क्या आप टेट्रिस में केवल इसलिए हारते हैं क्योंकि आप बेहतर ढंग से नहीं खेलते हैं या गलतियाँ करते हैं? इसके बारे में सोचने के लिए कितना भी समय देने पर भी, पत्थरों के प्रतिकूल क्रम को बचाया नहीं जा सकता। निर्णायक कारक पांच संकरी गलियां और एक विषम संख्या है। हम क्लिपबोर्ड (होल्ड) के बिना \(10\) कॉलम और \(20\) पंक्तियों के साथ एक खेल के मैदान पर विचार करते हैं: प्रत्येक नया पत्थर स्वतंत्र रूप से खींचा जाता है और सात टेट्रोमिनो से समान रूप से वितरित किया जाता है। प्रत्येक आकृति में चार जुड़े हुए वर्ग होते हैं। पूरे प्रकरण का पहले से पता चल सकेगा।
तथ्य यह है कि एक खेल लगभग निश्चित रूप से समाप्त होता है इसका मतलब यह नहीं है कि पत्थरों का हर कल्पनीय क्रम समाप्त हो जाता है। ओ-स्टोन्स का एक शुद्ध अनुक्रम अंतहीन रूप से खेला जा सकता है: एक दूसरे के बगल में रखे गए पांच वर्ग दो पंक्तियों को हटा देते हैं और बोर्ड को खाली कर देते हैं। 7-बैग में, प्रत्येक बेतरतीब ढंग से मिश्रित बैग में बिल्कुल एक बार सभी सात आकृतियाँ होती हैं; हमारा मौका तर्क इस पर लागू नहीं होता है। हाउ टू लूज़ एट टेट्रिस में, हेइडी बर्गिएल एक अनुक्रम दिखाती है जिसमें सही खेल भी मदद नहीं करता है: \(S,Z,S,Z,\ldots\) ।
S और Z दर्पण छवियाँ हैं, एक ही पत्थर के अलग-अलग घुमाव नहीं। संलग्न स्पष्टीकरण उस ज्यामितीय विचार का वर्णन करता है जिसे हम यहां विरोधाभास द्वारा प्रमाण के रूप में प्रस्तुत करते हैं। स्पष्ट दावा "कुछ बिंदु पर केवल Z पत्थर दिखाई देते हैं और उनके साथ कोई पंक्ति गायब नहीं होती" गलत है। केवल पांच समान, लंबवत रखे गए एस-पत्थर प्रारंभिक खाली बोर्ड पर निम्नलिखित व्यवस्था प्रदान करते हैं। वही अक्षर एक ही पत्थर का संकेत देते हैं; बिंदु खाली स्थानों को चिह्नित करते हैं:
a.b.c.d.e.
aabbccddee
.a.b.c.d.eमध्य पंक्ति पूरी हो गई है और हटा दी गई है. यदि आप व्यवस्था को प्रतिबिंबित करते हैं, तो आपको Z-पत्थरों के लिए वही प्रति-उदाहरण मिलता है। समस्या अलग-अलग पंक्तियों को हटाने की नहीं है, बल्कि यह सवाल है कि क्या आप असीमित संख्या में पत्थरों के बीच उत्पन्न होने वाले सभी असंतुलन को नियंत्रित कर सकते हैं। आइए कॉलमों को \(1\) से \(10\) तक क्रमांकित करें। \(b_i\) द्वारा हम कॉलम \(i\) में रखे गए सभी नए सेल की कुल संख्या को दर्शाते हैं, जिसमें बाद में हटाए गए सेल भी शामिल हैं।
\(h_i\) मध्य स्तंभ \(i\) के साथ क्षैतिज S या Z पत्थरों की गणना करता है, \(i\) और \(i+1\) स्तंभों में \(v_i\) ऊर्ध्वाधर पत्थरों की गणना करता है। काउंटर खेल के पाठ्यक्रम को रिकॉर्ड करते हैं, न कि केवल वर्तमान में दिखाई देने वाले स्टैक को। एक क्षैतिज पत्थर अपनी कोशिकाओं को तीन स्तंभों में \(1,2,1\) के अनुपात में वितरित करता है, एक ऊर्ध्वाधर पत्थर दो स्तंभों में \(2,2\) अनुपात में वितरित करता है। दोनों दर्पण छवियों में समान स्तंभ संतुलन है। यदि आप इन योगदानों को सभी प्लेसमेंट में जोड़ते हैं, तो आपको प्रत्येक कॉलम के लिए मिलता है:
