Առաջին հայացքից, \(\mathbb{Q}\) ռացիոնալ թվերը թվում են առանց բացերի շարունակականություն. յուրաքանչյուր երկու կոտորակների միջև միշտ կա ևս մեկը: Բայց այս տպավորությունը ապակողմնորոշիչ է. կան ռացիոնալ թվերի հավաքածուներ, որոնք սահմանափակված են, բայց որոնց գերագույնը կամ infimum-ը պարզապես գոյություն չունի \(\mathbb{Q}\) -ում: Պատճառը \(\sqrt{2}\) ի նման իռացիոնալ թվերի առկայության մեջ է, որոնք, այսպես ասած, ռացիոնալ թվային գծում անտեսանելի անցքեր են պատռում։
Որպեսզի ցույց տանք, որ \(\mathbb{Q}\) ամբողջական չէ, մենք կնշենք \(\mathbb{Q}\) -ի երկու ոչ դատարկ ենթաբազմություններ՝ մեկը, որը սահմանափակված է վերևում, բայց \(\mathbb{Q}\) ում չունի սուպրեմում, և մեկը, որը սահմանափակված է ներքևում, բայց \(\mathbb{Q}\) ում չունի ինֆիմում։
Դիտարկենք \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) բազմությունը։ \(X\) բազմությունը դատարկ չէ, քանի որ \(1 \in X\) : Եթե \(x \geq 2\) , ապա \(x^2 \geq 4 > 2\) , որը հակասում է \(x^2 < 2\) ։ Հետևաբար, \(x < 2\) ճիշտ է յուրաքանչյուր \(x \in X\) -ի համար։ Այսպիսով \(X \subset [0, 2]\) , իսկ \(2\) \(X\) -ի վերին սահմաններից մեկն է։ Հետևաբար, \(X\) սահմանափակված է վերևից։
Ենթադրենք \(x \in X\) ։ Մենք ցույց ենք տալիս, որ գոյություն ունի \(n \in \mathbb{N}\) նման մի բան, որ \(x + \frac{1}{n} \in X\) ։ Պարզվում է, որ
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Այսպիսով \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . Քանի որ \(2 - x^2 > 0\) և \(2x + 1 > 0\) , Արքիմեդեսի աքսիոմը երաշխավորում է \(n \in \mathbb{N}\) -ի գոյությունը։ Հետևաբար, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , և հետևաբար \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Հիմա դիտարկենք \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) բազմությունը։ Ակնհայտ է, \(Y \neq \varnothing\) : Ավելին, \(Y\) սահմանափակ է ներքևում և անսահմանափակ է վերևում, այսինքն \(Y \subset (0, +\infty)\) : Ենթադրենք \(y \in Y\) : Մենք ցույց ենք տալիս, որ գոյություն ունի այնպիսի \(m \in \mathbb{N}\) որ \(y - \frac{1}{m} \in Y\) : Նկատվում է, որ
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Այսպիսով \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) ։ Քանի որ \(y^2 - 2 > 0\) և \(2y > 0\) , Արքիմեդեսի աքսիոմը կրկին երաշխավորում է \(m \in \mathbb{N}\) ի գոյությունը։ Հետևաբար, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , և հետևաբար \(y - \frac{1}{m} \in Y\) ։
Ենթադրենք \(w = \sup X\) : Չի կարող լինել, որ \(w^2 < 2\) , քանի որ այդ դեպքում \(w \in X\) , և կլինի \(n \in \mathbb{N}\) , որտեղ \(w + \frac{1}{n} \in X\) ) է, և \(w < w + \frac{1}{n}\) , ինչը հակասում է այն փաստին, որ \(w\) \(X\) -ի վերին սահմանն է: Նաև չի կարող ճիշտ լինել, որ \(w^2 > 2\) , քանի որ այդ դեպքում \(w \in Y\) , և կլինի \(m \in \mathbb{N}\) որտեղ \(w - \frac{1}{m} \in Y\) է, և \(w - \frac{1}{m} < w\) , ինչը հակասում է այն փաստին, որ \(w\) \(X\) -ի ամենափոքր վերին սահմանն է:
Ենթադրենք, որ \(v = \inf Y\) : Չի կարող ճիշտ լինել, որ \(v^2 > 2\) , քանի որ այդ դեպքում \(v \in Y\) , և \(v\) \(Y\) ի ստորին սահմանը չեն լինի: Նմանապես, չի կարող ճիշտ լինել, որ \(v^2 < 2\) , քանի որ այդ դեպքում \(v \in X\) , և հետևաբար \(v\) \(Y\) ամենամեծ ստորին սահմանը չի լինի:
Հետևաբար, մնացած միակ հնարավորություններն են \(w^2 = 2\) և \(v^2 = 2\) : Սակայն չկա ռացիոնալ թիվ, որի քառակուսին հավասար լինի \(2\) ի: Հետևաբար \(w = \sup X\) չի կարող գոյություն ունենալ \(\mathbb{Q}\) -ում: Նույն պատճառով, \(v = \inf Y\) չի կարող գոյություն ունենալ \(\mathbb{Q}\) -ում:
Հետևաբար, \(\mathbb{Q}\) ը լիովին կարգավորված դաշտ չէ։ \(\square\)