តើអ្នកចាញ់តែ Tetris ទេព្រោះអ្នកលេងមិនបានល្អ ឬបង្កើតកំហុស? ទោះបីជាមានពេលវេលាណាមួយដើម្បីគិតអំពីវាក៏ដោយ លំដាប់មិនអំណោយផលនៃថ្មមិនអាចត្រូវបានរក្សាទុកបានទេ។ កត្តាកំណត់គឺផ្លូវតូចចង្អៀតចំនួនប្រាំ និងលេខសេស។ យើងពិចារណាលើវាលលេងដែលមានជួរឈរ \(10\) និង \(20\) ជួរដោយគ្មានក្ដារតម្បៀតខ្ទាស់ (សង្កត់): ថ្មថ្មីនីមួយៗត្រូវបានគូរដោយឯករាជ្យ និងចែកចាយស្មើៗគ្នាពី tetromino ទាំងប្រាំពីរ។ រូបរាងនីមួយៗមានបួនជ្រុងតភ្ជាប់គ្នា។ ភាគទាំងមូលអាចត្រូវបានគេដឹងជាមុន។
ការពិតដែលថាល្បែងមួយស្ទើរតែបញ្ចប់មិនមានន័យថាគ្រប់លំដាប់ថ្មដែលអាចយល់បានត្រូវបញ្ចប់នោះទេ។ លំដាប់នៃថ្ម O-stones អាចត្រូវបានលេងដោយគ្មានទីបញ្ចប់: ការ៉េចំនួនប្រាំដែលដាក់នៅជាប់គ្នាលុបជួរពីរហើយលុបក្តារ។ នៅក្នុង 7-Bag ថង់ចម្រុះដោយចៃដន្យនីមួយៗមានរូបរាងទាំងប្រាំពីរយ៉ាងពិតប្រាកដតែម្តង។ អាគុយម៉ង់ឱកាសរបស់យើងមិនអនុវត្តចំពោះរឿងនេះទេ។ នៅក្នុង របៀបចាញ់នៅ Tetris លោក Heidi Burgiel បង្ហាញពីលំដាប់ដែលសូម្បីតែការលេងដ៏ល្អឥតខ្ចោះក៏មិនអាចជួយបានដែរ៖ \(S,Z,S,Z,\ldots\) ។
S និង Z គឺជារូបភាពកញ្ចក់ មិនមែនជាការបង្វិលផ្សេងគ្នានៃថ្មដូចគ្នានោះទេ។ ការពន្យល់ដែលភ្ជាប់មកជាមួយ ពិពណ៌នាអំពីគំនិតធរណីមាត្រដែលយើងបង្ហាញនៅទីនេះជាភស្តុតាងដោយភាពផ្ទុយគ្នា។ ការអះអាងជាក់ស្តែង "នៅចំណុចខ្លះមានតែថ្ម Z លេចឡើងហើយគ្មានជួរបាត់ជាមួយពួកគេ" គឺខុស។ ថ្ម S-stones ដូចគ្នាបេះបិទចំនួនប្រាំ ផ្តល់នូវការរៀបចំដូចខាងក្រោមនៅលើក្តារទទេដំបូង។ អក្សរដូចគ្នាបង្ហាញពីថ្មដូចគ្នា; ចំនុចសម្គាល់កន្លែងទំនេរ:
a.b.c.d.e.