$$b_i=2v_{i-1}+2v_i+h_{i-1}+2h_i+h_{i+1}.$$
बोर्ड के बाहर हम सभी काउंटरों को \(0\) पर सेट करते हैं; विशेष रूप से \(v_0=v_{10}=h_0=h_1=h_{10}=h_{11}=0\) . यह धार परिपाटी संतुलन को उन पत्थरों को गिनने से रोकती है जो खेल के मैदान के किनारे से आगे तक बढ़ सकते हैं। हमारे मॉडल में ऐसे प्लेसमेंट की अनुमति नहीं है. यदि विचाराधीन S/Z अनुक्रम पहले से ही भरे हुए बोर्ड पर शुरू होता है, तो मान लीजिए कि \(a_i\) प्रारंभिक रूप से व्याप्त कोशिकाएं हैं और \(c_i\) कॉलम \(i\) में वर्तमान में व्याप्त कोशिकाएं हैं। \(R\) के बाद हटाई गई पंक्तियाँ हैं:
$$c_i=a_i+b_i-R,$$
$$b_i-b_j=(c_i-c_j)-(a_i-a_j).$$
जब तक गेम चल रहा है, सभी \(a_i,c_i\) \(0\) और \(20\) के बीच हैं। इसलिए \(|b_i-b_j|\leq40\) लागू होता है। यदि बोर्ड शुरू में खाली है \(20\) पर्याप्त है। प्रत्येक हटाई गई पंक्ति प्रत्येक कॉलम से ठीक एक सेल निकालती है। यही कारण है कि दो स्तंभों की तुलना करते समय हटाई गई पंक्तियों की संख्या कम हो जाती है, भले ही सेट कोशिकाओं के काउंटर बढ़ते रहें। आप स्टैक ऊंचाई के बजाय कब्जे वाली कोशिकाओं की गिनती करते हैं; जब छेद की बात आती है तो दोनों आकार भिन्न होते हैं। यदि हम इस सीमा को आम तौर पर \(D\) के रूप में लिखते हैं, तो इसका परिणाम बाएं या दाएं किनारे पर होता है:
$$2v_2+h_2+h_3=b_2-b_1\leq D,$$
$$2v_8+h_8+h_9=b_9-b_{10}\leq D.$$
आंतरिक स्तंभ जोड़े के लिए हम दो प्रतिबंधित स्तंभ अंतर जोड़ते हैं: \(b_4-b_3\) और \(b_2-b_1\) बाईं ओर, \(b_7-b_8\) और \(b_9-b_{10}\) दाईं ओर। कॉलम बैलेंस डालने के बाद, बीच के काउंटर एक दूसरे को बिल्कुल रद्द कर देते हैं। यह प्रत्येक बाईं ओर केवल गैर-नकारात्मक योगदान छोड़ता है, जो संयुक्त रूप से \(2D\) से घिरा होता है। यह हमें दो आंतरिक जोड़ियों के लिए संबंधित प्लेसमेंट संख्याओं की ऊपरी सीमा भी देता है:
$$\begin{aligned}2v_4+h_4+h_5&=(b_4-b_3)+(b_2-b_1)\\&\leq2D,\\2v_6+h_6+h_7&=(b_7-b_8)+(b_9-b_{10})\\&\leq2D.\end{aligned}$$
यदि हम चार असमानताओं को जोड़ते हैं, तो प्रत्येक क्षैतिज पत्थर को ठीक एक बार गिना जाता है। चार प्रकार के क्रॉस-ट्रैक वर्टिकल प्लेसमेंट में भी सकारात्मक गुणांक होते हैं। क्षैतिज पत्थर तीन स्तंभों पर कब्जा करते हैं और इसलिए बाद में विचार किए गए दो-स्तंभ पथों में से एक में पूरी तरह से फिट नहीं होते हैं। ऊर्ध्वाधर पत्थरों के लिए, हम बाएं कॉलम के अनुसार पटरियों को अलग करते हैं। चूँकि सभी काउंटर गैर-नकारात्मक हैं, इनमें से कोई भी योगदान दूसरे द्वारा रद्द नहीं किया जा सकता है:
$$\sum_{i=2}^{9}h_i+2(v_2+v_4+v_6+v_8)\leq6D.$$
