Раціональні числа \(\mathbb{Q}\) на перший погляд здаються неперервним цілим: між будь-якими двома дробами завжди є інше. Але це враження оманливе: існують множини раціональних чисел, які справді обмежені, але верхня або нижня частина яких просто не існує в \(\mathbb{Q}\) . Причина полягає в існуванні ірраціональних чисел, таких як \(\sqrt{2}\) , які, в певному сенсі, створюють невидимі діри в раціональній числовій прямій.
Щоб показати, що \(\mathbb{Q}\) не є повним, ми визначимо дві непорожні підмножини \(\mathbb{Q}\) : одну, обмежену зверху, але не має супремуму в \(\mathbb{Q}\) , та іншу, обмежену знизу, але не має інфімуму в \(\mathbb{Q}\) .
Розглянемо множину \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) . Множина \(X\) не є порожньою, оскільки \(1 \in X\) . Якщо \(x \geq 2\) , то \(x^2 \geq 4 > 2\) , що суперечить \(x^2 < 2\) . Отже, \(x < 2\) виконується для кожного \(x \in X\) . Таким чином \(X \subset [0, 2]\) , а \(2\) — одна з верхніх меж \(X\) . Отже, \(X\) обмежена зверху.
Нехай \(x \in X\) . Покажемо, що існує \(n \in \mathbb{N}\) таке, що \(x + \frac{1}{n} \in X\) . Виявлено, що
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Таким чином \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . Оскільки \(2 - x^2 > 0\) та \(2x + 1 > 0\) , аксіома Архімеда гарантує існування \(n \in \mathbb{N}\) . Отже, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , і таким чином \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Тепер розглянемо множину \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) . Очевидно, \(Y \neq \varnothing\) . Крім того, \(Y\) обмежена знизу та необмежена зверху, тобто \(Y \subset (0, +\infty)\) . Нехай \(y \in Y\) . Покажемо, що існує \(m \in \mathbb{N}\) таке, що \(y - \frac{1}{m} \in Y\) . Спостерігається, що
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Таким чином \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . Оскільки \(y^2 - 2 > 0\) та \(2y > 0\) , аксіома Архімеда знову гарантує існування \(m \in \mathbb{N}\) . Отже, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , і, отже, \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
Припустимо, \(w = \sup X\) . Не може бути, що \(w^2 < 2\) , бо тоді \(w \in X\) , і існувало б \(n \in \mathbb{N}\) з \(w + \frac{1}{n} \in X\) та \(w < w + \frac{1}{n}\) , що суперечить тому факту, що \(w\) є верхньою межею \(X\) . Також не може бути, що \(w^2 > 2\) , бо тоді \(w \in Y\) , і існувало б \(m \in \mathbb{N}\) з \(w - \frac{1}{m} \in Y\) та \(w - \frac{1}{m} < w\) , що суперечить тому факту, що \(w\) є найменшою верхньою межею \(X\) .
Припустимо тепер, що \(v = \inf Y\) . Не може бути правдою, що \(v^2 > 2\) , оскільки тоді \(v \in Y\) , і \(v\) не було б нижньою межею \(Y\) . Аналогічно, не може бути правдою, що \(v^2 < 2\) , оскільки тоді \(v \in X\) , і, таким чином \(v\) не було б найбільшою нижньою межею \(Y\) .
Отже, єдиними можливостями є \(w^2 = 2\) та \(v^2 = 2\) . Однак, не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює \(2\) . Отже \(w = \sup X\) не може існувати в \(\mathbb{Q}\) . З тієї ж причини \(v = \inf Y\) не може існувати в \(\mathbb{Q}\) .
Отже, \(\mathbb{Q}\) не є повністю впорядкованим полем. \(\square\)