aabbccddee
.a.b.c.d.eជួរកណ្តាលត្រូវបានបញ្ចប់ និងលុបចេញ។ ប្រសិនបើអ្នកឆ្លុះមើលការរៀបចំ នោះអ្នកទទួលបានឧទាហរណ៍ដូចគ្នាសម្រាប់ Z-stones ។ បញ្ហាគឺមិនមែនការលុបជួរនីមួយៗទេ ប៉ុន្តែសំណួរថាតើអ្នកអាចគ្រប់គ្រងអតុល្យភាពទាំងអស់ដែលកើតឡើងនៅទូទាំងចំនួនថ្មគ្មានដែនកំណត់។ ចូរដាក់លេខជួរឈរពី \(1\) ទៅ \(10\) ។ ដោយ \(b_i\) យើងកំណត់ចំនួនសរុបនៃក្រឡាថ្មីទាំងអស់ដែលបានដាក់ក្នុងជួរឈរ \(i\) រួមទាំងកោសិកាដែលបានលុបនៅពេលក្រោយ។
\(h_i\) រាប់ថ្ម S ឬ Z ផ្ដេកដែលមានជួរឈរកណ្តាល \(i\) , \(v_i\) ថ្មបញ្ឈរក្នុងជួរឈរ \(i\) និង \(i+1\) ។ បញ្ជរកត់ត្រាវគ្គនៃហ្គេម មិនមែនគ្រាន់តែជាជង់ដែលអាចមើលឃើញបច្ចុប្បន្នប៉ុណ្ណោះទេ។ ថ្មផ្តេកចែកចាយកោសិការបស់វាក្នុងសមាមាត្រ \(1,2,1\) លើជួរឈរបី ថ្មបញ្ឈរក្នុងសមាមាត្រ \(2,2\) ជាពីរជួរឈរ។ រូបភាពកញ្ចក់ទាំងពីរមានតុល្យភាពជួរឈរដូចគ្នា។ ប្រសិនបើអ្នកបន្ថែមការរួមចំណែកទាំងនេះនៅគ្រប់កន្លែងទាំងអស់ អ្នកនឹងទទួលបានសម្រាប់ជួរនីមួយៗ:
$$b_i=2v_{i-1}+2v_i+h_{i-1}+2h_i+h_{i+1}.$$
នៅខាងក្រៅក្តារយើងកំណត់បញ្ជរទាំងអស់ទៅជា \(0\) ; ជាពិសេស \(v_0=v_{10}=h_0=h_1=h_{10}=h_{11}=0\) អនុសញ្ញាគែមនេះរារាំងតុល្យភាពពីការរាប់ថ្មដែលនឹងលាតសន្ធឹងហួសពីគែមនៃទីលានប្រកួត។ ការដាក់បែបនេះមិនត្រូវបានអនុញ្ញាតនៅក្នុងគំរូរបស់យើងទេ។ ប្រសិនបើលំដាប់ S/Z ដែលកំពុងពិចារណាចាប់ផ្តើមនៅលើក្តារដែលបានបំពេញរួចហើយ សូមឱ្យ \(a_i\) ជាក្រឡាដែលកាន់កាប់ដំបូង និង \(c_i\) ក្រឡាដែលកាន់កាប់បច្ចុប្បន្ននៅក្នុងជួរឈរ \(i\) ។ បន្ទាប់ពី \(R\) ជួរដេកដែលបានលុបគឺ:
$$c_i=a_i+b_i-R,$$
$$b_i-b_j=(c_i-c_j)-(a_i-a_j).$$
ដរាបណាហ្គេមកំពុងដំណើរការ ទាំងអស់ \(a_i,c_i\) ស្ថិតនៅចន្លោះ \(0\) និង \(20\) ។ ដូច្នេះ \(|b_i-b_j|\leq40\) អនុវត្ត។ ប្រសិនបើបន្ទះដំបូងទទេ \(20\) គឺគ្រប់គ្រាន់ហើយ។ ជួរដេកដែលបានលុបនីមួយៗយកក្រឡាមួយចេញពីជួរឈរនីមួយៗ។ នេះជាមូលហេតុដែលចំនួនជួរដេកដែលបានលុបត្រូវបានកាត់បន្ថយនៅពេលប្រៀបធៀបជួរឈរពីរ ទោះបីជាចំនួនរាប់នៃក្រឡាកំណត់បន្តកើនឡើងក៏ដោយ។ អ្នករាប់ក្រឡាដែលកាន់កាប់ជំនួសឱ្យកម្ពស់ជង់។ ទំហំទាំងពីរខុសគ្នានៅពេលវាមកដល់រន្ធ។ ប្រសិនបើយើងសរសេរដែនកំណត់នេះជាទូទៅជា \(D\) វាផ្តល់លទ្ធផលនៅគែមខាងឆ្វេង ឬខាងស្តាំ:
