে পৌঁছাই যেখানে সমস্ত পাঁচটি লেন স্থায়ীভাবে দখল করা হয় এবং একটি ফর্মে দৃঢ়ভাবে বরাদ্দ করা হয়। এই বিন্দু থেকে আমরা \(t\) আরও পাথর গণনা করি এবং \(n_j(t)\) ট্র্যাকের সংখ্যা \(j\) দিয়ে। এই পাথরগুলির প্রতিটি তার ট্র্যাকের প্রতিটি কলামে দুটি কোষ অবদান রাখে। কারণ সারি মুছে ফেলা সমস্ত কলামকে সমানভাবে বিবেচনা করে, পার্থক্য \(n_j(t)-n_k(t)\) সীমিত থাকে। দীর্ঘমেয়াদে, সমস্ত পাঁচটি লেনকে অবশ্যই পাথরের এক পঞ্চমাংশ ধরে রাখতে হবে:
$$\frac{n_j(t)}{t}\longrightarrow\frac15.$$
যদি পাঁচটি লেনের মধ্যে \(k\) S-স্টোনগুলির জন্য সংরক্ষিত থাকে, তবে তাদের ভাগ প্রায় \(k/5\) হতে হবে। যাইহোক, পর্যায়ক্রমে এটি \(1/2\) : প্রতিটি উপসর্গে S এবং Z পাথরের সংখ্যা সর্বাধিক \(1\) দ্বারা পৃথক হয়। লেনের বিভাজন একই সাথে উভয় অংশ পূরণ করতে হবে। যাইহোক, অর্ধেক ভাগকে পুরো পঞ্চমাংশের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যায় না। এখানেই বিকল্প ফর্মের ফ্রিকোয়েন্সি এবং সমানভাবে ব্যবহৃত ট্র্যাকের বিজোড় সংখ্যা একত্রিত হয়। যে বাধ্যতামূলক হবে:
$$\frac{k}{5}=\frac12\quad\Longrightarrow\quad k=\frac52.$$
লেনের সংখ্যা একটি পূর্ণসংখ্যা। এই দ্বন্দ্ব একটি অসীম খেলা অনুমান শেষ. যুক্তিটিও দেখায় কেন বোর্ডের প্রস্থ এটির অংশ: চারটি ট্রেনের সাথে, দুটি এস এবং দুটি জেড ট্রেনে বিভক্ত এই বৈপরীত্যটি উড়িয়ে দেওয়া যাবে না। এলোমেলো প্রমাণের জন্য আমাদের একটি সীমাবদ্ধ ব্লক দৈর্ঘ্য \(N\) প্রয়োজন যা বর্তমান বোর্ড নির্বিশেষে ক্ষতির দিকে নিয়ে যায়। "প্রতিটি কৌশলই কোনো না কোনো সময়ে হারায়" একাই যথেষ্ট নয়।
অভিন্নতা সম্ভাব্য অবস্থার সসীম সংখ্যা থেকে অনুসরণ করে। প্রতিটি সম্পূর্ণ স্থান নির্ধারণের পরে, সর্বাধিক \(2^{200}\) দখলের ধরণ রয়েছে৷ পরবর্তীতে S বা Z প্রদর্শিত হবে কিনা সে বিষয়েও তথ্য রয়েছে, অর্থাৎ সর্বাধিক \(2^{201}\) অবস্থা। যদি আপনি \(N=2^{201}\) পাথর থেকে বেঁচে থাকতেন, তাহলে এই পদক্ষেপগুলির আগে এবং পরে \(N+1\) স্টেটগুলির পুনরাবৃত্তি হবে৷ অভিন্ন বোর্ড এবং একই পরবর্তী আকৃতির কারণে, এর মধ্যে আইনি পদক্ষেপগুলি যে কোনও সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তিযোগ্য হবে: অসীম খেলাটি কেবল বাদ দেওয়া হয়েছে৷
সীমাটি অপ্রাপ্য বোর্ড নিদর্শনগুলিকেও গণনা করে এবং ব্যবহারিক গেমের দৈর্ঘ্যের পূর্বাভাস দেয় না। Burgiel এর সূক্ষ্ম জ্যামিতিক গণনা ছোট সীমানা দেয়; এখানে একটি সীমাবদ্ধ \(N\) যথেষ্ট। এটি সমস্ত অনুমোদিত প্রাথমিক অ্যাসাইনমেন্ট এবং S/Z সিকোয়েন্সের উভয় পর্যায়ে প্রযোজ্য। চলুন অসীম এলোমেলো ক্রমটিকে দৈর্ঘ্যের বিচ্ছিন্ন ব্লকে বিভক্ত করি \(N\) । প্রতিটি ব্লক হল ঠিক নির্দিষ্ট ক্রম \(S,Z,S,Z,\ldots\) সম্ভাব্যতার সাথে \(q=7^{-N}>0\) । ব্লকগুলো স্বাধীন। তাই সম্ভবত প্রথম \(m\) ব্লকের কোনোটিতেই এই ক্রমটি নেই:
$$\mathbb P(\text{kein Treffer in }m\text{ Blöcken})=(1-q)^m\longrightarrow0.$$
সুতরাং সম্ভাব্যতার সাথে \(1\) একটি মারাত্মক ব্লক কিছু সময়ে উপস্থিত হবে, যদি না খেলাটি তার আগে শেষ হয়। এটি এটি সম্পর্কে চিন্তা করার জন্য এবং পাথরের সম্পূর্ণ ক্রম সম্পর্কে সম্পূর্ণ জ্ঞানের সাথেও প্রযোজ্য। এটি একটি ছোট ব্যবহারিক খেলার সময় ফলাফল না. শুধুমাত্র একটি মনোযোগহীন, খারাপ শুরু মানে পরাজয় নয়; আশ্চর্যজনক প্রত্যাবর্তন অবশ্যই সম্ভব। তাই - নিরুৎসাহিত হবেন না এবং নিরবধি খেলা উপভোগ করুন।