Numrat racionalë \(\mathbb{Q}\) në shikim të parë duken si një e tërë e vazhdueshme: midis çdo dy thyesash, gjithmonë ekziston një tjetër. Por kjo përshtypje është mashtruese: ekzistojnë grupe numrash racionalë që janë me të vërtetë të kufizuar, por supremumi ose infimumi i të cilëve thjesht nuk ekziston në \(\mathbb{Q}\) . Arsyeja qëndron në ekzistencën e numrave irracionalë si \(\sqrt{2}\) , të cilët, në një farë mënyre, krijojnë vrima të padukshme në boshtin e numrave racionalë.
Për të treguar se \(\mathbb{Q}\) nuk është i plotë, do të specifikojmë dy nëngrupe jo-boshe të \(\mathbb{Q}\) : një që është i kufizuar sipër por nuk ka supremum në \(\mathbb{Q}\) , dhe një tjetër që është i kufizuar poshtë por nuk ka infimum në \(\mathbb{Q}\) .
Konsideroni bashkësinë \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) . Bashkësia \(X\) nuk është bosh, meqenëse \(1 \in X\) . Nëse \(x \geq 2\) , atëherë \(x^2 \geq 4 > 2\) , gjë që bie ndesh \(x^2 < 2\) . Prandaj, \(x < 2\) vlen për çdo \(x \in X\) . Kështu \(X \subset [0, 2]\) , dhe \(2\) është një nga kufijtë e sipërm të \(X\) . Prandaj, \(X\) është i kufizuar sipër.
Le të jetë \(x \in X\) . Ne tregojmë se ekziston një \(n \in \mathbb{N}\) i tillë që \(x + \frac{1}{n} \in X\) . Është gjetur se
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Kështu \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . Meqenëse \(2 - x^2 > 0\) dhe \(2x + 1 > 0\) , aksioma e Arkimedit garanton ekzistencën e \(n \in \mathbb{N}\) . Prandaj, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , dhe kështu \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Tani merrni në konsideratë bashkësinë \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) . Natyrisht, \(Y \neq \varnothing\) . Për më tepër, \(Y\) është e kufizuar poshtë dhe e pakufizuar sipër, domethënë \(Y \subset (0, +\infty)\) . Le të \(y \in Y\) . Ne tregojmë se ekziston një \(m \in \mathbb{N}\) e tillë që \(y - \frac{1}{m} \in Y\) . Vërehet se
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Kështu \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . Meqenëse \(y^2 - 2 > 0\) dhe \(2y > 0\) , aksioma e Arkimedit garanton përsëri ekzistencën e \(m \in \mathbb{N}\) . Prandaj, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , dhe kështu \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
Supozojmë \(w = \sup X\) . Nuk mund të jetë që \(w^2 < 2\) , sepse atëherë \(w \in X\) , dhe do të kishte një \(n \in \mathbb{N}\) me \(w + \frac{1}{n} \in X\) dhe \(w < w + \frac{1}{n}\) , gjë që bie ndesh me faktin se \(w\) është një kufi i sipërm i \(X\) . Gjithashtu nuk mund të jetë e vërtetë se \(w^2 > 2\) , sepse atëherë \(w \in Y\) , dhe do të kishte një \(m \in \mathbb{N}\) me \(w - \frac{1}{m} \in Y\) dhe \(w - \frac{1}{m} < w\) , gjë që bie ndesh me faktin se \(w\) është kufiri më i vogël i sipërm i \(X\) .
Le të supozojmë tani se \(v = \inf Y\) . Nuk mund të jetë e vërtetë që \(v^2 > 2\) , sepse atëherë \(v \in Y\) dhe \(v\) nuk do të ishin një kufi i poshtëm i \(Y\) . Po kështu, nuk mund të jetë e vërtetë që \(v^2 < 2\) , sepse atëherë \(v \in X\) dhe kështu \(v\) nuk do të ishte kufiri më i madh i poshtëm i \(Y\) .
Mundësitë e vetme të mbetura janë pra \(w^2 = 2\) dhe \(v^2 = 2\) . Megjithatë, nuk ka numër racional katrori i të cilit është i barabartë me \(2\) . Prandaj \(w = \sup X\) nuk mund të ekzistojë në \(\mathbb{Q}\) . Për të njëjtën arsye, \(v = \inf Y\) nuk mund të ekzistojë në \(\mathbb{Q}\) .
Prandaj, \(\mathbb{Q}\) nuk është një fushë plotësisht e renditur. \(\square\)