$$2v_2+h_2+h_3=b_2-b_1\leq D,$$
$$2v_8+h_8+h_9=b_9-b_{10}\leq D.$$
សម្រាប់គូជួរឈរខាងក្នុង យើងបន្ថែមភាពខុសគ្នានៃជួរឈរដែលបានដាក់កម្រិតពីរ៖ \(b_4-b_3\) និង \(b_2-b_1\) នៅខាងឆ្វេង \(b_7-b_8\) និង \(b_9-b_{10}\) នៅខាងស្តាំ។ បន្ទាប់ពីបញ្ចូលសមតុល្យជួរឈរ អ្នករាប់នៅចន្លោះត្រូវបោះបង់គ្នាចេញយ៉ាងច្បាស់។ វាទុកតែការរួមចំណែកដែលមិនអវិជ្ជមាននៅផ្នែកខាងឆ្វេងនីមួយៗ ដែលត្រូវបានចងរួមគ្នាដោយ \(2D\) ។ នេះក៏ផ្តល់ឱ្យយើងនូវដែនកំណត់ខាងលើសម្រាប់លេខដាក់រៀងៗខ្លួនសម្រាប់គូខាងក្នុងទាំងពីរ:
$$\begin{aligned}2v_4+h_4+h_5&=(b_4-b_3)+(b_2-b_1)\\&\leq2D,\\2v_6+h_6+h_7&=(b_7-b_8)+(b_9-b_{10})\\&\leq2D.\end{aligned}$$
ប្រសិនបើយើងបន្ថែមវិសមភាពទាំងបួននោះ ថ្មផ្តេកនីមួយៗត្រូវបានរាប់យ៉ាងពិតប្រាកដតែម្តង។ ការដាក់បញ្ឈរឆ្លងកាត់ផ្លូវទាំងបួនក៏មានមេគុណវិជ្ជមានផងដែរ។ ថ្មផ្តេកយកជួរឈរបី ដូច្នេះហើយមិនសមទាំងស្រុងទៅនឹងផ្លូវមួយក្នុងចំណោមផ្លូវពីរជួរដែលបានពិចារណានៅពេលក្រោយ។ សម្រាប់ថ្មបញ្ឈរ យើងបែងចែកផ្លូវដែកតាមជួរឈរខាងឆ្វេង។ ដោយសារបញ្ជរទាំងអស់មិនមានលក្ខណៈអវិជ្ជមាន គ្មានការរួមចំណែកទាំងនេះណាមួយអាចត្រូវបានលុបចោលដោយមួយផ្សេងទៀត:
$$\sum_{i=2}^{9}h_i+2(v_2+v_4+v_6+v_8)\leq6D.$$
ការដាក់ផ្ដេក និងទីតាំងបញ្ឈរដែលមានជួរឈរខាងឆ្វេងត្រង់អាចកើតឡើងអតិបរមា \(120\) ដងនៅលើក្តារទទេ ឬ \(240\) ដងនៅលើក្តារដែលបំពេញជាមុនណាមួយ។ នេះជាការកំណត់ខាងលើ មិនមែនជាការអះអាងថាវាពិតជាអាចសម្រេចបាននោះទេ។ ក្នុងករណីណាក៏ដោយ ចលនាគេចវេះទាំងនេះមិនអាចប្រើញឹកញាប់គ្មានកំណត់បានទេ។ ឥឡូវសូមសន្មតថាអ្នកអាចលេងលំដាប់ជំនួសដោយមិនកំណត់។
បន្ទាប់ពីចំនួនកំណត់ចុងក្រោយនៃការជម្លៀសចេញ មានតែការដាក់បញ្ឈរក្នុងគន្លងថេរចំនួនប្រាំប៉ុណ្ណោះដែលអាចធ្វើទៅបាន៖ \((1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10)\) រាងដូចគ្នាបេះបិទនឹងគ្នាក្នុងលំនាំដូចជំហាន៖ បាតត្រូវគ្នានឹងកំពូលថ្មមុន។ ការផ្លាស់ប្តូរពី S ទៅ Z ឬផ្ទុយមកវិញទុកចន្លោះមួយក្រឡាធំទូលាយ និងកោសិកាពីរជ្រៅ។ ព័ត៌មានលម្អិតបង្ហាញពីថ្ម Z លើថ្ម S; ទាំងពីរ "o" សម្គាល់គម្លាត:
.Z
ZZ
Zo
So
SS
