De rationella talen \(\mathbb{Q}\) verkar vid första anblicken vara en kontinuerlig helhet: mellan två bråk finns det alltid ett annat. Men detta intryck är vilseledande: det finns mängder av rationella tal som visserligen är begränsade, men vars supremum eller infimum helt enkelt inte existerar i \(\mathbb{Q}\) . Anledningen ligger i existensen av irrationella tal som \(\sqrt{2}\) , vilka på sätt och vis skapar osynliga hål i den rationella tallinjen.
För att visa att \(\mathbb{Q}\) inte är komplett, specificerar vi två icke-tomma delmängder av \(\mathbb{Q}\) : en som är begränsad ovanför men inte har något supremum i \(\mathbb{Q}\) , och en annan som är begränsad nedanför men inte har något infimum i \(\mathbb{Q}\) .
Betrakta mängden \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) . Mängden \(X\) är inte tom, eftersom \(1 \in X\) . Om \(x \geq 2\) , då \(x^2 \geq 4 > 2\) , vilket motsäger \(x^2 < 2\) . Därför gäller \(x < 2\) för varje \(x \in X\) . Således \(X \subset [0, 2]\) , och \(2\) är en av de övre gränserna för \(X\) . Därför är \(X\) begränsad ovanför.
Låt \(x \in X\) . Vi visar att det existerar en \(n \in \mathbb{N}\) sådan att \(x + \frac{1}{n} \in X\) . Det konstateras att
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Således \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . Eftersom \(2 - x^2 > 0\) och \(2x + 1 > 0\) , garanterar Arkimedes axiom existensen av \(n \in \mathbb{N}\) . Därför är \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , och därmed \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Betrakta nu mängden \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) . Det är uppenbart att \(Y \neq \varnothing\) . Vidare är \(Y\) begränsad nedtill och obegränsad upptill, det vill säga \(Y \subset (0, +\infty)\) . Låt \(y \in Y\) . Vi visar att det existerar en \(m \in \mathbb{N}\) sådan att \(y - \frac{1}{m} \in Y\) . Det observeras att
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Således \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . Eftersom \(y^2 - 2 > 0\) och \(2y > 0\) , garanterar Arkimedes axiom återigen existensen av en \(m \in \mathbb{N}\) . Därför \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , och därmed \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
Antag \(w = \sup X\) . Det kan inte vara så att \(w^2 < 2\) , eftersom då \(w \in X\) , och det skulle finnas en \(n \in \mathbb{N}\) med \(w + \frac{1}{n} \in X\) och \(w < w + \frac{1}{n}\) , vilket motsäger det faktum att \(w\) är en övre gräns för \(X\) . Det kan inte heller vara sant att \(w^2 > 2\) , eftersom då \(w \in Y\) , och det skulle finnas en \(m \in \mathbb{N}\) med \(w - \frac{1}{m} \in Y\) och \(w - \frac{1}{m} < w\) , vilket motsäger det faktum att \(w\) är den minsta övre gränsen för \(X\) .
Låt oss nu anta att \(v = \inf Y\) . Det kan inte vara sant att \(v^2 > 2\) , eftersom då \(v \in Y\) , och \(v\) inte skulle vara en undre gräns för \(Y\) . Likaså kan det inte vara sant att \(v^2 < 2\) , eftersom då är \(v \in X\) , och därmed inte skulle \(v\) vara den största undre gränsen för \(Y\) .
De enda återstående möjligheterna är därför \(w^2 = 2\) och \(v^2 = 2\) . Det finns emellertid inget rationellt tal vars kvadrat är lika med \(2\) . Därför kan \(w = \sup X\) inte existera i \(\mathbb{Q}\) . Av samma anledning kan \(v = \inf Y\) inte existera i \(\mathbb{Q}\) .
Därför är \(\mathbb{Q}\) inte ett helt ordnat fält. \(\square\)