Rasyonel sayılar kümesi \(\mathbb{Q}\) ilk bakışta sürekli bir bütün gibi görünür: herhangi iki kesir arasında her zaman bir başkası vardır. Ancak bu izlenim yanıltıcıdır: Gerçekten sınırlı olan, ancak supremum veya infimum değerleri \(\mathbb{Q}\) kümesinde bulunmayan rasyonel sayılar kümeleri vardır. Bunun nedeni, bir anlamda rasyonel sayı doğrusunda görünmez boşluklar yaratan \(\sqrt{2}\) gibi irrasyonel sayıların varlığıdır.
\(\mathbb{Q}\) 'nun tam olmadığını göstermek için, \(\mathbb{Q}\) 'nun iki boş olmayan alt kümesini belirleyeceğiz: biri yukarıdan sınırlı ancak \(\mathbb{Q}\) 'da supremum'u olmayan, diğeri ise aşağıdan sınırlı ancak \(\mathbb{Q}\) 'da infimum'u olmayan.
\(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) kümesini ele alalım. \(X\) kümesi boş değildir, çünkü \(1 \in X\) . Eğer \(x \geq 2\) ise, \(x^2 \geq 4 > 2\) olur ki bu \(x^2 < 2\) ile çelişir. Bu nedenle, her \(x \in X\) için \(x < 2\) geçerlidir. Dolayısıyla \(X \subset [0, 2]\) ve \(2\) \(X\) 'in üst sınırlarından biridir. Bu nedenle, \(X\) üstten sınırlıdır.
\(x \in X\) olsun. \(x + \frac{1}{n} \in X\) olacak şekilde bir \(n \in \mathbb{N}\) bulunduğunu gösteriyoruz. Şunlar bulunmuştur:
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Dolayısıyla \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . \(2 - x^2 > 0\) ve \(2x + 1 > 0\) olduğundan, Arşimet aksiyomu \(n \in \mathbb{N}\) 'nin varlığını garanti eder. Bu nedenle, \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) ve dolayısıyla \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Şimdi \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) kümesini ele alalım. Açıkça, \(Y \neq \varnothing\) . Ayrıca, \(Y\) alttan sınırlı ve üstten sınırsızdır, yani \(Y \subset (0, +\infty)\) . \(y \in Y\) olsun. \(y - \frac{1}{m} \in Y\) olacak şekilde bir \(m \in \mathbb{N}\) olduğunu gösteriyoruz. Şunu gözlemliyoruz ki
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Dolayısıyla \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . \(y^2 - 2 > 0\) ve \(2y > 0\) olduğundan, Arşimet aksiyomu yine bir \(m \in \mathbb{N}\) nin varlığını garanti eder. Bu nedenle, \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) ve dolayısıyla \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
\(w = \sup X\) olduğunu varsayalım. \(w^2 < 2\) olamaz, çünkü o zaman \(w \in X\) olur ve \(n \in \mathbb{N}\) \(w + \frac{1}{n} \in X\) ) ve \(w < w + \frac{1}{n}\) bulunur ki bu, \(w\) 'nin \(X\) 'in bir üst sınırı olduğu gerçeğiyle çelişir. Ayrıca \(w^2 > 2\) de doğru olamaz, çünkü o zaman \(w \in Y\) olur ve \(m \in \mathbb{N}\) \(w - \frac{1}{m} \in Y\) ve \(w - \frac{1}{m} < w\) bulunur ki bu, \(w\) 'nin \(X\) 'in en küçük üst sınırı olduğu gerçeğiyle çelişir.
Şimdi \(v = \inf Y\) olduğunu varsayalım. \(v^2 > 2\) doğru olamaz, çünkü o zaman \(v \in Y\) olur ve \(v\) ), \(Y\) 'nin bir alt sınırı olmaz. Benzer şekilde, \(v^2 < 2\) doğru olamaz, çünkü o zaman \(v \in X\) ve dolayısıyla \(v\) \(Y\) 'nin en büyük alt sınırı olmaz.
Geriye kalan tek olasılıklar bu nedenle \(w^2 = 2\) ve \(v^2 = 2\) dir. Ancak, karesi \(2\) ye eşit olan rasyonel bir sayı yoktur. Bu nedenle \(w = \sup X\) \(\mathbb{Q}\) 'da var olamaz. Aynı nedenle, \(v = \inf Y\) \(\mathbb{Q}\) 'da var olamaz.
Bu nedenle, \(\mathbb{Q}\) tamamen sıralı bir alan değildir. \(\square\)