.Sថ្មបញ្ឈរមួយទៀតនៅក្នុងផ្លូវតែមួយមិនអាចបំពេញចន្លោះនេះបានទេ៖ ជួរឈរទីពីររបស់វានឹងបុកជាមួយក្រឡាដែលកាន់កាប់ជិតខាង។ ការលុបជួរដេកមិនអាចជួយបានទេ ដរាបណាគម្លាតបើក ព្រោះជួរទាំងពីរមិនពេញលេញ។ ការជួសជុលតម្រូវឱ្យមានការបិទផ្លូវឆ្លងកាត់ ឬទីតាំងផ្ដេកដែលបានដកចេញរួចហើយ។ បន្ទាប់ពីការគេចចេញចុងក្រោយនេះ គម្លាតបែបនេះគឺជាអចិន្ត្រៃយ៍។ ចំនួនមិនកំណត់នៃចន្លោះប្រហោងថ្មី មិនអាចកើតឡើងនៅលើក្តារកំណត់បានទេ។
ជាលទ្ធផល វាអាចមានចំនួនកំណត់នៃការផ្លាស់ប្តូរទម្រង់នៅលើផ្លូវដែកប៉ុណ្ណោះ។ ផ្លូវទទេដំបូងមិនផ្លាស់ប្តូរនេះទេ៖ ថ្ម S ឬ Z ដំបូងរបស់អ្នកទុកចន្លោះជួរតែមួយនៅលើឥដ្ឋ ដែលមិនអាចបិទបានដោយការលេងផ្លូវសុទ្ធបន្ថែមទៀត។ នៅក្នុងហ្គេមដែលសន្មត់ថាគ្មានដែនកំណត់ ផ្លូវនីមួយៗក៏ត្រូវមានថ្មចំនួនមិនកំណត់ផងដែរ។ ប្រសិនបើផ្លូវមួយនៅតែមិនត្រូវបានប៉ះនៅចំណុចណាមួយនោះ មានតែក្រឡាចំនួនកំណត់ប៉ុណ្ណោះដែលអាចត្រូវបានស្នាក់នៅក្នុងគន្លងដែលនៅសល់ ដោយសារសមតុល្យជួរឈរមានកំណត់។
ដូច្នេះហើយ យើងឈានដល់ចំណុចមួយនៅក្នុងពេលវេលាដែលផ្លូវទាំងប្រាំត្រូវបានកាន់កាប់ជាអចិន្ត្រៃយ៍ និងកំណត់យ៉ាងរឹងមាំទៅនឹងទម្រង់មួយ។ ចាប់ពីចំណុចនេះតទៅ យើងរាប់ថ្មបន្ថែមទៀត និងជាមួយ \(t\) \(n_j(t)\) ចំនួននៅក្នុងបទ \(j\) ។ ថ្មនីមួយៗទាំងនេះរួមចំណែកកោសិកាពីរទៅជួរនីមួយៗនៃផ្លូវរបស់វា។ ដោយសារការលុបជួរដេកចាត់ទុកជួរឈរទាំងអស់ស្មើគ្នា ភាពខុសគ្នា \(n_j(t)-n_k(t)\) នៅមានកម្រិត។ ក្នុងរយៈពេលវែង ផ្លូវទាំងប្រាំត្រូវមានថ្មមួយភាគប្រាំ:
$$\frac{n_j(t)}{t}\longrightarrow\frac15.$$
ប្រសិនបើ \(k\) នៃផ្លូវទាំងប្រាំត្រូវបានបម្រុងទុកសម្រាប់ S-stones នោះចំណែករបស់ពួកគេគួរតែមានប្រហែល \(k/5\) ។ ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយនៅក្នុងលំដាប់ជំនួសវាគឺ \(1/2\) : នៅក្នុងបុព្វបទនីមួយៗលេខនៃថ្ម S និង Z ខុសគ្នាដោយច្រើនបំផុត \(1\) ។ ការបែងចែកផ្លូវត្រូវបំពេញផ្នែកទាំងពីរក្នុងពេលតែមួយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ចំណែកនៃពាក់កណ្តាលមិនអាចតំណាងថាជាផលបូកនៃភាគប្រាំទាំងមូលបានទេ។ នេះគឺជាកន្លែងដែលភាពញឹកញាប់នៃទម្រង់ជំនួស និងចំនួនសេសនៃបទដែលប្រើស្មើគ្នាមកជាមួយគ្នា។ នោះនឹងជាកាតព្វកិច្ច:
$$\frac{k}{5}=\frac12\quad\Longrightarrow\quad k=\frac52.$$
