Angka rasional \(\mathbb{Q}\) katon sepintas minangka sawijining kesatuan sing terus-terusan: antarane rong pecahan, mesthi ana pecahan liyane. Nanging kesan iki ngapusi: ana himpunan angka rasional sing pancen diwatesi, nanging supremum utawa infimum-e ora ana ing \(\mathbb{Q}\) . Alesane ana ing anane angka irasional kaya \(\sqrt{2}\) , sing, ing sawijining pangertèn, nggawe bolongan sing ora katon ing garis angka rasional.
Kanggo nuduhake yen \(\mathbb{Q}\) durung jangkep, kita bakal nemtokake rong himpunan bagian sing ora kosong saka \(\mathbb{Q}\) : siji sing diwatesi ing ndhuwur nanging ora duwe supremum ing \(\mathbb{Q}\) , lan liyane sing diwatesi ing ngisor nanging ora duwe infimum ing \(\mathbb{Q}\) .
Coba pikirake himpunan \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) . Himpunan \(X\) ora kosong, amarga \(1 \in X\) . Yen \(x \geq 2\) , mula \(x^2 \geq 4 > 2\) , sing mbantah \(x^2 < 2\) . Mulane, \(x < 2\) ditrapake kanggo saben \(x \in X\) . Dadi \(X \subset [0, 2]\) , lan \(2\) minangka salah sawijining wates ndhuwur \(X\) . Mulane, \(X\) diwatesi ing ndhuwur.
Ayo \(x \in X\) . Kita nuduhake yen ana \(n \in \mathbb{N}\) saengga \(x + \frac{1}{n} \in X\) . Ditemokake yen
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Dadi \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . Amarga \(2 - x^2 > 0\) lan \(2x + 1 > 0\) , aksioma Archimedes njamin anane \(n \in \mathbb{N}\) . Mulane, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , lan kanthi mangkono \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Saiki coba pikirake himpunan \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) . Temtu wae, \(Y \neq \varnothing\) . Salajengipun, \(Y\) diwatesi ing ngisor lan ora diwatesi ing ndhuwur, yaiku \(Y \subset (0, +\infty)\) . Ayo \(y \in Y\) . Kita nuduhake yen ana \(m \in \mathbb{N}\) saengga \(y - \frac{1}{m} \in Y\) . Diamati yen
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Dadi \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . Amarga \(y^2 - 2 > 0\) lan \(2y > 0\) , aksioma Archimedes maneh njamin anane \(m \in \mathbb{N}\) . Mulane, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , lan kanthi mangkono \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
Umpamane \(w = \sup X\) . Ora mungkin \(w^2 < 2\) , amarga banjur \(w \in X\) , lan bakal ana \(n \in \mathbb{N}\) karo \(w + \frac{1}{n} \in X\) lan \(w < w + \frac{1}{n}\) , sing mbantah kasunyatan manawa \(w\) minangka wates ndhuwur saka \(X\) . Uga ora mungkin bener manawa \(w^2 > 2\) , amarga banjur \(w \in Y\) , lan bakal ana \(m \in \mathbb{N}\) karo \(w - \frac{1}{m} \in Y\) lan \(w - \frac{1}{m} < w\) , sing mbantah kasunyatan manawa \(w\) minangka wates ndhuwur paling cilik saka \(X\) .
Saiki ayo padha nganggep yen \(v = \inf Y\) . Ora mungkin bener yen \(v^2 > 2\) , amarga banjur \(v \in Y\) , lan \(v\) ora bakal dadi wates ngisor saka \(Y\) . Semono uga, ora mungkin bener yen \(v^2 < 2\) , amarga banjur \(v \in X\) , lan kanthi mangkono \(v\) ora bakal dadi wates ngisor paling gedhe saka \(Y\) .
Mula, kemungkinan sing isih ana mung \(w^2 = 2\) lan \(v^2 = 2\) . Nanging, ora ana angka rasional sing kuadrate padha karo \(2\) . Mula \(w = \sup X\) ora bisa ana ing \(\mathbb{Q}\) . Amarga alesan sing padha, \(v = \inf Y\) ora bisa ana ing \(\mathbb{Q}\) .
Mulane, \(\mathbb{Q}\) dudu kolom sing wis diurut kanthi lengkap. \(\square\)