इसलिए क्षैतिज प्लेसमेंट और सीधे बाएं कॉलम के साथ ऊर्ध्वाधर प्लेसमेंट एक खाली बोर्ड पर अधिकतम \(120\) बार या किसी भी पहले से भरे बोर्ड पर \(240\) बार हो सकता है। यह एक ऊपरी सीमा है, यह दावा नहीं है कि इसे वास्तव में हासिल किया जा सकता है। किसी भी स्थिति में, इन टालमटोल वाली चालों का उपयोग अनंत बार नहीं किया जा सकता है। अब मान लेते हैं कि आप वैकल्पिक क्रम को अनिश्चित काल तक चला सकते हैं।
टालमटोल करने वाली चालों की अंतिम सीमित संख्या के बाद, केवल पाँच निश्चित लेन में ऊर्ध्वाधर प्लेसमेंट संभव होगा: \((1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(9,10)\) समान आकृतियाँ एक चरण-सदृश पैटर्न में एक-दूसरे में फिट होती हैं: निचला भाग पिछले पत्थर के मिलान वाले शीर्ष से मिलता है। S से Z या इसके विपरीत बदलने पर एक कोशिका चौड़ा और दो कोशिका गहरा अंतर रह जाता है। विवरण में S-पत्थर के ऊपर Z-पत्थर दिखाया गया है; दोनों "ओ" अंतर को चिह्नित करते हैं:
.Z
ZZ
Zo
So
SS
.Sउसी लेन में एक और ऊर्ध्वाधर पत्थर इस अंतर को नहीं भर सकता: इसका दूसरा स्तंभ पड़ोसी कब्जे वाली कोशिकाओं से टकराएगा। पंक्तियों को हटाने से भी तब तक मदद नहीं मिलती जब तक अंतर खुला है, क्योंकि दोनों पंक्तियाँ पूरी नहीं हैं। मरम्मत के लिए पहले से ही बाहर रखे गए क्रॉस-ट्रैक या क्षैतिज प्लेसमेंट में से एक की आवश्यकता होती है। अंतिम टालमटोल वाले कदम के बाद, ऐसे अंतराल स्थायी होते हैं। एक सीमित बोर्ड पर अनंत संख्या में नए, असंयुक्त अंतराल उत्पन्न नहीं हो सकते।
परिणामस्वरूप, पटरियों पर स्वरूप में सीमित संख्या में ही परिवर्तन हो सकते हैं। शुरू में खाली लेन इसे नहीं बदलती: आपका पहला एस या जेड पत्थर पहले से ही फर्श पर एक सिंगल-कॉलम गैप छोड़ देता है जिसे आगे शुद्ध लेन प्ले द्वारा बंद नहीं किया जा सकता है। एक कथित अनंत खेल में, प्रत्येक लेन में अनंत संख्या में पत्थर भी होने चाहिए। यदि किसी लेन को किसी बिंदु पर अछूता रहना था, तो सीमित कॉलम शेष के कारण शेष लेन में केवल एक सीमित संख्या में कोशिकाओं को समायोजित किया जा सकता था।
इसलिए हम ऐसे समय में पहुंच जाते हैं जब सभी पांच लेन पर स्थायी रूप से कब्जा कर लिया जाता है और मजबूती से एक रूप में सौंपा जाता है। इस बिंदु से हम \(t\) अधिक पत्थरों की गिनती करते हैं और \(n_j(t)\) के साथ ट्रैक \(j\) में संख्या गिनते हैं। इनमें से प्रत्येक पत्थर अपने ट्रैक के प्रत्येक स्तंभ में दो कोशिकाओं का योगदान देता है। क्योंकि पंक्ति विलोपन सभी स्तंभों को समान रूप से मानता है, अंतर \(n_j(t)-n_k(t)\) सीमित रहता है। लंबी अवधि में, सभी पांच गलियों में से प्रत्येक में पत्थरों का पांचवां हिस्सा होना चाहिए:
$$\frac{n_j(t)}{t}\longrightarrow\frac15.$$