ចំនួនផ្លូវគឺជាចំនួនគត់។ ភាពផ្ទុយគ្នានេះបញ្ចប់ការសន្មត់នៃល្បែងគ្មានកំណត់។ អាគុយម៉ង់ក៏បង្ហាញផងដែរពីមូលហេតុដែលទទឹងក្តារគឺជាផ្នែកមួយនៃវា: ជាមួយនឹងរថភ្លើងចំនួន 4 ការបែងចែកទៅជារថភ្លើង S និង 2 Z ពីរនឹងមិនត្រូវបានច្រានចោលដោយភាពផ្ទុយគ្នានេះទេ។ សម្រាប់ភស្តុតាងចៃដន្យ យើងត្រូវការប្រវែងប្លុកកំណត់ \(N\) ដែលនាំឱ្យបាត់បង់ដោយមិនគិតពីបន្ទះបច្ចុប្បន្ន។ “រាល់យុទ្ធសាស្ត្រចាញ់នៅចំណុចណាមួយ” តែឯងមិនគ្រប់គ្រាន់ទេ។
ភាពស្មើគ្នាកើតឡើងពីចំនួនកំណត់នៃរដ្ឋដែលអាចមាន។ បន្ទាប់ពីការដាក់ដែលបានបញ្ចប់នីមួយៗ មានទម្រង់ការកាន់កាប់ច្រើនបំផុត \(2^{200}\) ។ វាក៏មានព័ត៌មានផងដែរថាតើ S ឬ Z លេចឡើងបន្ទាប់ ពោលគឺអតិបរមានៃរដ្ឋ \(2^{201}\) ។ ប្រសិនបើអ្នកត្រូវរស់រានមានជីវិតពីថ្ម \(N=2^{201}\) នោះ \(N+1\) រដ្ឋមុន និងក្រោយការផ្លាស់ទីទាំងនេះនឹងមានពាក្យដដែលៗ។ ដោយសារតែបន្ទះដូចគ្នា និងរូបរាងបន្ទាប់ដូចគ្នា ការផ្លាស់ប្តូរផ្លូវច្បាប់នឹងអាចកើតឡើងម្តងទៀតបានគ្រប់ចំនួនដង៖ ហ្គេមគ្មានកំណត់ទើបតែត្រូវបានដកចេញ។
ដែនកំណត់នេះក៏រាប់ផងដែរនូវគំរូក្តារដែលមិនអាចទទួលបាន ហើយមិនទស្សន៍ទាយរយៈពេលនៃហ្គេមជាក់ស្តែង។ ការរាប់ធរណីមាត្រល្អជាងរបស់ Burgiel ផ្តល់នូវព្រំដែនតូចជាង។ នៅទីនេះ កំណត់ \(N\) គ្រប់គ្រាន់។ វាអនុវត្តចំពោះកិច្ចការដំបូងដែលអាចអនុញ្ញាតបានទាំងអស់ និងដំណាក់កាលទាំងពីរនៃលំដាប់ S/Z ។ ចូរយើងបំបែកលំដាប់ចៃដន្យគ្មានកំណត់ទៅជាប្លុកនៃប្រវែង \(N\) ។ ប្លុកនីមួយៗគឺពិតជាលំដាប់ដែលបានបញ្ជាក់ \(S,Z,S,Z,\ldots\) ជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ \(q=7^{-N}>0\) ។ ប្លុកគឺឯករាជ្យ។ ដូច្នេះ វាប្រហែលជាគ្មានប្លុក \(m\) ដំបូងមានលំដាប់នេះទេ។:
$$\mathbb P(\text{kein Treffer in }m\text{ Blöcken})=(1-q)^m\longrightarrow0.$$
ដូច្នេះជាមួយនឹងប្រូបាប៊ីលីតេ \(1\) ប្លុកដ៏សាហាវនឹងលេចឡើងនៅចំណុចខ្លះ លុះត្រាតែហ្គេមបញ្ចប់មុនពេលនោះ។ នេះក៏អនុវត្តផងដែរជាមួយនឹងពេលវេលាណាមួយដើម្បីគិតអំពីវា និងចំណេះដឹងពេញលេញអំពីផលវិបាក។ វាមិនមានលទ្ធផលក្នុងរយៈពេលខ្លីនៃហ្គេមជាក់ស្តែងទេ ហើយការចាប់ផ្តើមមិនល្អតែម្នាក់ឯងមិនមានន័យថាបរាជ័យទេ៖ ចលនាខាងក្រោមបង្ហាញពីលំដាប់ចម្រុះដែលបានគណនាជាមុនចំនួន 5 ដែលនីមួយៗឈានដល់ក្តារទទេបន្ទាប់ពីការដាក់ប៉មដែលមិនផ្លាស់ប្តូរចំនួនប្រាំបួន។ នាងមិនមែនជា bot Tetris សកលទេ។