Liczby wymierne \(\mathbb{Q}\) wydają się na pierwszy rzut oka stanowić ciągłą całość: między dowolnymi dwoma ułamkami zawsze istnieje kolejny. To wrażenie jest jednak mylące: istnieją zbiory liczb wymiernych, które są rzeczywiście ograniczone, ale których supremum lub infimum po prostu nie istnieje w \(\mathbb{Q}\) . Przyczyna leży w istnieniu liczb niewymiernych, takich jak \(\sqrt{2}\) , które w pewnym sensie tworzą niewidoczne dziury w osi liczbowej wymiernej.
Aby pokazać, że \(\mathbb{Q}\) nie jest zupełne, określimy dwa niepuste podzbiory \(\mathbb{Q}\) : jeden, który jest ograniczony od góry, ale nie ma supremum w \(\mathbb{Q}\) , i drugi, który jest ograniczony od dołu, ale nie ma infimum w \(\mathbb{Q}\) .
Rozważ zbiór \(X = \{x \in \mathbb{Q} \mid x \geq 0,\; x^2 < 2\}\) . Zbiór \(X\) nie jest pusty, ponieważ \(1 \in X\) . Jeśli \(x \geq 2\) , to \(x^2 \geq 4 > 2\) , co przeczy \(x^2 < 2\) . Dlatego \(x < 2\) zachodzi dla każdego \(x \in X\) . Zatem \(X \subset [0, 2]\) i \(2\) jest jednym z górnych ograniczeń zbioru \(X\) . Dlatego \(X\) jest ograniczony od góry.
Niech \(x \in X\) . Pokażemy, że istnieje \(n \in \mathbb{N}\) takie, że \(x + \frac{1}{n} \in X\) . Okazuje się, że
\[\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 = x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2} \leq x^2 + \frac{2x}{n} + \frac{1}{n} = x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1).\]
Zatem \(x^2 + \frac{1}{n}(2x + 1) < 2 \iff \frac{1}{n} < \frac{2 - x^2}{2x + 1}\) . Ponieważ \(2 - x^2 > 0\) oraz \(2x + 1 > 0\) , aksjomat Archimedesa gwarantuje istnienie \(n \in \mathbb{N}\) . Zatem \(\left(x + \frac{1}{n}\right)^2 < 2\) , a zatem \(x + \frac{1}{n} \in X\) .
Rozważmy teraz zbiór \(Y = \{y \in \mathbb{Q} \mid y > 0,\; y^2 > 2\}\) . Oczywiście, \(Y \neq \varnothing\) . Ponadto \(Y\) jest ograniczony z dołu i nieograniczony z góry, czyli \(Y \subset (0, +\infty)\) . Niech \(y \in Y\) . Pokażemy, że istnieje zbiór \(m \in \mathbb{N}\) taki, że \(y - \frac{1}{m} \in Y\) . Zauważono, że
\[\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 = y^2 - \frac{2y}{m} + \frac{1}{m^2} > y^2 - \frac{2y}{m}.\]
Zatem \(y^2 - \frac{2y}{m} > 2 \iff \frac{1}{m} < \frac{y^2 - 2}{2y}\) . Ponieważ \(y^2 - 2 > 0\) oraz \(2y > 0\) , aksjomat Archimedesa ponownie gwarantuje istnienie \(m \in \mathbb{N}\) . Zatem \(\left(y - \frac{1}{m}\right)^2 > 2\) , a zatem \(y - \frac{1}{m} \in Y\) .
Załóżmy, że \(w = \sup X\) . Nie może być tak, że \(w^2 < 2\) , ponieważ wówczas \(w \in X\) , i istniałoby \(n \in \mathbb{N}\) gdzie \(w + \frac{1}{n} \in X\) oraz \(w < w + \frac{1}{n}\) , co przeczy faktowi, że \(w\) jest górną granicą \(X\) . Nie może być również prawdą, że \(w^2 > 2\) , ponieważ wówczas \(w \in Y\) , i istniałoby \(m \in \mathbb{N}\) gdzie \(w - \frac{1}{m} \in Y\) oraz \(w - \frac{1}{m} < w\) , co przeczy faktowi, że \(w\) jest najmniejszą górną granicą \(X\) .
Załóżmy teraz, że \(v = \inf Y\) . Nie może być prawdą, że \(v^2 > 2\) , ponieważ wówczas \(v \in Y\) i \(v\) nie byłoby dolną granicą \(Y\) . Podobnie nie może być prawdą, że \(v^2 < 2\) , ponieważ wówczas \(v \in X\) , a zatem \(v\) nie byłoby największą dolną granicą \(Y\) .
Pozostają zatem tylko \(w^2 = 2\) i \(v^2 = 2\) . Nie istnieje jednak liczba wymierna, której kwadrat jest równy \(2\) . Zatem \(w = \sup X\) nie może istnieć w \(\mathbb{Q}\) . Z tego samego powodu \(v = \inf Y\) nie może istnieć w \(\mathbb{Q}\) .
Dlatego \(\mathbb{Q}\) nie jest ciałem całkowicie uporządkowanym. \(\square\)