यदि पांच लेन में से \(k\) एस-पत्थरों के लिए आरक्षित हैं, तो उनका हिस्सा लगभग \(k/5\) होना चाहिए। हालाँकि, वैकल्पिक क्रम में यह \(1/2\) है: प्रत्येक उपसर्ग में S और Z पत्थरों की संख्या अधिकतम \(1\) से भिन्न होती है। लेनों के विभाजन के लिए दोनों भागों को एक ही समय में पूरा करना होगा। हालाँकि, आधे के हिस्से को पूरे पाँचवें के योग के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। यह वह जगह है जहां वैकल्पिक रूपों की आवृत्ति और समान रूप से उपयोग किए जाने वाले ट्रैक की विषम संख्या एक साथ आती है। यह अनिवार्य होगा:
$$\frac{k}{5}=\frac12\quad\Longrightarrow\quad k=\frac52.$$
गलियों की संख्या एक पूर्णांक है. यह विरोधाभास अनंत खेल की धारणा को समाप्त कर देता है। तर्क यह भी दिखाता है कि बोर्ड की चौड़ाई इसका हिस्सा क्यों है: चार ट्रेनों के साथ, दो एस और दो जेड ट्रेनों में विभाजन को इस विरोधाभास से खारिज नहीं किया जाएगा। यादृच्छिक प्रमाण के लिए हमें एक सीमित ब्लॉक लंबाई \(N\) की आवश्यकता होती है जो वर्तमान बोर्ड की परवाह किए बिना नुकसान की ओर ले जाती है। केवल "हर रणनीति किसी बिंदु पर हारती है" पर्याप्त नहीं है।
एकरूपता संभावित राज्यों की सीमित संख्या से आती है। प्रत्येक पूर्ण प्लेसमेंट के बाद, अधिकतम \(2^{200}\) अधिभोग पैटर्न होते हैं। इस बात की भी जानकारी है कि S या Z आगे आता है या नहीं, यानी अधिकतम \(2^{201}\) स्थितियाँ। यदि आप \(N=2^{201}\) पत्थरों से बच जाते हैं, तो इन चालों से पहले और बाद में \(N+1\) की स्थिति दोहराई जाएगी। समान बोर्ड और समान अगले आकार के कारण, बीच में कानूनी चालें कितनी भी बार दोहराई जा सकेंगी: अनंत खेल को अभी बाहर रखा गया है।
सीमा अप्राप्य बोर्ड पैटर्न को भी गिनती है और व्यावहारिक गेम की लंबाई की भविष्यवाणी नहीं करती है। बर्गिएल की बेहतर ज्यामितीय गिनती छोटी सीमाएं देती है; यहाँ एक परिमित \(N\) पर्याप्त है। यह सभी अनुमेय प्रारंभिक असाइनमेंट और एस/जेड अनुक्रम के दोनों चरणों पर लागू होता है। आइए हम अनंत यादृच्छिक अनुक्रम को लंबाई \(N\) के असंयुक्त ब्लॉकों में विघटित करें। प्रत्येक ब्लॉक प्रायिकता \(q=7^{-N}>0\) के साथ बिल्कुल निर्दिष्ट अनुक्रम \(S,Z,S,Z,\ldots\) है। ब्लॉक स्वतंत्र हैं. इसलिए यह संभव है कि पहले \(m\) ब्लॉक में से किसी में भी यह क्रम न हो:
$$\mathbb P(\text{kein Treffer in }m\text{ Blöcken})=(1-q)^m\longrightarrow0.$$
तो संभावना के साथ \(1\) एक घातक ब्लॉक किसी बिंदु पर दिखाई देगा, जब तक कि खेल उससे पहले समाप्त न हो जाए। यह इसके बारे में सोचने और परिणामों की पूरी जानकारी के लिए किसी भी समय दिए जाने पर भी लागू होता है। इसके परिणामस्वरूप खेल का व्यावहारिक समय कम नहीं होता है, और अकेले खराब शुरुआत का मतलब हार नहीं होता है: निम्नलिखित एनीमेशन पांच पूर्व-गणना किए गए मिश्रित अनुक्रम दिखाता है, जिनमें से प्रत्येक नौ अपरिवर्तित टॉवर प्लेसमेंट के बाद एक खाली बोर्ड पर पहुंचता है। वह कोई सार्वभौमिक टेट्रिस बॉट नहीं है।